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1、第3讲 平面向量,第3讲 平面向量,1.如图,在66的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量a, b,c满足c=xa+yb(x, yR),则x2+y2= .,答案 5,解析 a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,4),由c=xa+yb得 解得 则x2+y2=5.,2.若a,b,c都是单位向量,且ab,则(a+b+2c)c的最大值为 .,答案 2+,解析 由题意可设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos ,sin ),则(a+b+2c)c=(1+2cos ,1+2 sin )(cos ,sin )=(1+2cos )cos +(1+2sin )sin =cos +sin +2= sin
2、 + +22+ ,当且仅当= +2k,kZ时取等号,故(a+b+2c)c的最大值为2+ .,3.若向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),且|a+b|2ab,则cos(-)= .,答案 1,解析 由|a+b|2ab两边平方得|a|2+2ab+|b|24(ab)2.又ab=cos(-)0,所 以4cos2(-)-2cos(-)-20,2cos(-)+1cos(-)-10,则cos(-)1.又-1 cos(-)1,则cos(-)=1.,4.已知向量e1,e2是夹角为 的两个单位向量,向量a=e1-e2,b=ke1+e2,若ab=0,则 k的值为 .,答案 1,解析 |e1|=|
3、e2|=1,e1e2=- ,ab=(e1-e2)(ke1+e2)=k|e1|2+(1-k)e1e2-|e2|2=k- (1-k)-1=0, 解得k=1.,题型一 平面向量的线性运算,例1 设 =(2,-1), =(3,0), =(m,3). (1)当m=8时,将 用 和 表示; (2)若A、B、C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.,【方法归纳】 (1)向量的线性运算有加法、减法、数乘,运算方法有几何法 (三角形法则和平行四边形法则)和代数法(坐标法);(2)向量共线定理:非零向 量a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=bx1y2-x2y1=0.,1-1 (2018江苏南通中学高
4、三考前冲刺)如图,在梯形ABCD中, ABCD, AB=3 CD,点E是B,C的中点.若 =x +y ,其中x,yR,则x+y的值为 .,答案,解析 2 = + =3 + =3 - + =4 -3 ,则 = + ,则x+y= + = .,题型二 平面向量的数量积,例2 (1)(2018江苏盐城模拟)如图,在AB1B8中,已知B1AB8= ,AB1=6,AB8= 4,点B2,B3,B4,B5,B6,B7分别为边B1B8的7等分点,则当i+j=9(1i8)时, 的 最大值为 .,(2)(2018江苏扬州调研)如图,已知AC=2,B为AC的中点,分别以AB,AC为直径 在AC同侧作半圆,M,N分别为
5、两半圆上的动点(不含端点A,B,C)且BMBN,则 的最大值为 .,答案 (1) (2),解析 (1)在AB1B8中,B1AB8= ,AB1=6,AB8=4,由余弦定理可得B1B8=2 .取 B1B8的中点D,则| |= = = , = + - =| |2-| |2=19-| |2,当 最大时,| |2最小,则i=4或5,此时| |2= 2= , 则 的最大值为19- = . (2)由题意可得BMBN,AMB=90,则AMBN.因为AC=2,B为AC的中点,所,以BN=BC=BA=1. 设NBC=MAB=, ,则 = ( - )= - =| | |-| | |cos =| |-| |2=- +
6、 ,当| |= 时取等 号, 故 的最大值是 .,【方法归纳】 数量积运算一般有两种解法,即基底法和坐标法,一般选择长 度、夹角已知的向量为基底,将其余向量都用基底表示;特殊图形中的数量积 也可建立适当的平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解,要根据条件灵活 选择方法.,2-1 (1)(2018江苏南京模拟)在ABC中,AB=3,AC=2,D为边BC上一点.若 =5, =- ,则 的值为 . (2)(2018苏锡常镇四市调研)如图,扇形AOB的圆心角为90,半径为1,点P是圆 弧AB上的动点,作点P关于弦AB的对称点Q,则 的取值范围为 .,答案 (1)-3 (2) -1,1,解析 (1)因为
7、D为边BC上一点,所以 =x +y ,x+y=1,x,y0,则 = (x +y )=9x+y =5, = (x +y )=x +4y=- .联立解得 =-3或 , 当 = 时不满足x,y0,舍去,故 =-3. (2)以点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴建立平面直角坐 标系,则A(1,0),B(0,1).设P(cos ,sin ), ,直线AB的方程为x+y-1=0,则点 P关于直线AB的对称点Q(1-sin ,1-cos ),则 =cos (1-sin )+sin (1-cos,)=sin +cos -2sin cos ,令t=sin +cos = sin 1, ,则 =-
8、 t2+t+1 -1,1.,题型三 平面向量与三角函数的综合问题,例3 (2018江苏南通调研)在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cos ,sin ),b= (-sin ,cos ),c= . (1)若|a+b|=|c|,求sin(-)的值; (2)设= ,0,且a(b+c),求的值.,解析 (1)因为a=(cos ,sin ),b=(-sin ,cos ),c= ,所以|a|=|b|=|c|=1,且 ab=-cos sin +sin cos =sin(-). 因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=c2,即a2+2ab+b2=1, 所以1+2sin(-)+1=1,即sin(-)=- .
9、 (2)因为= ,所以a= . 依题意,b+c= .,因为a(b+c),所以- - =0. 化简得 sin - cos = ,所以sin = .因为0,所以- - . 所以- = ,即= .,【方法归纳】 解决三角函数与平面向量综合问题的关键:一是巧“化简”, 即灵活运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公 式等对三角函数式进行化简;二是会“转化”,把以向量共线、向量垂直形式 出现的条件还原,转化为“对应坐标乘积之间的关系”.这类问题的落脚点是 三角函数的化简与求值.,3-1 已知a=(cos ,sin ),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin ,cos
10、 x+2cos ),其中0x. (1)若= ,求函数f(x)=bc的最小值及相应的x值; (2)若a与b的夹角为 ,且ac,求tan 2的值.,解析 (1)由已知得, f(x)=bc=cos xsin x+2cos xsin +sin xcos x+2sin x cos =2 sin xcos x+ (sin x+cos x).,令t=sin x+cos x(0x),则2sin xcos x=t2-1,且-1t . 则f(x)可化为函数y=t2+ t-1= - ,-1t . 当t=- 时, f(x)取得最小值- ,此时x= . (2)因为a与b的夹角为 , 所以cos = =cos cos x+sin sin x=cos(x-). 因为0x,所以0x-,所以x-= . 因为ac,所以cos (sin x+2sin )+sin (cos x+2cos )=0.,所以sin(x+)+2sin 2=0,则sin +2sin 2=0. 所以 sin 2+ cos 2=0,所以tan 2=- .,