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1、 难题突破专题十一数学文化数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解类型1以科技或数学时事为题材1 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如图Z111，图Z112中四边形是为体现其直观性所作的辅助线其实际直观图中
2、四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是()图Z111图Z112Aa，b Ba，c Cc，b Db，d 例题分层分析(1)根据题目所给的直观图，你发现“牟合方盖”有哪些特征？(2)“牟合方盖”的主视图和俯视图分别是什么？|针对训练|12017湖州 七巧板是我国祖先的一项卓越创造下列四幅图中有三幅是小明用如图Z113所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那幅图是()图Z113图Z11422002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图Z115)如果小正方形的面积为1，
3、大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos的值等于_ 图Z115 图Z11632017江西 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数如图Z116，根据刘徽的这种表示法，观察图，可推算图中所得的数值为_42017威海 阅读理解：如图Z117，O与直线a，b都相切不论O如何转动，直线a，b之间的距离始终保持不变(等于O的直径)我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”图是利用圆的这一特性的例子将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到
4、金字塔顶的图Z117拓展应用：如图Z118所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”，如图，夹在平行线c，d间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变若直线c，d之间的距离等于2 cm，则莱洛三角形的周长为_cm.图Z118类型2以数学名著为题材2 九章算术中，将两底面是直角三角形的棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图Z119所示，主视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()图Z119A2 B42 C44 D64 例题分层分析(1)通过阅读，你知道“堑堵”是什么样的图形吗？(2)根据“堑堵”的定义，你能推断出该几何体的底面是什么图形？侧面又是什么图形？|针
5、对训练|1九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约()A134石 B169石 C268石 D338石22017荆州 九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为()Ax26(10x)2 Bx262(10x)2 Cx26(10x)2 Dx2
6、62(10x)232017眉山 “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸问井深几何？”这是我国古代数学著作九章算术中的“井深几何”问题，它的题意可以由图Z1110获得，则井深为()图Z1110A1.25尺 B57.5尺 C6.25尺 D56.5尺4算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国目前已知最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似
7、取为()A. B. C. D.52017自贡 我国明代数学家程大位的名著直指算法统宗里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x、y人，则可以列方程组为_图Z111162017遵义 明代数学家程大位的算法统宗中有这样一个问题(如图Z1111)，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两请问：所分的银子共有_两(注：明代时1斤16两，故有“半斤八两”这个成语)72017北京 数学家吴文俊院士
8、非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图Z1112所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证图Z1112(以上材料来源于古证复原的原理、吴文俊与中国数学和古代世界数学泰斗刘徽)请根据上图完成这个推论的证明过程证明：S矩形NFGDSADC(SANFSFGC)，S矩形EBMFSABC(_)易知，SADCSABC，_，_可得S矩形NFGDS矩形EBMF.8中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图Z1113所示(单位：寸)，若取3，其体积为12.
9、6(立方寸)，则图中的x的值为_图Z111392017宜昌 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算术，其勾股数组公式为：其中mn0，m，n是互质的奇数应用：当n1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长102017福建我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足问鸡兔各几何”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解类型3以数学名人为题材3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学
10、家研究过各种多边形数如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式三角形数N(n，3)n2n，正方形数N(n，4)n2，五边形数N(n，5)n2n，六边形数N(n，6)2n2n，可以推测，N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)_|针对训练|12017黔东南州 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的详解九章算术一书中，用图Z1114的三角形解释二项和(ab)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”(ab)0(ab)1(ab)2(ab)3(ab)4(ab)5
11、图Z1114根据“杨辉三角”请计算(ab)20的展开式中第三项的系数为()A2017 B2016 C191 D19022017云南 正如我们小学学过的圆锥体积公式Vr2h(表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到.祖冲之是世界上第一个把计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把计算得更精确在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计
12、算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9 ，则这个圆锥的高等于()A5 B5 C3 D3 32017株洲 如图Z1115，若ABC内一点P满足PACPBAPCB，则点P为ABC的布洛卡点三角形的布洛卡点(Brocard point)由法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle 17801855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Bro
13、card 18451922)重新发现，并用他的名字命名问题：已知在等腰直角三角形DEF中，EDF90.若Q为DEF的布洛卡点，DQ1，则EQFQ的值为()图Z1115A5 B4 C3 D242017乐山 庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图Z1116，按此图分割的方法，可得到一个等式(符号语言)：1.图Z1116也是一种无限分割：在ABC中，ACB90，B30，过点C作CC1AB于点C1，再过点C1作C1C2BC于点C2，又过点C2作C2C3AB于点C3，如此无限继续下去，则可将ABC分成ACC1、CC1C2、C1C2C3
14、、C2C3C4、Cn2Cn1Cn、.假设AC2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是_图Z1116参考答案类型1以科技或数学时事为题材例1A解析 当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且对角线为两条实线故选A.赏析 “牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一本题取材于“牟合方盖”，通过添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度试题从识“图”到想“图”，再到构“图”，要经历分析、判断的逻辑过程另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”、“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在中考中考查，值得
15、我们注意|针对训练|1C2.解析 如图，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，大正方形边长AD5，小正方形的边长EF1.设DEAFx，在RtADE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，(x1)2x252，解得x14(舍去)，x23，即DE3，AE314，coscosDAE.33解析 根据题意可知正放表示正数，斜放表示负数，组合在一起表示相加，由正放2根，斜放5根组合在一起表示(2)(5)3.42解析 由题意知，莱洛三角形周长是半径为2，圆心角是60的三段弧长的和，32.类型2以数学名著为题材例2C解析 依题意得，该几何体为三棱柱，且底面为等腰直角三角形，两直角边长均为，高为2，所以其侧面积
16、为S222 244 ，故选C.赏析 该题以我国古代数学名著九章算术中所描述的特殊几何体“堑堵”为背景，是一道新概念信息的信息迁移题试题以三视图为依托，在考查空间想象能力的同时传播数学文化|针对训练|1B解析 设这批米内夹谷约为x石，根据随机抽样事件的概率得，解得x169.故选B.2D解析 如图，折断处离地面的高度为x尺，则AB10x，BC6, 在RtABC中，AC2BC2AB2，即x262(10x)2.3B解析 如图，由题意，得BCDE，从而ABFADE，因此，即，解得BD57.5，所以井深为57.5尺4B解析 由题意知L2hr2h，L2r2，而L2r，代入得.5.解析 根据“大、小和尚共有1
17、00人”可得xy100；由“大和尚一人分3个”可知x个大和尚共分得3x个馒头，由“小和尚3人分一个”可知y个小和尚共分得个馒头，根据“大、小和尚分100个馒头”可得3x100，故可列方程组为646解析 设这群人人数为x，根据题意得7x49x8，解得x6，银子的数量为46两7SAEF；SCFM；SANF；SAEF；SFGC；SCFM81.6解析 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4x)31x12.6.解得x1.6.9解：当n1时，a(m21)，bm，c(m21)，因为直角三角形有一边长为5，分情况如下：情况1：当a5时，即(m21)5，解得m(舍去)；情况2：当b
18、5时，即m5，再将它分别代入得a(521)12，c(521)13；情况3：当c5时，即(m21)5，m3，因m0，所以m3，把m3分别代入得a(321)4，b3.综上所述，直角三角形的另两边长为12，13或3，4.10解：设鸡有x只，兔有y只依题意，得解得答：鸡有23只，兔有12只类型3以数学名人为题材例31000解析 由N(n，4)n2，N(n，6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，于是N(n，24)11n210n，故N(10，24)1110210101000.|针对训练|1D解析 观察可得(ab)n的展开式中第三项的系数为，因此，可得(ab)20的展开式中第三项的系数为
19、190.2D解析 如图，圆锥的侧面展开图是个半圆，设这个半圆的半径为R，则ACR，这个半圆的弧长为R，设圆锥底面圆的半径为r，则2rR，得：R2r，AC2r.由圆锥的母线AC2r，OCr得在RtAOC中，hAOr，圆锥的体积等于9 ，r2r9 ，r3，hAOr3 .3D解析 因为Q是EDF的布洛卡点，所以QDFQFEQED，又因为QFD45QFE，QEF45QED，所以QFDQEF，所以QDFQFE，所以QFEQDQQFDFEF1(EDF是等腰直角三角形)，所以DQQF1，其中DQ1，所以QF，且QFEQ1，所以EQ2，所以EQFQ2.故选D.42 1()2()3()n解析 根据三角形的面积来列出等式由ACB90，B30，AC2，可得三角形的面积为ACBC22 2 .又因为三角形的面积可表示为n个三角形的面积和，则可得到1.所以根据面积相等得2