《【浙教版】中考数学难题突破：专题六-平行四边形存在性问题（含答案）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【浙教版】中考数学难题突破：专题六-平行四边形存在性问题（含答案）.doc（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 难题突破专题六平行四边形存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年各地中考的“热点”解这类题目的一般思路是：假设存在推理论证得出结论若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断类型1已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形1 如图Z61，在平面直角坐标系中，已知点A(3，4)，B(6，2)，C(6，2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？图Z61 例题分层分析 (1)符合条件的
2、点D有_个(2)如何进行分类？2 如图Z62，抛物线yx22x3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N.图Z62(1)直接写出点A，C，N的坐标(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 例题分层分析 (1)分别令_和_即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数表达式即可求得顶点M的坐标，然后求出直线CM直线的函数表达式便可求得点N的坐标(2)根据例1的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数表达式验证得符合
3、条件的点P. 解题方法点析 已知三定点，探求第四个点，使之构成平行四边形，可以按对角线进行分类，然后利用中点坐标公式求出点的坐标，再验证是否符合限制条件类型2已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形3 如图Z63，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA4，OC3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.图Z63(1)求抛物线的函数表达式(2)求点D的坐标(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 例题
4、分层分析 (1)由OA的长度确定出点A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式_，将_的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的函数表达式(2)设直线AC的函数表达式为ykxb，将点A，C的坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC的函数表达式，与_联立即可求出点D的坐标(3)存在，分两种情况考虑：若AD为平行四边形的对角线，则有MD_，MD_；若AD为平行四边形的一边，则MN_，MN_，此时通过画图可知有两种情况4 如图Z64，抛物线yax2bxc(a0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(2，0)，抛物线的对称轴x1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E
5、.(1)求抛物线的函数表达式(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由图Z64(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标 例题分层分析 (1)由C(0，4)，A(2，0)和对称轴x1可得三个关系式，分别是_，_，_，然后联立，即可求得a，b，c，从而得到函数表达式(2)假设存在满足条件的点F，连结BF，CF，OF，过点F作FHx轴于点H，FGy轴于点G.设点F的横坐标为t，则点F的坐标可表示为_，然后分别用t表示出
6、OBF，OFC的面积，而AOC的面积为_，然后根据四边形的面积为17，得到关于t的方程，解该方程即可判断是否存在符合条件的点F.(3)先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式为_，再求出抛物线的顶点坐标为_，由点E在直线BC上，得到点E的坐标为_，从而求得DE_若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DEPQ，所以只需DEPQ.设点P的横坐标是m，则可表示出点P的坐标为_，点Q的坐标是_，然后再进行分类讨论当0m4时，PQ_，当m0或m4时，PQ_，再根据DEPQ，即可得到关于m的方程，从而求得符合条件的点P的坐标 解题方法点析 对于两个定点、两个动点的问题，一般思路是先用一个未知
7、数假设一个相对较简单的动点坐标，然后把这三点看成定点，用该未知数表示另一个动点的坐标，最后再根据动点应满足的条件，求出相应点的坐标专 题 训 练12017临沂 如图Z65，抛物线yax2bx3经过点A(2，3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC3OB.(1)求抛物线的解析式(2)点D在y轴上，且BDOBAC，求点D的坐标(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图Z6522017泰安 如图Z66，是将抛物线yx2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x1，与x轴的一个交点
8、为A(1，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式(2)若点N为抛物线上一点，且BCNC，求点N的坐标(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数yx的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，则这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由图Z663.2017宜宾 如图Z67，抛物线yx2bxc与x轴分别交于A(1，0)，B(5，0)两点(1)求抛物线的解析式(2)在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连结AC，且AD5，CD8，将RtACD沿x轴向右平移m个单位长度，当点C落在抛物线上时，求m的值(3)在(2)的条件下，当点C第一次落
9、在抛物线上时记为点E，点P是抛物线对称轴上一点试探究在抛物线上是否存在点Q，使以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由图Z6742017齐齐哈尔 如图Z68，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E.矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x212x320的两个根，且OAOC.(1)求线段OA，OC的长(2)证明ADECOE，并求出线段OE的长(3)直接写出点D的坐标(4)若F是直线AC上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？
10、若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由图Z68参考答案类型1已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形例1【例题分层分析】(1)3(2)分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线解：答案不唯一，有三种情况：若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(15，4)；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(3，8)；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(9，4)例2【例题分层分析】(1)y0x0解：(1)A(1，0)，C(0，3)，N(3，0)(2)存在若AC为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(2，3)；若AN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(4，3)；若CN为平行四边
11、形的对角线，则点P的坐标为(2，3)把这三个点的坐标分别代入验证，得点P(2，3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点P，点P的坐标为(2，3)类型2已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形例3【例题分层分析】(1)ya(x2)23点A(2)抛物线的函数表达式(3)ADADANAN解：(1)设抛物线的顶点为E，根据题意，得E(2，3)设抛物线的函数表达式为ya(x2)23，将(4，0)代入，得04a3，即a，抛物线的函数表达式为y(x2)23x23x.(2)设直线AC的函数表达式为ykxb(k0)，将(4，0)，(0，3)代入，得解得故直线AC的函数表达式为yx3，将直线AC
12、的函数表达式与抛物线的函数表达式联立，得解得或点D的坐标为.(3)存在，分两种情况考虑：.若AD为平行四边形的对角线，则有MDAN，MDAN.由对称性得到M1，即DM12，故AN12，点N1的坐标为(2，0).若AD为平行四边形的一边，则MNAD，MNAD.当点M在x轴上方时，如图所示由知AN22，点N2的坐标为(6，0)当点M在x轴下方时，如图所示，过点D作DQx轴于点Q，过点M3作M3Px轴于点P，可得ADQN3M3P，M3PDQ，N3PAQ3，点M3的纵坐标为.将yM代入抛物线的函数表达式，得x23x，解得xM2或xM2，xNxM31或1，N3，N4( 1，0)综上所述，满足条件的点N有
13、4个，N1(2，0)，N2(6，0)，N3(1，0)，N4( 1，0)例4【例题分层分析】(1)c404a2bcb2a(2)(t，t2t4)4(3)yx4(1，)(1，3)(m，m4)(m，m2m4)(m2m4)(m4)m22m(m4)(m2m4)m22m解：(1)由抛物线经过点C(0，4)可得c4，对称轴为直线x1，b2a，又抛物线经过点A(2，0)，04a2bc，由得a，b1，c4，抛物线的函数表达式是yx2x4.(2)假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF，CF，OF.过点F分别作FHx轴于点H，FGy轴于点G.设点F的坐标为(t，t2t4)，其中0t4，则FHt2t4，FGt，SO
14、BFOBFH4(t2t4)t22t8，SOFCOCFG4t2t，S四边形ABFCSAOCSOBFSOFC4t22t82tt24t12.令t24t1217，即t24t50，则判别式(4)24540，方程t24t50无解，故不存在满足条件的点F.(3)设直线BC的函数表达式为ykxb(k0)，直线经过点B(4，0)，C(0，4)，解得直线BC的函数表达式是yx4.由yx2x4(x1)2，得D(1，)点E在直线BC上，点E的坐标为(1，3)，于是DE3.若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，DEPQ，只需DEPQ.设点P的坐标是(m，m4)，则点Q的坐标是(m，m2m4)当0m4时，PQ(
15、m2m4)(m4)m22m，由m22m，解得m1或3.当m1时，线段PQ与DE重合，m1舍去，m3，此时P1(3，1)当m0或m4时，PQ(m4)(m2m4)m22m，由m22m，解得m2，经检验符合题意，此时P2(2，2)，P3(2，2)综上所述，满足条件的点P有3个，分别是P1(3，1)，P2(2，2)，P3(2，2)专题训练1解：(1)令x0，由yax2bx3得y3，C(0，3)，OC3.又OC3OB，OB1，B(1，0)把点B(1，0)和A(2，3)的坐标分别代入yax2bx3，得解得抛物线的解析式为yx22x3.(2)过点B作BEx轴，交AC的延长线于点E.BDOBAC，BODBEA
16、90，RtBDORtBAE，ODOBAEBE，OD133，OD1，D点坐标为(0，1)或(0，1)(3)存在M1(0，3)；M2(2，5)；M3(4，5)2解：(1)由题意，设抛物线的函数表达式为y(x1)2k，把(1，0)代入，得0(11)2k，解得k4，抛物线的函数表达式为y(x1)24x22x3.(2)当x0时，y(01)243，点C的坐标是(0，3)，OC3.点B的坐标是(3，0)，OB3，OCOB，则OBC是等腰直角三角形，OCB45.过点N作NHy轴，垂足为H.NCB90，NCH45，NHCH，HOOCCH3CH3NH，设点N为(a，a22a3)，a3a22a3，解得a0(舍去)或
17、a1，点N的坐标是(1，4)(3)四边形OAPQ是平行四边形，PQOA1，且PQOA.设P(t，t22t3)，则Q(t1，t22t3)将点Q(t1，t22t3)代入yx，得t22t3(t1)，整理得2t2t0，解得t10，t2，t22t3的值为3或，P，Q的坐标分别是(0，3)，(1，3)或(，)，(，)3解：(1)抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(5，0)两点，解得yx24x5.(2)点C的纵坐标为8，令x24x58，解得x11，x23，当x1时，m1(6)7；当x3时，m3(6)9.综上所述，将ADC沿x轴向右平移7个或9个单位长度时，点C落在抛物线上(3)由(1)得，抛物线的对称轴
18、为直线x2，即点P的横坐标为xP2，由(2)得点E(1，8)若以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则分两类情况讨论：以BE为一边的平行四边形，如图，则4，解得xQ6或xQ2，Q(6，7)或Q(2，7)；以BE为对角线的平行四边形，如图，则xQxBxExP5124，Q(4，5)综上所述，使得以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形的点Q的坐标为(6，7)或(2，7)或(4，5)4解：(1)解x212x320得x18，x24.边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x212x320的两个根，且OAOC，OA8，OC4.(2)把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，ADABCO，ADEABCCOE，又AEDCEO，ADECOE(AAS)，CEAEOAOE8OE.在RtOEC中，由勾股定理得OE2OC2CE2，即OE242(8OE)2，OE3.(3)如图所示，作DMx轴于点M，则COECMD，即，OM，DM，点D的坐标为(，)(4)存在如图所示，点P的坐标为(，)； 如图所示，点P的坐标为(4，5)；如图所示，点P的坐标为P3(，32 )； 如图所示，点P的坐标为P4(，32 )