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1、2.3 幂函数,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,【情境导学】 导入 请用描点法在同一平面直角坐标系中画出初中已熟知的函数y=x, y=x2,y= 的图象,并观察它们的共同特点.,答案:这些函数都是以幂的底数为自变量,指数为常数,它们的图象都过点(1,1).这类函数称之为幂函数.,知识探究,1.幂函数的概念 一般地,函数 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数. 探究1:幂函数与指数函数的自变量有何区别? 答案:幂函数是形如y=x(R),自变量在底数上,而指数函数是形如y=ax(a0且a1),自变量在指数上.,y=x,x,2.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,
2、y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象如图:,探究2:幂函数图象不可能出现在第几象限? 答案:第四象限.这是因为y=x中当x0时,y不可能小于0.,3.幂函数的性质,增,减,增,增,减,【拓展延伸】 函数y=xn(n= ,p,qZ,|p|与|q|互质)的图象,自我检测,1.(概念)下列函数中是幂函数的为( ),(A) (B) (C) (D)全不是,B,解析:根据幂函数的定义,xa的系数为1,指数位置的a为一个常数,且常数项为0可知,只有满足定义,故选B.,B,B,B,5.(单调性)若f(x)=x在(0,+)上单调递增,则的取值范围为 .,答案:(0,+),题型一,幂函数的概念,课堂探究素
3、养提升,解析:(1)为指数函数,中系数不是1,中解析式为多项式,中底数不是自变量本身,所以只有是幂函数,故选B. (2)由幂函数的定义可知m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0.解得m=1或m=2.故选C.,方法技巧 幂函数解析式的结构特征:(1)解析式是单项式;(2)幂指数为常数,底数为自变量,系数为1.,(A)偶函数,且在(0,+)上是增函数 (B)偶函数,且在(0,+)上是减函数 (C)奇函数,且在(0,+)上是减函数 (D)非奇非偶函数,且在(0,+)上是增函数,(2)幂函数f(x)=xm是偶函数,在x(0,+)为增函数,则m的值可以为 (填序号). -1;2;4;-1或2.,(2)
4、因为幂函数f(x)=xm是偶函数, 在x(0,+)为增函数,所以m是正偶数,所以m的值可能是2或4.,答案:(1)D (2),题型二,幂函数的图象,【例2】 (1)(2018安庆高一期末)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( ),(2)(2017江西高一月考)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是( ) (A)d cba (B)abcd (C)d cab (D)abdc,解析:(2)在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以abcd.故选B.,方法技巧 根据幂函数的图象
5、比较指数的大小,可根据幂函数的单调性以及图象的变化判断,也可利用特征,如令x=2,作出直线x=2与各图象的交点,由指数函数y=2x的单调性即可由交点的纵坐标确定指数的大小关系.,题型三,幂函数的性质,【例3】 比较下列各组数的大小:,(2)(-2)-3和(-2.5)-3;,(2)幂函数y=x-3在(-,0)和(0,+)上为减函数, 因为0-2-2.5,所以(-2)-3(-2.5)-3.,解:(3)幂函数y=x-0.1在(0,+)上为减函数, 因为01.2-0.1.,方法技巧 比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不
6、同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.,即时训练3-1:比较下列各组中两个数的大小:,(2)因为幂函数y=x1.5在(0,+)内单调递增,所以0.71.50.61.5.,解:(1)因为函数在(0,+)上递增, 所以9-3m0,解得m3, 又mN*,所以m=1,2, 又函数图象关于原点对称, 所以9-3m为奇数, 故m=2.所以f(x)=x3.,【备用例3】 (2017连城一中高一期中)已知幂函数f(x)=x9-3m(mN*)的图象关于原点对称,且在R上函数值随x的增大而增大. (1)求f(x)的表达式;,(2)求满足f(a+1)+f(3a-4)0的a的取值范围.,题型四,易错辨析对幂函数理解不全致误,【例4】 若(a+1)-1(3-2a)-1,求实数a的取值范围.,纠错:f(x)=x-1在(-,0)和(0,+)上均为减函数,但在(-,0)(0,+)上不具有单调性,在此错用函数单调性.,点击进入 课时作业,点击进入 周练卷,谢谢观赏！,