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1、2.1.3 函数的单调性,目标导航,新知探求,课堂探究,1.函数y=f(x)的图象上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),自变量的改变量x= ,函数值的改变量y= . 2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA. 如果取区间M中的 两个值x1,x2.改变量x=x2-x10,则当 时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数.当 时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数.,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,x2-x1,y2-y1,任意,y=f(x2)-f(x1)0,y=f(x2)-f(x1)0,3.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间
2、M上具有 .区间M称为 .,单调性,单调区间,【拓展延伸】 1.判断(或证明)函数单调性时,通常要经过下列步骤:取值作差变形定号判断. (1)取值. 即设x1,x2是该区间内的任意两个值且x1x2. (2)作差、变形.求f(x2)-f(x1),通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形. (3)定号.根据给定的区间和x2-x1的符号确定f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论. (4)判断.根据单调性定义作出结论. 2.函数单调性定义中的x1,x2有三个特征:一是任意性,即“任意取x1,x2”, “任意”二字决不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特
3、殊值替换;二是有大小,通常规定x1x2;三是同属一个单调区间,三者缺一不可.,4.函数的最大(小)值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的xI,都有f(x)M或f(x)M; (2)存在x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大(小)值. 5.若函数f(x)在闭区间a,b上是增函数,则f(x)在a,b上的最小值为f(a),最大值为f(b);若函数f(x)在闭区间a,b上是减函数,则f(x)在a,b上的最小值为f(b),最大值为f(a).,6.判断函数单调性常用的结论. (1)函数y=f(x)与函数y=-f(x)的单调性相反. (2
4、)函数y=f(x)与函数y=f(x)+c(c为常数)的单调性相同. (3)当a0时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相同;当a0时,函数y= af(x)与函数y=f(x)的单调性相反.,(6)若f(x)0,g(x)0,且在公共区间上都是增(减)函数,则y=f(x)g(x)在此区间上是增(减)函数;若f(x)0,g(x)0,且在公共区间上都是增(减)函数,则y=f(x)g(x)在此区间上是减(增)函数.,(7)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数. 7.判断复合函数y=f(g(x)单调性的步骤: (1)确定函数的
5、定义域; (2)将复合函数分解成y=f(u),u=g(x); (3)分别确定这两个函数的单调性; (4)若这两个函数在对应的区间上“同增或同减”,则y=f(g(x)为增函数;若这两个函数为一增一减,则y=f(g(x)为减函数,即“同增异减”. 判断方法如下表:,自我检测,1.函数f(x)=-x2+1的单调递增区间是( ) (A)(-1,1) (B)(-1,0) (C)(-,0) (D)(0,+),C,解析:二次函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=0,所以f(x)的单调递增区间是(-,0).故选C.,2.下列说法正确的是( ) (A)定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1x2,有f(x
6、1)f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数 (B)定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2(a,b),使得当x1x2时,有f(x1)f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数 (C)若f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为增函数,那么f(x)在I1I2上也一定为增函数 (D)若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)f(x2)(x1,x2I),那么x1x2,D,B,4.设函数f(x)是(-,+)上的减函数,则f(-2)与f(1)的大小关系为 .,解析:因为f(x)是(-,+)上的减函数, 所以f(-2)f(1). 答案:f(-2)f(1),类型一,用定义证明
7、函数的单调性,课堂探究素养提升,思路点拨:利用定义证明函数单调性的关键是对f(x2)-f(x1)进行合理的变形,尽量变为几个简单因式的乘积形式.,方法技巧 (1)定义法证明函数的单调性主要步骤是取值、作差、定号、判断. (2)定义法证明函数单调性步骤的核心是判断差的符号,为了确定符号,一般是将f(x2)-f(x1)尽量因式分解出含有x2-x1的因式,再将剩下的因式化成积、商的形式,或化成几个非负实数的和的形式,这样有利于该因式符号的确定. (3)涉及根式的差时,常用分子有理化方法,涉及分式的差常用通分的方法.,类型二,求函数的单调区间,【例2】 求函数y=-(x-3)|x|的单调区间.,思路点
8、拨:化简函数解析式,画出函数图象求解.,方法技巧 (1)求函数的单调区间时,若函数不是常见的一次函数、二次函数、反比例函数,则需作出函数图象,利用函数图象直观得到函数的单调区间. (2)含绝对值号的函数解析式,作其图象时要先利用绝对值的性质去掉绝对值号,化简函数解析式.,变式训练2-1:画出函数y=x2-2|x|-3的图象,并指出函数的单调区间.,类型三,函数单调性的应用,答案:(1)B,(2)若函数f(x)=|2x+a|在6,+)上是增函数,则a的取值范围是 .,答案:(2)-12,+),方法技巧 (1)解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法为若函数y=f(x)在区间D上是增函数,对任意x1,x2D,且f(x1)x2.但需要注意的是不要忘记函数的定义域.,变式训练3-1:(1)已知函数f(x)=x2+ax+1,若f(x)在-4,+)上是增函数,求a的取值范围;若f(x)的单调递增区间是-4,+),求a的取值;,(2)已知函数f(x)是定义在-2,3上的减函数,且f(4-2x)f(x-1),求x的取值范围.,类型四,易错辨析,答案:(-,0,点击进入 课时作业,谢谢观赏！,