《2020版数学新优化浙江大一轮课件：第八章 立体几何8.4 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学新优化浙江大一轮课件：第八章 立体几何8.4 .pptx（47页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、8.4 直线、平面垂直的判定与性质,-2-,-3-,-4-,知识梳理,双击自测,1.直线与平面垂直 (1)定义:若直线l与平面内的 一条直线都垂直,则直线l与平面垂直. (2)判定定理和性质定理:,任意,两条相交直线,ab=O,平行,-5-,知识梳理,双击自测,2.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ,叫做这条斜线和这个平面所成的角.,3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作与棱 的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的平面角的范围:0,.
2、,锐角,两个半平面,垂直,-6-,知识梳理,双击自测,4.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理和性质定理:,直二面角,垂线,交线,l,-7-,知识梳理,双击自测,1.(教材改编)下列命题中错误的是( ) A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面 D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B与平面BB1D1D所成的角
3、的大小是( ) A.90 B.30 C.45 D.60,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,3.(2018北京高三模拟)已知正方体ABCD-ABCD,记过点A与三条直线AB,AD,AA所成角都相等的直线条数为m,过点A与三个平面AB,AC,AD所成角都相等的直线条数为n,则下面结论正确的是( ) A.m=1,n=1 B.m=4,n=1 C.m=3,n=4 D.m=4,n=4,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,4.(教材改编)P为ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影. (1)若P到ABC三边距离相等,且O在ABC的内部,则O是ABC的 心; (2)若PABC,PBAC,则
4、O是ABC的 心; (3)若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是ABC的 心.,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可),答案,解析,-12-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行,还有可能异面、相交等. 2.线面垂直的关键是线线垂直,通过线线垂直证明线面垂直;反过来也可通过线面垂直证明线线垂直.,-13-,考点一,考点二,考点三,考点四,垂直关系的相关命题的真假判断(考点难度)
5、 【例1】 (1)设,是两个不同的平面,m是一条直线,给出下列命题: 若m,则m,;若m,则m.则 ( ) A.都是假命题 B.是真命题,是假命题 C.是假命题,是真命题 D.都是真命题,答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)给出下列四个命题: 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直; 过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直; 如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行,那么a; 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角相等. 其中的真命题为( ) A. B. C. D.,答案,解析,-15-,考点一,考点
6、二,考点三,考点四,方法总结解决此类问题常用的方法: (1)依据定理条件才能得出结论的,可结合符合题意的图形作出判断; (2)否定命题时只需举一个反例; (3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选.,-16-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面( ) A.若mn,n,则m B.若m,则m C.若m,n,n,则m D.若mn,n,则m,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45, BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三
7、棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( ) A.平面ABD平面ABC B.平面ADC平面BCD C.平面ABC平面BCD D.平面ADC平面ABC,答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,考点四,直线与平面垂直的判定与性质(考点难度) 【例2】 如图,在四棱锥E-ABCD中,平面CDE平面ABCD,DAB=ABC=90,AB=BC=1,AD=ED=3, EC=2. (1)证明:AB平面BCE; (2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值.,-19-,考点一,考点二,考点三,考点四,分析:(1)推导出ECCD,从而CE面ABCD,再由CEAB,ABBC,由此能证明AB平面BCE. (2)过A
8、作AHDC,交DC于H,则AH平面DCE,连接EH,则AEH是直线AE与平面DCE所成的角,由此能求出直线AE与平面CDE所成角的正弦值. (1)证明:DAB=ABC=90,四边形ABCD是直角梯形, AB=BC=1,AD=ED=3,EC=2.,CE2+DC2=DE2,ECCD. 平面EDC平面ABCD,平面EDC平面ABCD=DC, CE平面ABCD.CEAB. 又ABBC,BCCE=C,AB平面BCE.,-20-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)解:过A作AHDC,交DC于H,则AH平面DCE,连接EH, 则AEH是直线AE与平面DCE所成的平面角,-21-,考点一,考点二,考点三,
9、考点四,方法总结1.证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面). 2.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等. 3.求线面角通常可以先找到面的垂线,垂足和线面交点的连线是射影线,射影线和斜线所成角即为线面角.,-22-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练在三棱锥A-
10、BCD中,AB平面BCD,DB=DC=4,BDC=90,P在线段BC上,CP=3PB,M,N分别为AD,BD的中点. (1)求证:BC平面MNP; (2)若AB=4,求直线MC与平面ABC所成角的正弦值.,-23-,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明:MN是ABD的中位线,MNAB. 又AB平面DBC,MN平面DBC.MNBC. 取BC的中点Q,连接DQ,则DQBC. 由PN是BDQ的中位线知PNDQ,PNBC.,又MNPN=N,BC平面MNP.,-24-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)解:AB平面PBC,ABQD. 而BCQD,QD平面ABC. 连接AQ,取AQ的中点E,连接
11、EM,EC. 在AQD中,EM是中位线,EMQD. EM平面ABC. MCE就是直线MC与平面ABC所成角.,-25-,考点一,考点二,考点三,考点四,平面与平面垂直的判定与性质(考点难度) 【例3】 如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACFE为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE= ,EAD=EAB. (1)证明:平面ACFE平面ABCD; (2)若AE与平面ABCD所成角为60,求二面角B-EF-D的余弦值.,-26-,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明:连接EG,四边形ABCD为菱形, AD=AB,BDAC,DG=GB. 在EAD和EAB中,AD=AB,AE=
12、AE,EAD=EAB, EADEAB. ED=EB,BDEG. ACEG=G,BD平面ACFE. BD平面ABCD,平面ACFE平面ABCD.,-27-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)解:过点G作EF垂线,垂足为M,连接MB,MG,MD,易得EAC为AE与平面ABCD所成的角,EAC=60. EFGM,EFBD, EF平面BDM. DMB为二面角B-EF-D的平面角,-28-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形. 2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直. 3.平面和平
13、面垂直的判定定理的两个条件:l,l,缺一不可. 4.线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.,-29-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练如图(1)所示,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD= ,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图(2)所示. (1)证明:CD平面A1OC; (2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值.,-30-,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明:在图(1)中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD
14、的中点,BAD= , 所以BEAC,BECD.在图(2)中,BEOA1,BEOC,又OA1OC=O,OA1平面A1OC,OC平面A1OC,从而BE平面A1OC.又CDBE,所以CD平面A1OC.,-31-,考点一,考点二,考点三,考点四,-32-,考点一,考点二,考点三,考点四,-33-,考点一,考点二,考点三,考点四,平行与垂直的综合问题(考点难度) 考情分析从近几年的高考来看,空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考的热点,归纳起来常见的命题角度有:(1)以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明;(2)探索性问题中的平行与垂直问题;(3)折叠问题中的平行与垂直问题.,-34-,考点一,
15、考点二,考点三,考点四,类型一 平行与垂直关系的证明 【例4】 在正三角形ABC中,点E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,且满足AEEB=CFFA=CPPB=12(如图1),将AEF折起到A1EF的位置上,连接A1B,A1C(如图2). (1)求证:FP面A1EB; (2)求证:EFA1B.,-35-,考点一,考点二,考点三,考点四,证明:(1)CPPB=CFFA,FPBE. 又BE平面A1EB,FP平面A1EB,FP平面A1EB. (2)不妨设正三角形ABC的边长为3,则AE=1,AF=2,又 EAF=60,EF2=AE2+AF2-2AEAFcosEAF=12+22-212cos 60
16、=3.EF= 在AEF中,AF2=AE2+EF2,EFAE,即EFAB. 则在图中,有EFA1E,EFBE,A1EBE=E,A1E平面A1EB,BE平面A1EB,EF平面A1EB. 又A1B平面A1EB,EFA1B.,-36-,考点一,考点二,考点三,考点四,类型二 探索性问题中的平行与垂直关系 【例5】 如图,在RtABC中,C=90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图.,图 图,-37-,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)求证:DE平面A1CB; (2)求证:A1FBE; (3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C
17、平面DEQ?说明理由.,(1)证明:由题意可知DEBC,DE平面A1CB,BC平面A1CB,所以DE平面A1CB; (2)证明:由已知,得ACBC,且DEBC. 所以DEAC,则DEDC,DEDA1, 因为DCDA1=D,所以DE平面A1DC. 由于A1F平面A1DC,所以DEA1F. 又因为A1FCD,CDDE=D, 所以A1F平面BCDE, 又BE平面BCDE,所以A1FBE.,-38-,考点一,考点二,考点三,考点四,(3)解:线段A1B上存在点Q,使A1C平面DEQ. 理由如下: 如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,连接PQ,则PQBC. 又因为DEBC,则DEPQ. 所以平面DE
18、Q即为平面DEQP. 由(1)知,DE平面A1DC, 所以DEA1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点, 所以A1CDP. 又DPDE=D,所以A1C平面DEQP. 从而A1C平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q,使得A1C平面DEQ.,-39-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结平行与垂直的综合应用问题的处理策略 (1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点的存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识设点. (2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系,尤其是隐含着的垂直关系.,-40-,答题规范立
19、体几何解答题答题策略 通过近两年的高考试题看,线线、线面、面面垂直的判定与性质的应用是考查的重点和热点,主要考查空间想象能力和推理论证能力,线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理.线面角问题主要考查“作、证、算”三部曲.新高考改革背景下主要以考查线面角为主.,-41-,【典例】 (本题15分)(2017浙江湖州高三期末)在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC是正三角形,且A1A=AB,顶点A1在底面ABC上的射影是ABC的中心. (1)求证:AA1BC; (2)求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小.,-42-,分析:
20、(1)由A1O底面ABC,得A1OBC,再由O是ABC的中心,连接AO交BC于D,则ADBC,由线面垂直的判定可得BC平面A1AD,进一步得到AA1BC; (2)取B1C1的中点D1,连接A1D1,DD1,由(1)知,BC平面ADD1A1,由线面垂直的判定和性质可得直线A1B与平面BCC1B1所成角.求解直角三角形得答案.,-43-,(1)证明:如图, A1O底面ABC,A1OBC. (2分) ABC为正三角形,O为底面三角形的中心, 连接AO交BC于D,则ADBC, (4分) 又ADA1D=O,BC平面A1AD,则AA1BC. (7分),-44-,(2)解:取B1C1的中点D1,连接A1D1
21、,DD1, 由(1)知,BC平面ADD1A1, 平面ADD1A1平面BB1C1C,且平面ADD1A1平面BB1C1C=DD1, 过A1作A1HDD1,垂足为H,连接BH, (10分) 则A1BH为直线A1B与平面BCC1B1所成角. (12分),直线A1B与平面BCC1B1所成角为45. (15分),-45-,答题指导立体几何解答题一般第一小题为平行垂直关系的证明,第二小题是求空间角,在答题过程中要注意解答题的规范性,防止不必要的失分.,-46-,高分策略1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 2
22、.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.,-47-,3.在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键. 4.利用综合法求空间角的步骤: (1)找:根据图形找出相关的线面角或二面角; (2)证:证明找出的角即为所求的角; (3)算:根据题目中的数据,通过解三角形求出所求角.,