全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)(1).docx

1、全等三角形问题中常见的协助线的作法（有答案）总论，全等三角形问f1.1.主乂的是构造全等三角形，构造二条边之闾的相等，构造二个角之间的相等1 .等腰三角形“三线合一”法：遇到等展三角形，可作底边上的高，利用“；.线合一”的性质解题2 .倍长中线：倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3 .角平分线在三种添悔助线4 .垂直平分线联结线段两端5 .用“截长法”或“补短法，理到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6 .图形辛卜全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7 .角度数为30、60度的作垂线法I遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一

2、边作蠢线，目的是构成30S90的特别直角三角形，然后计算边的长度与角的度效，这样可也得到在敷值上相等的二条边或二个角.从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件.&计算数值法：遇到等直角三角形，正方形时，成30祉90的特别直角三角彩，或*0-80的特别直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创j#边、角之间的相东件.常见的助线的作法有以下JUM量主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等.D遇到等腰-：角形,可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解时思维模式是全等变换中的“对折”J构造全等三角形.2）遇到三角形的

3、中线.倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形.利用的思维模式是全等变换中的“旅转”法构造全等三角形.3）遇到向平分战在二种添协助线的方法，（1）可以自用平分城上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折,所考学问点经常是角平分线的性侦定理或逆定理.（2）可以在珀平分战上的一点作该角平分成的乖战与角的两边相交，形成一对全等三角形,（3）可以在该角的两边上，跑围角的顶点相等长度的位置上敲取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等：角形.4）过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的平移”或“物转折殁”5）搬氏法与

4、补短法,详细做法是在某条线段上赦取一条线段与特定规段相等，或是将某条戊段延长，是之与特定战段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明,这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的遨目.6）己知某战段的布宜平分戏，那么可以在垂且平分线上的某点向该践段的两个然点作连线，出一对全等二角形.特别方法：在求有关三角形的定佗一类的问遨时，常把某点到原-:角形各R5点的税段连接起来，利用三角形面积的学问解答.一、倍长中线（线段）造全等例Ij“希里杯”试飕己知.如图AABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是.例2、如图，AABC中，E、F分别在AB、Ae上，DEDF.D是中点，试比较BExT马E

5、F的大小.例3、如图,ABC,BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.DEC应用，I、(09崇文二模以AA8C的两边A8、AC为腰分别向外作等版Rt和等段RtACE,/8A。=NCAE=90.连接A,N分别是BC.DE的中点.探究：AAf与的位汽关系及数玳关系.(I)如图当MBe为面角三角形时，AM与。E的位置关系是,线段AM与DE的数版关系是：(2)将图中的等股R1.A血绕点A沿逆时针方向旋转V(OBA,AD=CD.BD平分NABC求证：A+C=I8(F5、如图在AABC中，ABAC.Z1=Z2.P为AD上随意B一点，求证:ABACPB-PCJfi用，如图，在四边形A1.f

6、CD中,MBC,点E是八8上一个动点.若48=60MN=BC,且ZOEC=60|A1.)EHC的关系并证明你的结论.解：三、平移交换EBC周长记为心.求证乜/：例1AD为aABC的角平分畿，内战MN1.AD于A.E为MN上一点，AABC周长记为PA,例2如图.在aABC的边上取两点IkE,且BD-CE.求证：ABMeAEAE.四、借助角平分然造全等1、如图，己知在AABC中，ZB=604,ZABC的角平分SUD,CE相交于点0,求证：OE=OD2、如图,ZUBC中,AD平分NBC.DG_1.BC且平分BC.DE1.B干E.DF1.C于H(1)说明BE=CF的理由：(2)假如AB=，AOZ,求A

7、E、BE的长.K如图，。是/MOV的平分线，请你利用该图形画一对以。所在直税为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(I)如图,在八8C中，/AC8是自角，Z=6(),D,CE分别是N8八CNBCA的平分线.A1.KCE相交于点匕请你推阍并写出FE与/。之间的数量关系：(2)如图，在448C中，假如/AC8不是直角，而(I)中的我它条件不变，请何，你在(D中所得结论是否仍旧成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（第2385ftb五、旋转例1正方形ABa)中，为Be上的一点，F为CD上的一点，BE+I)F=FF,求/EAF的度数.例2D为等腰RtMBC斜边AB的

8、中点，DM1DN,DM.DN分别交BCfCA于点E,F,(1) 当NMDN绕点D转动时，求证DE=PF,(2)若AB=2,求四边形DECF的面枳。例3如图，BC是边长为3的等边三角形，ABQC是等股三角形，HZfiDC=120%以D为顶点做一个6（尸ff.使其两边分别交AB干点M,交C于点N,连接MN.则MMN的周长为：应用：I、已知四边形人BC/）中，AB1.AD.BCA.CD.AB=BC,ABC=120,ZV=60.N8N绕8点旋转.它的两边分别交4DC（或它们的延长城）干E,F.当4MBN线B点旋转到AE=CF时（如图I），易证AE+CF=EF.当/MBN绕8点旋转到AECF时，在图2和

9、图3这两种状况下，上述结论是否成立？若成立，请购予证明；若不成立，我段AECF.EF又有怎样的数附关系？谛”出你的猜想,不需证明.（图2）（图3）（图1）2、（西城09年一-模）已知:PA=1.PB=4以AB为一边作正方形ABCD,使P,。两点落在直线AB的两侧.如图.当NAPB=45“时求AB及PD的长；（2）当NAPB变更,且其它条件不变时.求PO的最大值.及相应NAPe的大小.3、在等边AASC的两边AB、AC所在出线上分别有两点M、N.D为,./VJC%-点,且MDN=60,.ZBDC=120,BD=DC.探究：当M、N分别在且践AB、AC上移动时,BM.NC.MN之间的数帝关系及AA

10、MN的周长Q与等边A48C的周长1.的关系.图I图2图3（I）如图1,当点M、NiiABxAC上，且DM=DN时，BM、NC.MN之间的数量关系是:此时当;（II）如图2,点M、N边AB、AC,且当DMHDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的他世并加以证明：（III）如图3,当M、N分别在边AB、CA的一长线上时,若AN=X.则Q=（用K、1.表示）.参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题已知,如图AABC中.AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是解:延长AD至EttAE=2AD,连BE,由三角形性质知A例2、如图，AABC中，E、F分别在AB、大小.解：

11、I倍长中线，等腰三角形“三线合JZZABDCAC上，DEDF.D是中点，试比较BEXT与EF的A,法）延长FD至G使ro=2EF,连BG.EGZAB-BE2DAB+BE故AD的取值范围是1AD4明&BG=FC.在ZSEFG中,留意到DE1.DF,由等腰三角形的三线合一知EG=EF在ABEG中.由三角形性质知EGBGBE故：EFBE+FC例3、如图,AABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：解：延长AE至G使AG=2AE,连BG,DG,明显DG=AaZGDC-ZCD由于DC=AC,故/ADC=/DAC在AADB与AADG中，BDAD平分/BAE.CBD=C-DG.D=D.ZADB=NA

12、DC+ZACD=ZADC+ZGDC=ZADG故AADBgZUDG.故百NBAI)-NDAG,即AD平分NBAE应用t1、（09崇文二模）以的两边A8、AC为腰分别向外作等腰BCR1.aAQ和等假Rt4CE,N8八。=NcS=90,连接。凡A/、N分别是EC、DE的中点.探先AMiDF.的位&关系及数量关系.（I）如图当AABC为出角三角形时,AM1.jDE的位置关系是.线段AM与的数喷关系是：（2）将图中的等腰R1.AAfiD绕点A沿逆时针方向战转4（0夕90）后，如图所示，（1）问中得到的两个站说是否发生变更？并说明理由.二、长补Jf1.1,如图，A8C中，AB=2RC,AD平分/84C,旦

13、AD=BD,求if；CD1.AC解：（截长法在AB上取中点F,连FDADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DFB.故NAH）=90DFADC(SS)ZACD=ZAH)=90o即：CD1.AC2、如图，ADBC,ER,EB分别平分NDAB,NCBA,CD过点E,JRiiEiAB=AIHBC解：截长法在AB上取点F,使AF=AD,连FEDE4AHZAIJE=ZAre.ZADBZBCE=18OZAFE*ZBFE=180*故NECB=/EFBFBECBE故有BF=BC从而:AB=AIXBCZBAC=M,ZC=4OP.Q分别在BGCA上，并旦AP,BQ分别是N3AC,CN8C的角平分戏，米证：

14、B矽AQ=AB+BP解：（补短法，计算数值法）廷长AB至D,使BD=BP,连Dp在等腰aBPD中，可得NBDP=40从而NBDP=40=ZACPDPCP故AD=AC又NQBC=Kr=ZQCB故BQ=QCBD=BP从而BAQ-AB出P4、如图.在四边形ABCD中,BCBR,AD=CD.BD平分48C求证：Z4+ZC=180解：补短法延长BA至F,使BF=BC,BI)FBDC(SAS故NDFB=NDCB.FD=DC又AD=CD故在等覆ZSBFD中ZDFB=ZDAf连FD5,如图在AABC中，ABAC,NI=N2,P为AD上BS.在一点，求证;AB-ACAPB-PC解：(补短法延长AC至F,使AF=

15、AB,ABPAFP(SAS)故BP=PF由：.角形性质知连PDPB-PC=PF-PCP.解：愤而反射法延长BA至F.使AF=AC.连FEAD为ZSABC的角平分线，MMAD知NFRE=NCAE故有FECAE(SS故EF=O-在ABEF中有：BE+EFBF=BAAF=BA+AC从而Ph=BECE+BCBF+BC=B+C+BC=P例2如图，在AABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证：B+ACAD+AE.证明:取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.VBD=CE,ADM=EM,DMNEMA(SAS),ADN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB干P,MJBN+BPPN,DP

16、PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,.,.AB+ACAD+AEo四、借助角平分线造全等1,如图,已知在AABC中,NB=60,AABC的角平分践AD,CE相交于点0,求证:OE=OD,DC+E=ACK证明(角平分线在三种添协助线，计舜数值法)B=60/I度，则/BAC+/BCA=I20度；三/IAD.CE均为角平分或，/则Nc)AC+NOCA=60度=NAOE=NCOD;/AOC=120度.B1.、,在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又Ao=A020AE=N0AF.则ZJOAEgAOAF(SAS),OE=OFjAE=AF;NAoF=NAo

17、E=60度.则/COF=/AoeAOF=60度=COD;又CO=CO;NOCD=/OCF.故ZJoCDgA0CF(SAS),OD=OFjCD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2,如图，A4BC中，AD平分BC.IXuBC且平分BGDE1.BfE,BFJ_AC于F.(1)说明BE-CF的理田：(2)假如AB-AC,求AE、BC的长.(呢直平分线联结线段两箭)连接BD,DCDG垂H平分BC,故BD=DC由于AD平分NBAaDEJ_AB于E,DF_1.RC于F.故有ED=DP故RTADBESSRTZiDFC故有BE-CFAB+AC=2EAE=(a*b)/2BE=(a-b)2应用，1、如

18、图P是NAfQV的平分线.请你利用该图形画对以0。所在直线为对称轴的全等三地形.请你参考这个作全等三丽形的方法，解答下列同四：(I)如图，在ZSA8C中，/AC8是口角，N心60,AD.CE分别是N8AC、NBCA的平分纹AD.CE相交于点A请你推断并写出FE与/。之间的数量关系：(2)如图，在中,假如NACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问，你在(D中所得结论是否仍In成立？若成立，诃证明：若不成立，请说明理由，五、旋转例1正方形ABC。中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求/EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度,至三角形ABG则GE=GB+

19、BE=DF+BE=EF乂AE=AE,AF=AG.所以三角形AEF全等于AEG所以/EAF=/GAE=/BAE+/GAB=/BAE+ZDAF又ZEAF+ZBAE+ZDAF=90所以NEAF=45度例2D为等腰R1.AHC斜边AB的中点，DMDN,DM.DN分别交K.CA于点E,儿(D当ZMDN浇点D转动时.求证DE=DF.若AB=2.求四边形DECF的面枳.D为等腰肋A8C斜边AB的中点，故有CU1.HCD=DACD平分BCA=90,/ECD=/DcA=45由于rW_1.DN,有NEW=90由于CD1.AB,有NCDA=卿.从而NCDE=NFDA=故有ZQ)E5ZiADF(ASA)故有DE=DF

20、2) SBt=2,SweeCT=Sz1Ae=I例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，I1.NBOC=120,以D为顶点做一个6角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则MMN的周长为：解：（图形补全法.“成长法”或“补短法”,计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交于点F,在纹段CF上取点E,使CE=BMYZxABC为等边加形，ZiBCD为等腰3|形，且NBDC=I20。，.ZMBD-ZMBc+ZDBC-60%30o-90o.ZDCE=180o-ZACD=180o-ZABD=90o.XVBM=CE.BD=CD.CDEBDM.ZCDE-ZBDM,DE-DM

21、ZND-ZNDCZCDE-ZNDC*ZBDM.ZBDC-ZMDN.1200-60o-60o.；在ADMN和aDEN中，DM=DENMDN=NEDN=60DN-DNDMNi2DEN,AMN=NEY在ADMA和aDEF中，DM-DEMDA=60o-MDB=60o-ZCDH=ZEDF(ZCDE=ZBDM)NDAM=NDFE=30DMNDEN(AAS).AMA=FEMN的周长为AN+MNAM=,AN+NE+EF-F-6应用;1,已知四边形AHCD中，AB1.AD.BC1.CD.AB=BC,ZABC=12(),ZMBN=60.NMSN绕8点旋转，它的两边分别交AZDC（或它们的延长线）千E,F.当4M

22、BN绕B点旋转到AE=CF肘2、（西城09年一模）已知:PA=.PB=A以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在宜妓A8的两侧如图.当AP8=45时.求A8及PD的长：（2）当ZAPB变更.且其它条件不变时.求PO的最大值,及相应NAPB的大小.3、在等边AABC的两边AB、AC所在直设上分别有两点M、N,D为-ABC外点，且AMDN=60.Z.BDC=120.BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时.BM.NC.MN之间的数信关系及AAMN的冏KQ与等边A48C的周氏1.的关系.（II如图2,点M.NiZ1.AB、AC上，且当DMHDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明：(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的廷氏殁上时.若AN=X,则Q=(用X、1.表示).