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1、名校精品资料数学第5讲空间中的垂直关系与空间直角坐标系基础巩固1.设,是两个不同的平面,l是一条直线,则以下命题中正确的是()A.若l,则lB.若l,则lC.若l,则lD.若l,则l答案:B解析:对于选项A,C,可能l,因此A,C均不正确.对于选项D,可能l或l,因此D不正确.故选B.2.一直线和平面所成的角为,则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是()A.B.C.D.答案:B解析:由最小角定理知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为,最大角是当斜线与平面内的一条直线垂直时所成的角,它为.3.已知A(-1,2,7),B(-3,-10,-9),则线段AB中点关于原点对称的点的坐标是()A.(
2、4,8,2)B.(4,2,8)C.(4,2,1)D.(2,4,1)答案:D解析:线段 AB的中点M的坐标是,即M(-2,-4,-1),M关于原点对称的点为(2,4,1).4.(2013山东东营一模)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部答案:A解析:由BC1AC,BAAC,得AC平面ABC1,所以平面ABC平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上.5.三棱锥P-ABC的两侧面PAB,PBC都是边长为2a的正三角形,AC=a,则二面角A-PB-C的大小为()A
3、.90B.30C.45D.60答案:D解析:设PB的中点为M,连接AM,CM,则AMPB,CMPB,AMC是二面角A-PB-C的平面角.因为由已知易知AM=CM=a,所以AMC是正三角形,即AMC=60.故选D.6.设X,Y,Z是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“XZ且YZXY”为真命题的是()X,Y,Z是直线X,Y是直线,Z是平面Z是直线,X,Y是平面X,Y,Z是平面A.B.C.D.来源:答案:C解析:因为垂直于同一个平面的两条直线平行,垂直于同一条直线的两个平面平行,所以情形可使“XZ且YZXY”为真命题.7.如图所示,直线PA垂直于O所在的平面,ABC内接于O,且AB为O的直径,
4、点M为线段PB的中点.现有结论:BCPC;OM平面APC;点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是()A.B.C.D.答案:B解析:对于,PA平面ABC,PABC.AB为O的直径,BCAC.BC平面PAC.又PC平面PAC,BCPC;对于,点M为线段PB的中点,OMPA.PA平面PAC,OM平面PAC,OM平面PAC;对于,由知BC平面PAC,线段BC的长即是点B到平面PAC的距离.因此都正确.8.空间四点A(2,3,6),B(4,3,2),C(0,0,1),D(2,0,2)的位置关系为(填是否共面).答案:不共面解析:在空间直角坐标系中作图分析,知A,B,C,D四点不共面.9.如
5、图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).答案:DMPC(答案不唯一)解析:由题意可知BDPC,当DMPC时,即有PC平面MBD.又PC平面PCD,平面MBD平面PCD.10.点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列四个命题:三棱锥AD1PC的体积不变;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是.答案:解析:连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1BC1.而BC1平面AD1C,即动点
6、P到平面AD1C的距离不变,故三棱锥P-AD1C的体积不变.又,正确.平面A1C1B平面AD1C,A1P平面A1C1B,A1P平面ACD1,正确.来源:由于DB不垂直于BC1,显然不正确.DB1D1C,DB1AD1,D1CAD1=D1,DB1平面AD1C.又DB1平面PDB1,平面PDB1平面ACD1,正确.11.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点.(1)求证:A1E平面ADE;(2)求三棱锥A1-ADE的体积.解:(1)证明:由勾股定理知:A1E=,AE=,则A1A2=A1E2+AE2,故A1EAE.AD平面AA1B1B,A1E平
7、面AA1B1B,A1EAD.又ADAE=A,A1E平面ADE.(2)=1,AD=11=.12.在直平行六面体AC1中,四边形ABCD是菱形,DAB=60,ACBD=O,AB=AA1.(1)求证:C1O平面AB1D1;(2)求证:平面AB1D1平面ACC1A1.解:(1)连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1.在平行四边形AA1C1C中,C1O1AO,C1O1=AO,四边形AOC1O1为平行四边形.从而可知C1OAO1.C1O平面AB1D1,AO1平面AB1D1,C1O平面AB1D1.(2)在直平行六面体AC1中,A1A平面A1B1C1D1,A1AB1D1.四边形A1B1C1D1为菱形,B1D
8、1A1C1.A1C1AA1=A1,A1C1平面ACC1A1,AA1平面ACC1A1,B1D1平面ACC1A1.来源:B1D1平面AB1D1,平面AB1D1平面ACC1A1.来源:13.(2013江西,文19)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.(1)证明:BE平面BB1C1C;(2)求点B1到平面EA1C1的距离.解：(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.在RtBFE中,BE=.在RtCFB中,BC=.在BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,故BEB
9、C.由BB1平面ABCD得BEBB1,所以BE平面BB1C1C.(2)解:三棱锥EA1B1C1的体积V=AA1.在RtA1D1C1中,A1C1=3.同理,EC1=3,A1E=2.故=3.设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1A1C1E的体积V=dd,从而d=,d=.拓展延伸14.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA平面ABCD,BCAD,CD=1,AD=2,BAD=CDA=45. (1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;(2)证明CD平面ABF;(3)求二面角B-EF-A的正切值.解:(1)因为四边形ADEF是正方形,所以FAED,CED为异面直线CE与AF所
10、成的角.因为FA平面ABCD,所以FACD.故EDCD.在RtCDE中,CD=1,ED=2,CE=3,于是cosCED=.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)证明:过点B作BGCD,交AD于点G,则BGA=CDA=45.由BAD=45,可得BGAB.从而CDAB.又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.(3)由(2)及已知,可得AG=,即G为AD的中点.来源:取EF的中点N,连接GN,则GNEF.因为BCAD,所以BCEF.过点N作NMEF,交BC于M,则GNM为二面角B-EF-A的平面角.连接GM,可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知,可得GM=.由NGFA,FAGM,得NGGM.因此,在RtNGM中,tanGNM=.故二面角B-EF-A的正切值为.