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1、名校精品资料数学第6讲空间向量及其运算基础巩固1.在平行六面体ABCD-ABCD中,向量是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量答案:C解析:,共面.来源:2.下面几项中,可代表与向量a=(1,-1,-2)垂直的一个向量的坐标的是()A.B.(-1,-3,2)C.D.(,-3,-2)答案:C解析:由两个向量垂直的充要条件可得.3.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则)等于()A.B.C.D.答案:A解析:依题意有)=.4.若向量a=(1,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则等于()A.2B.-2C.-2或D.2或-答案:C解析:由已知可得,
2、8=3(6-),解得=-2或=.5.(2013山东济宁月考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且,N为B1B的中点,则|为()A.aB.aC.aD.a答案:A解析:如图,设=a,=b,=c,来源:则|=|=.于是|2=,结合正方体棱长为a可求得|=a.6.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且AOB=AOC=,则cos的值为()A.0B.C.D.答案:A解析:设=a,=b,=c,由已知条件=,且|b|=|c|,可得=a(c-b)=ac-ab=|a|c|-|a|b|=0,因此cos=0.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:()-;()-
3、;()-2;()+.其中能够化简为向量的是()A.B.C.D.答案:A解析:()-;()-;()-2-2;()+.综上,表达式符合题意.8.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则|的值是.答案:解析:设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z),由=2知x=-,y=,z=3.由两点间距离公式可得|=.9.已知向量a+3b与7a-5b垂直,且向量a-4b与7a-2b垂直,则=.答案:60解析:由条件知(a+3b)(7a-5b)=7|a|2+16ab-15|b|2=0,及(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30
4、ab=0.两式相减,得46ab=23|b|2,即ab=|b|2.(*)将(*)式代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|a|=|b|.故cos=.0,180,=60.10.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GMGA=13,求证:B,G,N三点共线.证明:设=a,=b,=c,则=-a+(a+b+c)=-a+b+c,)=-a+b+c=.因此,即B,G,N三点共线.11.设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,ab以及a与b所成角的余弦值,并确定,应满足的条件,使a+b与z轴垂直.解:2a+3b=2(3,5,-4)
5、+3(2,1,8)=(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16).3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).ab=(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21.|a|=,|b|=,cos=-.a+b与z轴垂直,(3+2,5+,-4+8)(0,0,1)=-4+8=0,即=2.12.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得b?(O为原点)解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1
6、)=(0,-5,5),|2a+b|=5.(2)+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若b,则b=0.于是-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=.因此存在点E,使得b,此时E点的坐标为.拓展延伸13.直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=AA,ACB=90,D,E分别为AB,BB的中点.(1)求证:CEAD;(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.(1)证明:设=a,=b,=c,来源:根据题意,|a|=|b|=|c|且ab=bc=ca=0,于是=b+c,=-c+b-a.=-c2+b2=0,即CEAD.来源:(2)解:=-a+c,|=|a|,|=|a|.来源:数理化网因此=(-a+c)c2=|a|2.故cos=,即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.