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1、 滚动小专题(九)圆中的简单计算与证明类型1与垂径定理有关的计算与证明1如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C，其中点B坐标为(4，3)(1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标(2，1)；(2)D的半径为2；(3)求的长(结果保留)解：(1)如图，作线段AB与BC的垂直平分线，交点即为点D，圆心D的坐标为(2，1)(2)连接AD，则AD2.(3)过点D作DFAO延长线于点F，过点C作CGFD于点G.连接CD.在ADF和DCG中，DFCG2, AFDDGC90，AFDG4，ADFDCG(SAS)ADFDCG.DCGCDG90，ADFCDG90，即ADC90.l2.2如图，AB是O的
2、直径，弦CDAB于点E，且CD16，点M在O上，MD经过圆心O，连接MB.(1)若BE8，求O的半径；(2)若DMBD，求线段OE的长解：(1)ABCD，CD16，CEDE8.设OBx.又BE4，x2(x4)282，解得x10.O的直径是20.(2)MBOD，MD，DBOD.ABCD，D30.tanD.OEDE.3如图，射线PG平分EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作O，分别与EPF两边相交于A，B和C，D，连接OA，此时有OAPE.(1)求证：APAO；(2)若tanOPB，求AB.解：(1)证明：PG平分EPF，DPOBPO.OAPE，DPOPOA.BPOPOA.PAOA.
3、(2)过点O作OHAB于点H，则AHHBAB.tanOPB，PH2OH.设OHx，则PH2x.由(1)可知PAOA10，AHPHPA2x10.AH2OH2OA2，(2x10)2x2102, 解得x10(不合题意，舍去)，x28.AH6.AB2AH12.类型2与切线相关的证明与计算4(2016资阳)如图，在O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作O的切线，切点为D，连接BD.(1)求证：ABDC；(2)若CM平分ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM1时，求MN的长解：(1)证明：连接OD.AB为O的直径，ADB90，即AABD90.又CD与O相切于点D，CDBODB90.ODOB，AB
4、DODB.ABDC.(2)CM平分ACD，DCMACM.又ABDC，AACMBDCDCM，即DMNDNM.DNDM1.又ADB90，MN.5(2016南充)如图，在RtABC中，ACB90，BAC的平分线交BC于点O，OC1，以点O为圆心OC为半径作半圆(1)求证：AB为O的切线；(2)如果tanCAO，求cosB的值解：(1)证明：作OMAB于点M.OA平分CAB，OCAC，OMAB，OCOM.AB是O的切线(2)设BMx，OBy，则y2x21.由(1)知AC，AM均为O切线，ACAM.tanCAO.ACAM3.cosB，即x23xy2y.由可以得到y3x1.(3x1)2x21，解得x，y.
5、cosB.6如图，AB为O的直径，弦CDAB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且AFBABC.(1)求证：直线BF是O的切线；(2)若CD2，OP1，求线段BF的长解：(1)证明：AFBABC，ABCADC，AFBADC.CDBF.又CDAB，ABBF.直线BF是O的切线(2)连接OD.CDAB，PDCD.OP1，OD2.又CDBF，APDABF.，即.BF.7(2016威海)如图，在BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的O与CE相切于点D，ADOC，点F为OC与O的交点，连接AF.(1)求证：CB是O的切线；(2)若ECB60，AB6，求图中阴影部分的面积解：(1)证明：连接OD，与AF相交于点G.CE与O相切于点D，ODCE，即CDO90.ADOC，ADODOC，DAOBOC.又OAOD，ADODAO.DOCBOC.又ODOB，COCO，CDOCBO(SAS)CBOCDO90.CB是O的切线(2)由(1)可知DCOBCO，DOCBOC，ECB60，DCOECB30.DOCBOC60.AOD60.OAOD，OAD是等边三角形ADODOF.DOCADO，FGOAGD，ADGFOG(AAS)SADGSFOG.AB6，O的半径为3.S阴影S扇形ODF.