2017年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版).pdf

《2017年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版).pdf（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 2017 年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题 . （每小题 5 分） 1 （5 分）若集合 A=x| 2x1 ，B=x|x 1或 x3，则 AB=（） Ax| 2x1Bx| 2x3 Cx| 1x1Dx|1 x3 2 （5 分）若复数（ 1i ） （a+i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的 取值范围是（） A （， 1）B （， 1）C （1，+）D （1，+） 3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A2BCD 4 （5 分）若 x，y 满足，则 x+2y 的最大值为（） A1B3C5D9 5 （5 分）已知函数 f （x）=3 x（ ） x，则 f （x

2、） （ ） A是奇函数，且在 R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数 C是奇函数，且在 R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数 6 （5 分）设， 为非零向量，则“存在负数，使得= ”是“? 0” 的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 2 7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（） A3B2C2D2 8 （5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 3 361，而可观测宇 宙中普通物质的原子总数N约为 10 80，则下列各数中与 最接近的是（） （参考数据： lg3 0.48 ） A10 33 B10 53

3、 C10 73 D10 93 二、填空题（每小题5 分） 9 （5 分）若双曲线 x 2 =1的离心率为，则实数 m= 10 （5 分） 若等 差数 列 an 和 等比数 列 bn 满 足 a1=b1= 1， a4=b4=8，则 = 11 （5 分）在极坐标系中，点A 在圆 22cos4sin +4=0 上，点 P 的坐标为（ 1，0） ，则|AP| 的最小值为 12 （5分）在平面直角坐标系xOy中，角 与角 均以 Ox为始边，它们的终 边关于 y 轴对称，若 sin =，则 cos（） = 13 （5 分）能够说明“设a，b，c 是任意实数若abc，则 a+bc”是假 命题的一组整数 a，

4、b，c 的值依次为 14 （5 分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其 3 中 Ai的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1 ，2，3 （1）记 Qi为第 i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的 是 （2）记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中 最大的是 三、解答题 15 （13分）在 ABC中，A=60 ， c=a （1）求 sinC 的值； （2）若 a=7，求 ABC的面积 4 16 （14 分）如图，在四棱

5、锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD 平面 ABCD ，点 M在线段 PB上，PD 平面 MAC ，PA=PD= ，AB=4 （1）求证： M为 PB的中点； （2）求二面角 BPD A的大小； （3）求直线 MC与平面 BDP所成角的正弦值 17 （13 分）为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组各50 名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和 y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“ +”表示未服药者 （1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于 60 的概率； （2）从图中 A，B，C ，

6、D四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标x 的 值大于 1.7 的人数，求 的分布列和数学期望E（） ； （3）试判断这 100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的 方差的大小（只需写出结论） 5 18 （14分）已知抛物线 C ：y 2=2px 过点 P（1，1） 过点（0， ）作直线 l 与抛 物线 C交于不同的两点 M ，N，过点 M作 x 轴的垂线分别与直线OP 、ON交于点 A，B，其中 O为原点 （1）求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证： A为线段 BM 的中点 19 （13分）已知函数 f （x）=e xcosxx （1）求曲线

7、y=f （x）在点（ 0，f （0） ）处的切线方程； （2）求函数 f （x）在区间 0 ， 上的最大值和最小值 6 20 （13 分）设 an和bn 是两个等差数列，记cn=maxb1a1n，b2a2n， bn ann （n=1，2，3，） ，其中 maxx1，x2， xs 表示 x1，x2， xs这 s 个数中最大的数 （1）若 an=n，bn=2n1，求 c1，c2，c3的值，并证明 cn 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数 m ，当 nm时，M ；或者存在 正整数 m ，使得 cm，cm+1，cm+2，是等差数列 7 2017 年北京市高考数学试卷（理科） 参考

8、答案与试题解析 一、选择题 . （每小题 5 分） 1 （5 分）若集合 A=x| 2x1 ，B=x|x 1或 x3，则 AB=（） Ax| 2x1Bx| 2x3 Cx| 1x1 Dx|1 x3 【考点】 1E：交集及其运算 【专题】 11：计算题； 37：集合思想； 5J：集合 【分析】 根据已知中集合 A和 B，结合集合交集的定义，可得答案 【解答】 解：集合 A=x| 2x1，B=x|x 1 或 x3， AB=x| 2x1 故选： A 【点评】 本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题 2 （5 分）若复数（ 1i ） （a+i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的

9、取值范围是（） A （， 1）B （， 1）C （1，+）D （1，+） 【考点】 A1：虚数单位 i 、复数 【专题】 35：转化思想； 59：不等式的解法及应用； 5N：数系的扩充和复数 【分析】 复数（ 1i ） （a+i ）=a+1+（1a）i 在复平面内对应的点在第二象限， 可得，解得 a 范围 【解答】 解：复数（ 1i ） （a+i ）=a+1+（1a）i在复平面内对应的点在第二 象限， 8 ，解得 a1 则实数 a 的取值范围是（， 1） 故选： B 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能 力与计算能力，属于基础题 3 （5 分）执行如图所示的程

10、序框图，输出的S值为（） A2BCD 【考点】 EF ：程序框图 【专题】 5K：算法和程序框图 【分析】由已知中的程序框图可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答 案 【解答】 解：当 k=0 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2， 当 k=1 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= ， 当 k=2 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= ， 当 k=3 时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：， 9 故选： C 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，

11、或有规律时，常采 用模拟循环的方法解答 4 （5 分）若 x，y 满足，则 x+2y 的最大值为（） A1B3C5D9 【考点】 7C ：简单线性规划 【专题】 11：计算题； 31：数形结合； 35：转化思想； 5T：不等式 【分析】画出约束条件的可行域， 利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即 可 【解答】 解：x，y 满足的可行域如图： 由可行域可知目标函数z=x+2y 经过可行域的 A时，取得最大值，由，可得 A（3，3） ， 目标函数的最大值为： 3+23=9 故选： D 【点评】本题考查线性规划的简单应用， 画出可行域判断目标函数的最优解是解 题的关键 10 5 （5 分）已知函

12、数 f （x）=3 x（ ） x，则 f （x） （ ） A是奇函数，且在 R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数 C是奇函数，且在 R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数 【考点】 3N ：奇偶性与单调性的综合 【专题】 2A：探究型； 4O ：定义法； 51：函数的性质及应用 【分析】 由已知得 f （x）=f （x） ，即函数 f （x）为奇函数，由函数y=3 x 为 增函数， y=（） x 为减函数，结合“增”“减”=“增”可得答案 【解答】 解：f （x）=3 x（ ） x=3x 3 x， f （x）=3 x3x=f （x） ， 即函数 f （x）为奇函数， 又由函数 y=3 x

13、 为增函数， y=（） x 为减函数， 故函数 f （x）=3 x（ ） x 为增函数， 故选： A 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性， 是函数图象和性质 的综合应用，难度不大，属于基础题 6 （5 分）设， 为非零向量，则“存在负数，使得= ”是“?0” 的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件 【专题】 35：转化思想； 5A：平面向量及应用； 5L：简易逻辑 【分析】， 为非零向量，存在负数，使得= ，则向量， 共线且方向 相反，可得 ?0反之不成立， 非零向量， 的夹角为钝角，

14、满足 ? 0，而 =不成立即可判断出结论 11 【解答】 解： ， 为非零向量，存在负数，使得= ，则向量， 共线且 方向相反，可得?0 反之不成立，非零向量， 的夹角为钝角，满足?0，而= 不成立 ， 为非零向量， 则“存在负数 ，使得= ”是 ?0”的充分不必要 条件 故选： A 【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题 7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（） A3B2C2D2 【考点】 L! ：由三视图求面积、体积 【专题】 11：计算题； 31：数形结合； 44：数形结合法； 5Q ：立体几

15、何 【分析】 根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA ，根据勾 股定理求出即可 【解答】 解：由三视图可得直观图， 再四棱锥 PABCD 中， 最长的棱为 PA ， 12 即 PA= =2， 故选： B 【点评】 本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题 8 （5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 3 361，而可观测宇 宙中普通物质的原子总数N约为 10 80，则下列各数中与 最接近的是（） （参考数据： lg3 0.48 ） A10 33 B10 53 C10 73 D10 93 【考点】 4G ：指数式与对数式的互化 【专题】 11：计算题

16、 【分析】 根据对数的性质： T=，可得： 3=10 lg3 10 0.48 ，代入 M将 M也化为 10 为底的指数形式，进而可得结果 【解答】 解：由题意： M 3 361，N1080， 根据对数性质有： 3=10 lg3 10 0.48 ， M 3 361（100.48 ） 36110173， =10 93， 故选： D 【点评】本题解题关键是将一个给定正数T 写成指数形式： T=，考查指数 形式与对数形式的互化，属于简单题 13 二、填空题（每小题5 分） 9 （5 分）若双曲线 x 2 =1的离心率为，则实数 m= 2 【考点】 KC ：双曲线的性质 【专题】 11：计算题； 35：

17、转化思想； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可 【解答】 解：双曲线 x 2 =1（m 0）的离心率为， 可得：， 解得 m=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力 10（5 分）若等差数列 an和等比数列 bn 满足 a1=b1=1， a4=b4=8， 则= 1 【考点】 8M ：等差数列与等比数列的综合 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 54：等差数列与等比数列 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得 到结果 【解答】 解：等差数列 an 和等比数列 bn 满足

18、a1=b1=1，a4=b4=8， 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q 可得： 8=1+3d，d=3，a2=2； 8=q 3，解得 q=2，b 2=2 可得=1 故答案为： 1 14 【点评】 本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力 11 （5 分）在极坐标系中，点A 在圆 22cos4sin +4=0 上，点 P 的坐标为（ 1，0） ，则|AP| 的最小值为1 【考点】 Q4 ：简单曲线的极坐标方程 【专题】 31：数形结合； 44：数形结合法 【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的 点到点 P的距离的最小值 【解答】 解：设圆 22

19、cos4sin +4=0为圆 C，将圆 C的极坐标方程 化为： x 2+y22x4y+4=0， 再化为标准方程：（x1） 2+（y2）2=1； 如图，当 A在 CP与C的交点 Q处时， |AP| 最小为： |AP|min=|CP|rC=21=1， 故答案为： 1 【点评】 本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值， 难度不大 12 （5分）在平面直角坐标系xOy中，角 与角 均以 Ox为始边，它们的终 边关于 y 轴对称，若 sin =，则 cos（） = 【考点】 GP ：两角和与差的三角函数 15 【专题】 11：计算题； 33：函数思想； 4R ：转化法； 56：三角

20、函数的求值 【分析】 方法一：根据教的对称得到sin =sin =，cos=cos，以及两 角差的余弦公式即可求出 方法二：分 在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角 差的余弦公式即可求出 【解答】 解：方法一：角 与角 均以 Ox为始边，它们的终边关于y 轴对 称， sin =sin =，cos=cos， cos（） =coscos+sin sin = cos 2+sin2=2sin2 1= 1= 方法二： sin =， 当 在第一象限时， cos=， ， 角的终边关于 y 轴对称， 在第二象限时， sin =sin =，cos=cos=， cos（） =coscos+si

21、n sin =+= ：sin =， 当 在第二象限时， cos=， ， 角的终边关于 y 轴对称， 在第一象限时， sin =sin =，cos=cos=， cos（） =coscos+sin sin =+= 综上所述 cos（） =， 故答案为： 【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系， 需要分类 讨论，属于基础题 16 13 （5 分）能够说明“设a，b，c 是任意实数若abc，则 a+bc”是假 命题的一组整数 a，b，c 的值依次为1，2，3 【考点】 FC ：反证法 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 4O ：定义法； 5L：简易逻辑 【分析】 设 a，

22、b，c 是任意实数若 abc，则 a+bc”是假命题，则若a bc，则 a+bc”是真命题，举例即可，本题答案不唯一 【解答】 解：设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 a+bc”是假命题， 则若 abc，则 a+bc”是真命题， 可设 a，b，c 的值依次 1，2，3， （答案不唯一）， 故答案为： 1，2，3 【点评】 本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题 14 （5 分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其 中 Ai的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1

23、，2，3 （1）记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 Q1 （2）记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中 最大的是p2 【考点】 3A：函数的图象与图象的变换 17 【专题】 11：计算题； 27：图表型； 35：转化思想； 51：函数的性质及应用 【分析】 （1）若 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi=Ai的综坐标 +Bi的纵坐标；进而得到答案 （2）若 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi为 AiBi中点 与原点连线的斜率；进而得到答案 【解答】 解： （1）若 Qi

24、为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数， Q1=A1的纵坐标 +B1的纵坐标； Q2=A2的纵坐标 +B2的纵坐标， Q3=A3的纵坐标 +B3的纵坐标， 由已知中图象可得： Q1，Q2，Q3中最大的是 Q1， （2）若 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 则 pi为 AiBi中点与原点连线的斜率， 故 p1，p2，p3中最大的是 p2 故答案为： Q1，p2 【点评】 本题考查的知识点是函数的图象，分析出Qi和 pi的几何意义，是解答 的关键 三、解答题 15 （13分）在 ABC中，A=60 ， c=a （1）求 sinC 的值； （2）若 a=7，求 ABC的面积

25、【考点】 HP ：正弦定理 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 4O ：定义法； 58：解三角形 【分析】 （1）根据正弦定理即可求出答案， （2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB ， 根据面积公式计算即可 【解答】 解： （1）A=60 ，c=a， 18 由正弦定理可得 sinC=sinA=， （2）a=7，则 c=3， C A， sin 2C+cos2C=1 ，又由（ 1）可得 cosC= ， sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=+=， SABC=acsinB=73=6 【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式

26、和三角形的面积公式，属于基础 题 16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD 平面 ABCD ，点 M在线段 PB上，PD 平面 MAC ，PA=PD= ，AB=4 （1）求证： M为 PB的中点； （2）求二面角 BPD A的大小； （3）求直线 MC与平面 BDP所成角的正弦值 【考点】 MI：直线与平面所成的角； MJ ：二面角的平面角及求法 【专题】 15：综合题； 31：数形结合； 41：向量法； 5G ：空间角 【分析】 （1）设 AC BD=O ，则 O为 BD的中点，连接 OM ，利用线面平行的性质证 明 OM PD ，再由平行线截

27、线段成比例可得M为 PB的中点； （2）取 AD中点 G ，可得 PG AD ，再由面面垂直的性质可得PG 平面 ABCD ，则 PG AD ，连接 OG ，则 PG OG ，再证明 OG AD 以 G为坐标原点，分别以GD 、 GO 、GP所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标系， 求出平面 PBD 与平面 PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角BPD A的大小； （3）求出的坐标，由与平面 PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直 19 线 MC 与平面 BDP所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：如图，设AC BD=O ， ABCD 为正方形， O为 BD的中点，连

28、接 OM ， PD 平面 MAC ，PD ? 平面 PBD ，平面 PBD 平面 AMC=OM， PD OM ，则，即 M为 PB的中点； （2）解：取 AD中点 G ， PA=PD ，PG AD ， 平面 PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD 平面 ABCD=AD， PG 平面 ABCD ，则 PG AD ，连接 OG ，则 PG OG ， 由 G是 AD的中点， O是 AC的中点，可得 OG DC ，则 OG AD 以 G为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标 系， 由 PA=PD= ，AB=4 ，得 D（2，0，0） ，A（2，0，0） ，P

29、（0，0，） ，C（2， 4，0） ，B（2，4，0） ，M （1，2，） ， ， 设平面 PBD的一个法向量为， 则由，得，取 z=，得 取平面 PAD的一个法向量为 cos= 二面角 BPD A的大小为 60； （3）解：，平面 BDP的一个法向量为 直 线MC 与 平 面BDP 所 成 角 的 正 弦 值 为 |cos |=|=|= 20 【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中 档题 17 （13 分）为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组各50 名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和 y 的数据，并制成如

30、图，其中“*”表示服药者，“ +”表示未服药者 （1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于 60 的概率； （2）从图中 A，B，C ，D四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标x 的 值大于 1.7 的人数，求 的分布列和数学期望E（） ； （3）试判断这 100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的 方差的大小（只需写出结论） 【考点】CG ：离散型随机变量及其分布列；CH ：离散型随机变量的期望与方差 【专题】 11：计算题； 34：方程思想； 49：综合法； 5I ：概率与统计 21 【分析】 （1）由图求出在 50 名服药患者中，有15

31、名患者指标 y 的值小于 60， 由此能求出从服药的50 名患者中随机选出一人，此人指标小于60 的概率 （2）由图知： A、C两人指标 x 的值大于 1.7 ，而 B、D两人则小于 1.7 ，可知在 四人中随机选项出的2人中指标 x 的值大于 1.7 的人数 的可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E（） （3）由图知 100 名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方 差大 【解答】 解： （1）由图知：在 50 名服药患者中，有15 名患者指标 y 的值小于 60， 答：从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标小于60 的概率为：

32、p= （2）由图知： A、C两人指标 x 的值大于 1.7 ，而 B、D两人则小于 1.7 ， 可知在四人中随机选项出的2 人中指标 x 的值大于 1.7 的人数 的可能取值为 0，1，2， P（=0）=， P（=1）=， P（=2）=， 的分布列如下： 0 1 2 P 答：E（） =1 （3）答：由图知 100 名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据 的方差大 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差 等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形 22 结合思想、化归与转化思想，是中档题 18 （14分）已知抛物线 C ：y

33、 2=2px 过点 P（1，1） 过点（0， ）作直线 l 与抛 物线 C交于不同的两点 M ，N，过点 M作 x 轴的垂线分别与直线OP 、ON交于点 A，B，其中 O为原点 （1）求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证： A为线段 BM 的中点 【考点】 K8：抛物线的性质； KN ：直线与抛物线的综合 【专题】 11：计算题； 34：方程思想； 44：数形结合法； 5D ：圆锥曲线的定义、 性质与方程 【分析】 （1）根据抛物线过点 P （1，1） 代值求出 p，即可求出抛物线 C的方程， 焦点坐标和准线方程； （2）设过点（ 0，）的直线方程为y=kx+，M （x1

34、，y1） ，N（x2，y2） ，根据韦 达定理得到 x1+x2=，x1x2=，根据中点的定义即可证明 【解答】 解： （1）y 2=2px 过点 P（1，1） ， 1=2p， 解得 p=， y 2=x， 焦点坐标为（，0） ，准线为 x=， （2）证明：设过点（ 0，）的直线方程为 y=kx+，M （x1，y1） ，N（x2，y2） ， 直线 OP为 y=x，直线 ON为：y=x， 由题意知 A（x1，x1） ，B（x1，） ， 23 由，可得 k 2x2+（k1）x+ =0， x1+x2=，x1x2= y1+=kx1+=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1k） ? 2x1=2x1， A为线

35、段 BM 的中点 【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系， 灵活利用韦 达定理和中点的定义，属于中档题 19 （13分）已知函数 f （x）=e xcosxx （1）求曲线 y=f （x）在点（ 0，f （0） ）处的切线方程； （2）求函数 f （x）在区间 0 ， 上的最大值和最小值 【考点】6E： 利用导数研究函数的最值； 6H ： 利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】 34：方程思想； 48：分析法； 53：导数的综合应用 【分析】 （1）求出 f （x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可 得到所求方程； （2）求出 f （x）的导数，再令g（x）=

36、f（x） ，求出 g（x）的导数，可得g （x）在区间 0 ， 的单调性，即可得到f （x）的单调性，进而得到f （x） 24 的最值 【解答】 解： （1）函数 f （x）=e xcosxx 的导数为 f （x）=ex（cosxsinx ） 1， 可得曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线斜率为 k=e 0（cos0sin0 ）1=0， 切点为（ 0，e 0cos00） ，即为（ 0，1） ， 曲线 y=f （x）在点（ 0，f （0） ）处的切线方程为y=1； （2）函数 f （x）=e xcosxx 的导数为 f （x）=ex（cosxsinx ）1， 令 g（x）=e x （

37、cosxsinx ）1， 则 g（x）的导数为 g（ x）=e x（cosxsinx sinx cosx）=2ex? sinx ， 当 x0 ， ，可得 g（x）=2e x? sinx 0， 即有 g（x）在0 ， 递减，可得 g（x）g（0）=0， 则 f （x）在0 ， 递减， 即有函数 f （x）在区间 0 ， 上的最大值为 f （0）=e 0cos00=1； 最小值为 f （）=ecos= 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理 的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题 20 （13 分）设 an和bn 是两个等差数列，记cn=maxb

38、1a1n，b2a2n， bn ann （n=1，2，3，） ，其中 maxx1，x2， xs 表示 x1，x2， xs这 s 个数中最大的数 （1）若 an=n，bn=2n1，求 c1，c2，c3的值，并证明 cn 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数 m ，当 nm时，M ；或者存在 正整数 m ，使得 cm，cm+1，cm+2，是等差数列 【考点】 83：等差数列的性质； 8B：数列的应用 【专题】 32：分类讨论； 4R ：转化法； 54：等差数列与等比数列 【分析】 （1）分别求得 a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1， 25

39、 c2，c3；由（bknak）（b1na1）0，则 b1na1bknak，则 cn=b1na1=1 n，cn+1cn=1 对? nN*均成立； （2）由 biain=b1+（i 1）d1 a1+（i 1）d2 n=（b1a1n）+（i 1） （d2 d1n） ，分类讨论 d1=0，d10，d10 三种情况进行讨论根据等差数列的性 质，即可求得使得 cm，cm+1，cm+2，是等差数列；设=An+B+ 对任意正整数 M ，存在正整数 m ，使得 nm ，M ，分类讨论，采用放缩法即可求得因此 对任意正数 M ，存在正整数 m ，使得当 nm时，M 【解答】 解： （1）a1=1，a2=2，a3=

40、3，b1=1，b2=3，b3=5， 当 n=1时，c1=maxb1a1=max0=0 ， 当 n=2时，c2=maxb12a1，b22a2=max1，1=1， 当 n=3时，c3=maxb13a1，b23a2，b33a3=max2，3，4=2， 下面证明：对 ? nN*，且 n2，都有 cn=b1na1， 当 nN*，且 2kn 时， 则（bknak）（ b1na1） ， = （2k1）nk 1+n， =（2k2）n（k1） ， =（k1） （2n） ，由 k10，且 2n0， 则（bknak）（ b1na1）0，则 b1na1bknak， 因此，对 ? nN*，且 n2，cn=b1na1=1

41、n， cn+1cn=1， c2c1=1， cn+1cn=1对? nN*均成立， 数列 cn 是等差数列； （2）证明：设数列 an 和bn的公差分别为 d1，d2，下面考虑的 cn取值， 由 b1a1n，b2a2n， bnann， 考虑其中任意 biain， （i N*，且 1i n） ， 则 biain=b1+（i 1）d1 a1+（i 1）d2 n， =（b1a1n）+（i 1） （d2d1n） ， 26 下面分 d1=0，d10，d10 三种情况进行讨论， 若 d1=0，则 biain（b1a1n）+（i 1）d2， 当若 d20，则（ biain）（ b1a1n）=（i 1）d20，

42、则对于给定的正整数n 而言， cn=b1a1n，此时 cn+1cn=a1， 数列 cn 是等差数列； 当 d20， （biain）（ bnann）=（i n）d20， 则对于给定的正整数n 而言， cn=bnann=bna1n， 此时 cn+1cn=d2a1， 数列 cn 是等差数列； 此时取 m=1 ，则 c1，c2，是等差数列，命题成立； 若 d10，则此时 d1n+d2为一个关于 n 的一次项系数为负数的一次函数， 故必存在 m N*，使得 nm时， d1n+d20， 则当 nm时， （biain）（b1a1n）=（i 1） （d1n+d2）0， （i N*，1i n） ， 因此当 nm

43、时，cn=b1a1n， 此时 cn+1cn=a1，故数列 cn 从第 m项开始为等差数列，命题成立； 若 d10，此时 d1n+d2为一个关于 n 的一次项系数为正数的一次函数， 故必存在 sN*，使得 ns 时， d1n+d20， 则当 ns 时， （biain）（bnann）=（i 1） （d1n+d2）0， （i N*，1i n） ， 因此，当 ns 时，cn=bnann， 此时=an+， =d2n+（d1a1+d2）+， 令d1=A0，d1a1+d2=B，b1d2=C， 下面证明：=An+B+ 对任意正整数 M ，存在正整数 m ，使得 nm ，M ， 若 C0，取 m=+1，x 表示不大于 x 的最大整数， 当 nm时，An+B Am+B=A+1+BA?+B=M ， 此时命题成立； 27 若 C0，取 m=+1， 当 nm时， An+B+ Am+B+CA?+B+C M CB+B+C=M， 此时命题成立， 因此对任意正数 M ，存在正整数 m ，使得当 nm时，M ； 综合以上三种情况，命题得证 【点评】本题考查数列的综合应用， 等差数列的性质， 考查与不等式的综合应用， 考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨 论及转化思想，考查计算能力，属于难题