2017年天津市高考数学试卷(理科)(含解析版).pdf

《2017年天津市高考数学试卷(理科)(含解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年天津市高考数学试卷(理科)(含解析版).pdf（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 2017 年天津市高考数学试卷（理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 A=1，2，6，B=2，4 ，C=xR|1x5，则（ AB） C=（） A2B1 ，2，4 C1，2，4，5Dx R|1x5 2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=x+y 的最大值 为（） AB1CD3 3 （5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为 24，则输出 N的值为（） A0B1C2D3 4 （5 分）设 R ，则“ | | ”是“sin ”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条

2、件 2 5 （5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的左焦点为 F，离心率为若 经过 F 和 P （0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程 为（） A=1B=1C=1D=1 6（5 分）已知奇函数 f（x） 在 R上是增函数，g （x） =xf（x） 若 a=g （log25.1 ） ， b=g（2 0.8 ） ，c=g（3） ，则 a，b，c 的大小关系为（） AabcBcbaCbacDbca 7 （5 分）设函数 f （x）=2sin （x +） ，xR，其中 0，| | 若 f （）=2，f （）=0，且 f （x）的最小正周期大于2，则（） A=，=B=，= C=，=

3、D=，= 8 （5 分）已知函数 f（x）=，设 aR，若关于 x 的不等式 f（x） |+a| 在 R上恒成立，则 a 的取值范围是（） A ，2B ，C 2，2D 2， 二. 填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30分. 9 （5 分）已知 aR，i 为虚数单位，若为实数，则 a 的值为 10 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积 为 18，则这个球的体积为 11 （5 分）在极坐标系中，直线4cos（）+1=0与圆 =2sin 的公共 点的个数为 12 （5 分）若 a，bR ，ab0，则的最小值为 13 （5 分）在 ABC 中，A=60 ，A

4、B=3 ，AC=2 若=2，=（ 3 R） ，且=4，则 的值为 14 （5 分）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有 一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个 （用数字作答） 三. 解答题：本大题共6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 15 （13分）在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 ab， a=5，c=6，sinB= （）求 b 和 sinA 的值； （）求 sin （2A+）的值 16 （13 分）从甲地到乙地要经过3 个十字路口， 设各路口信号灯工作相互独立， 且在各路口遇到红灯的概率分别为， （

5、）设 X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X的分布列和 数学期望； （）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 4 17 （13 分）如图，在三棱锥PABC中，PA 底面 ABC ，BAC=90 点 D，E， N分别为棱 PA ，PC ，BC的中点， M是线段 AD的中点， PA=AC=4 ，AB=2 （）求证： MN 平面 BDE ； （）求二面角 C EM N的正弦值； （）已知点 H在棱 PA上，且直线 NH与直线 BE所成角的余弦值为，求线段 AH的长 18 （13 分）已知an 为等差数列，前 n 项和为 Sn（nN +） ，b n是首

6、项为 2 的等 比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a42a1，S11=11b4 （）求 an 和bn的通项公式； （）求数列 a2nb2n1 的前 n 项和（ nN +） 5 19 （14 分）设椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 已知 A是抛物线 y 2=2px（p0）的焦点，F到抛物线的准线 l 的距离为 （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II ）设 l 上两点 P，Q关于 x 轴对称，直线 AP与椭圆相交于点 B（B异于 A） ， 直线 BQ与 x 轴相交于点 D若 APD的面积为，求直线 AP的方程 20 （14 分）设 aZ，已知定义在 R

7、上的函数 f （x）=2x 4+3x33x26x+a 在区 间（1，2）内有一个零点 x0，g（x）为 f （x）的导函数 （）求 g（x）的单调区间； （）设 m 1 ，x0）（ x0，2 ，函数 h（x）=g（x） （m x0）f （m ） ，求证： h（m ）h（x0）0； （）求证：存在大于0 的常数 A，使得对于任意的正整数p，q，且1 ，x0） （x0，2 ，满足 |x0| 6 2017 年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 A=1，2，6，B=2，4 ，C=xR|1x5，则（ AB

8、） C=（） A2B1 ，2，4 C1，2，4，5Dx R|1x5 【考点】 1H ：交、并、补集的混合运算 【专题】 11：计算题； 37：集合思想； 5J：集合 【分析】 由并集概念求得 AB，再由交集概念得答案 【解答】 解： A=1，2，6 ，B=2，4，AB=1，2，4，6， 又 C=xR|1x5 ，（ AB）C=1，2，4 故选： B 【点评】 本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题 2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=x+y 的最大值 为（） AB1CD3 【考点】 7C ：简单线性规划 【专题】 11：计算题； 31：数形结合； 35：转化思想； 5T

9、：不等式 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可 7 【解答】 解：变量 x，y 满足约束条件的可行域如图： 目标函数 z=x+y 结果可行域的 A点时，目标函数取得最大值， 由可得 A（0，3） ，目标函数 z=x+y 的最大值为： 3 故选： D 【点评】 本题考查线性规划的简单应用， 考查计算能力以及数形结合思想的应用 3 （5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为 24，则输出 N的值为（） 8 A0B1C2D3 【考点】 EF ：程序框图 【专题】 39：运动思想； 4O ：定义法； 5K：算法和程序框图 【分析】 根据程序框图，进行模拟计算即

10、可 【解答】 解：第一次 N=24 ，能被 3 整除， N=3 不成立， 第二次 N=8 ，8 不能被 3 整除， N=8 1=7，N=7 3 不成立， 第三次 N=7 ，不能被 3 整除， N=7 1=6，N= =23 成立， 输出 N=2 ， 故选： C 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本 题的关键 4 （5 分）设 R ，则“ | | ”是“sin ”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件 【专题】 38：对应思想； 48：分析法； 57：三角函数的图像与性质； 5L

11、：简易逻 辑 【分析】 运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式， 结合充分必要条件的定义，即可得到结论 【解答】 解：| | ? ? 0， sin ? +2k+2k，kZ， 则（0，）?（+2k，+2k） ，kZ， 可得“ | | ”是“sin ”的充分不必要条件 故选： A 9 【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用 定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题 5 （5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的左焦点为 F，离心率为若 经过 F 和 P （0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程 为（） A=1B=1C=1

12、D=1 【考点】 KC ：双曲线的性质 【专题】 35：转化思想； 4R ：转化法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y= x，根据直线的斜率公式，即可求得c 的值，求得 a 和 b 的值，即可求得双 曲线方程 【解答】 解：设双曲线的左焦点F（c，0） ，离心率 e= =，c=a， 则双曲线为等轴双曲线，即a=b， 双曲线的渐近线方程为y=x=x， 则经过 F 和 P（0，4）两点的直线的斜率k=， 则=1，c=4，则 a=b=2， 双曲线的标准方程：； 故选： B 【点评】 本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用

13、，属于中档题 6（5 分）已知奇函数 f（x） 在 R上是增函数，g （x） =xf（x） 若 a=g （log25.1 ） ， b=g（2 0.8 ） ，c=g（3） ，则 a，b，c 的大小关系为（） AabcBcbaCbacDbca 10 【考点】 4M ：对数值大小的比较 【专题】 35：转化思想； 4R ：转化法； 51：函数的性质及应用 【分析】由奇函数 f （x）在 R上是增函数，则 g（x）=xf（x）偶函数，且在（ 0， +）单调递增，则a=g（log25.1 ）=g（log25.1 ） ，则 2log25.1 3，1 2 0.8 2，即可求得 bac 【解答】 解：奇函数

14、f （x）在 R上是增函数，当x0，f （x）f （0）=0，且 f （x）0， g（x）=xf （x） ，则 g（x）=f （x）+xf （x）0， g（x）在（ 0，+）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数， a=g（log25.1 ）=g（log25.1 ） ， 则 2log25.1 3，12 0.8 2， 由 g（x）在（0，+）单调递增，则g（2 0.8 ）g（log25.1 ）g（3） ， bac， 故选： C 【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基 础题 7 （5 分）设函数 f （x）=2sin （x +） ，xR，其中 0，| | 若 f （

15、）=2，f （）=0，且 f （x）的最小正周期大于2，则（） A=，=B=，= C=，=D=，= 【考点】 H1 ：三角函数的周期性 【专题】11：计算题；38：对应思想； 4R ：转化法；57：三角函数的图像与性质 【分析】 由题意求得，再由周期公式求得，最后由若f （）=2 求得 值 【解答】 解：由 f （x）的最小正周期大于2，得， 11 又 f （）=2，f （）=0，得， T=3，则，即 f （x）=2sin （x +）=2sin （x+） ， 由 f （）=，得 sin （+）=1 +=，kZ 取 k=0，得 = ，= 故选： A 【点评】 本题考查由三角函数的部分图象求解析式

16、，考查y=Asin（x +）型 函数的性质，是中档题 8 （5 分）已知函数 f（x）=，设 aR，若关于 x 的不等式 f（x） |+a| 在 R上恒成立，则 a 的取值范围是（） A ，2B ，C 2，2D 2， 【考点】 3R ：函数恒成立问题； 5B：分段函数的应用 【专题】 32：分类讨论； 48：分析法； 51：函数的性质及应用 【分析】 讨论当 x1 时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得x 2+ x 3ax 2 x+3，再由二次函数的最值求法，可得a 的范围；讨论当 x1 时，同样可得（x+）a+ ，再由基本不等式可得最值，可得a 的 范围，求交集即可得到所求范围 【解答】

17、 解：当 x1 时，关于 x 的不等式 f （x）|+a| 在 R上恒成立， 12 即为 x 2+x3 +ax 2x+3， 即有 x 2+ x3ax 2 x+3， 由 y=x 2+ x3 的对称轴为 x= 1，可得 x=处取得最大值； 由 y=x 2 x+3 的对称轴为 x=1，可得 x=处取得最小值， 则a 当 x1 时，关于 x 的不等式 f （x）|+a| 在 R上恒成立， 即为（ x+）+ax+， 即有（x+）a+， 由 y=（x+）2=2（当且仅当 x=1）取得最大值 2； 由 y=x+2=2（当且仅当 x=21）取得最小值 2 则2a2 由可得，a2 另解：作出 f （x）的图象和

18、折线 y=|+a| 当 x1 时，y=x 2x+3 的导数为 y=2x1， 由 2x1=，可得 x=， 切点为（，）代入 y=a，解得 a=； 当 x1 时，y=x+ 的导数为 y=1， 由 1= ，可得 x=2（2 舍去） ， 切点为（ 2，3） ，代入 y=+a，解得 a=2 由图象平移可得，a2 故选： A 13 【点评】本题考查分段函数的运用， 不等式恒成立问题的解法， 注意运用分类讨 论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求 最值是解题的关键，属于中档题 二. 填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30分. 9 （5 分）已知 aR，i 为虚数单位，

19、若为实数，则 a 的值为2 【考点】 A5：复数的运算 【专题】 35：转化思想； 4O ：定义法； 5N ：数系的扩充和复数 【分析】 运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条 件：虚部为 0，解方程即可得到所求值 【解答】 解：aR，i 为虚数单位， =i 由为实数， 可得=0， 解得 a=2 故答案为： 2 【点评】本题考查复数的乘除运算， 注意运用共轭复数， 同时考查复数为实数的 条件：虚部为 0，考查运算能力，属于基础题 14 10 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积 为 18，则这个球的体积为 【考点】 LG ：球的体积和表面积

20、【专题】 34：方程思想； 4O ：定义法； 5F：空间位置关系与距离 【分析】根据正方体和球的关系， 得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体 积公式进行计算即可 【解答】 解：设正方体的棱长为a， 这个正方体的表面积为18， 6a 2=18， 则 a 2=3，即 a= ， 一个正方体的所有顶点在一个球面上， 正方体的体对角线等于球的直径， 即a=2R ， 即 R= ， 则球的体积 V= ? （） 3= ； 故答案为： 【点评】 本题主要考查空间正方体和球的关系， 利用正方体的体对角线等于直径， 结合球的体积公式是解决本题的关键 11 （5 分）在极坐标系中，直线4cos（）+1=0与圆 =

21、2sin 的公共 点的个数为2 【考点】 Q4 ：简单曲线的极坐标方程 【专题】 35：转化思想； 5B：直线与圆； 5S：坐标系和参数方程 【分析】 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比 较即可得出位置关系 15 【解答】解：直线 4cos（） +1=0展开为：4+1=0， 化为： 2x+2y+1=0 圆 =2sin 即 2=2sin ，化为直角坐标方程： x 2+y2=2y，配方为： x2+（y 1） 2=1 圆心 C （0，1）到直线的距离d=1=R 直线 4cos（）+1=0与圆 =2sin 的公共点的个数为2 故答案为： 2 【点评】本题考查了极坐标方程化为

22、直角坐标方程、直线与圆的位置关系、 点到 直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12 （5 分）若 a，bR ，ab0，则的最小值为4 【考点】 7F：基本不等式及其应用 【专题】 34：方程思想； 4R ：转化法； 5T：不等式 【分析】 【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等 号成立的条件是什么 【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值 【解答】 解： 【解法一】 a，bR，ab0， = =4ab+2=4， 当且仅当， 16 即， 即 a=，b=或 a=，b=时取“=”； 上式的最小值为4 【解法二】 a，bR ，ab0， =+4=4， 当且仅当

23、， 即， 即 a=，b=或 a=，b=时取“=”； 上式的最小值为4 故答案为： 4 【点评】 本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题 13 （5 分）在 ABC 中，A=60 ，AB=3 ，AC=2 若=2，=（ R） ，且=4，则 的值为 【考点】 9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】 34：方程思想； 4O ：定义法； 5A：平面向量及应用 【分析】 根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出， 再根据平面向量的数量积列出方程求出 的值 【解答】 解：如图所示， 17 ABC 中，A=60 ， AB=3 ，AC=2 ， =2， =+ =+ =+（） =+， 又=（ R） ， =

24、（+）? （） =（）?+ =（）32cos603 2+ 22=4， =1， 解得 = 故答案为： 【点评】 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题 14 （5 分）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有 一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080 个 （用数字作答） 【考点】 D9 ：排列、组合及简单计数问题 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 5O ：排列组合 【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分 2 种情况讨论： 、 18 四位数中没有一个偶数数字，、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每 种情况下四位数的数

25、目，由分类计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，分 2 种情况讨论： 、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9 种任选 4 个，组成一共四 位数即可， 有 A5 4=120种情况，即有 120 个没有一个偶数数字四位数； 、四位数中只有一个偶数数字， 在 1、3、5、7、9 种选出 3 个，在 2、4、6、8 中选出 1 个，有 C5 3? C 4 1=40种取 法， 将取出的 4 个数字全排列，有A4 4=24种顺序， 则有 4024=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个； 故答案为： 1080 【点评】 本题考查排

26、列、组合的综合应用，注意要分类讨论 三. 解答题：本大题共6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 15 （13分）在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 ab， a=5，c=6，sinB= （）求 b 和 sinA 的值； （）求 sin （2A+）的值 【考点】 GP ：两角和与差的三角函数；HP ：正弦定理 【专题】 15：综合题； 33：函数思想； 4A：数学模型法； 58：解三角形 【分析】 （）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求 得 b，利用正弦定理求得sinA ； （）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍

27、角公式求得sin2A ，cos2A， 展开两角和的正弦得答案 【解答】 解： （）在 ABC 中， ab， 19 故由 sinB=，可得 cosB= 由已知及余弦定理，有=13， b= 由正弦定理，得 sinA= b=，sinA=； （）由（）及ac，得 cosA=， sin2A=2sinAcosA=， cos2A=12sin 2A= 故 sin （2A+）= 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应 用，是中档题 16 （13 分）从甲地到乙地要经过3 个十字路口， 设各路口信号灯工作相互独立， 且在各路口遇到红灯的概率分别为， （）设 X表示一辆车从甲地到乙地

28、遇到红灯的个数，求随机变量 X的分布列和 数学期望； （）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 【考点】CG ：离散型随机变量及其分布列；CH ：离散型随机变量的期望与方差 【专题】 12：应用题； 38：对应思想； 4A：数学模型法； 5I ：概率与统计 【分析】 （）随机变量 X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值， 写出它的分布列，计算数学期望值； （）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值 【解答】 解： （）随机变量 X的所有可能取值为0，1，2，3； 则 P（X=0）=（1）（ 1） （1）=， P（X=1）=（1）（1

29、）+（1）（1）+（1）（1 20 ）=， P（X=2）=（1）+（1）+（1）= ， P（X=3）= =； 所以，随机变量 X的分布列为 X0123 P 随机变量 X的数学期望为 E（X）=0+1+2+3=； （）设 Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为 P（Y+Z=1 ）=P（Y=0 ，Z=1）+P（Y=1，Z=0） =P（Y=0）? P（Z=1）+P（Y=1）? P（Z=0） =+ =； 所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 【点评】 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题 17 （13 分）如图，在三棱锥PAB

30、C中，PA 底面 ABC ，BAC=90 点 D，E， N分别为棱 PA ，PC ，BC的中点， M是线段 AD的中点， PA=AC=4 ，AB=2 （）求证： MN 平面 BDE ； （）求二面角 C EM N的正弦值； （）已知点 H在棱 PA上，且直线 NH与直线 BE所成角的余弦值为，求线段 AH的长 21 【考点】LM ：异面直线及其所成的角； LS：直线与平面平行； MJ ：二面角的平面 角及求法 【专题】 15：综合题； 31：数形结合； 41：向量法； 5G ：空间角 【分析】 （）取 AB中点 F，连接 MF 、NF ，由已知可证 MF 平面 BDE ，NF 平面 BDE 得

31、到平面 MFN 平面 BDE ，则 MN 平面 BDE ； （）由 PA 底面 ABC ，BAC=90 可以 A为原点，分别以 AB 、AC 、AP所在 直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系求出平面MEN 与平面 CME 的一个法 向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEM N的余弦值，进一步求得 正弦值； （）设 AH=t，则 H （0，0，t ） ，求出的坐标，结合直线NH与直线 BE 所成角的余弦值为列式求得线段 AH的长 【解答】 （）证明：取 AB中点 F，连接 MF 、NF ， M为 AD中点， MF BD ， BD ? 平面 BDE ，MF ?平面 BDE ，MF 平面 B

32、DE N为 BC中点， NF AC ， 又 D、E分别为 AP 、PC的中点， DE AC ，则 NF DE DE ? 平面 BDE ，NF ?平面 BDE ，NF 平面 BDE 又 MF NF=F 平面 MFN 平面 BDE ，则 MN 平面 BDE ； （）解： PA 底面 ABC ，BAC=90 以 A为原点，分别以 AB 、AC 、AP所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 PA=AC=4 ，AB=2 ， 22 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（0，4，0） ，M （0，0，1） ，N（1，2，0） ，E （0，2，2） ， 则， 设平面 MEN 的一个法向量为， 由，

33、得，取 z=2，得 由图可得平面 CME 的一个法向量为 cos= 二面角 CEM N的余弦值为，则正弦值为； （）解：设 AH=t，则 H（0，0，t ） ， 直线 NH与直线 BE所成角的余弦值为， |cos |=|=|= 解得： t=或 t= 线段 AH的长为或 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考 查计算能力，是中档题 23 18 （13 分）已知an 为等差数列，前 n 项和为 Sn（nN +） ，b n是首项为 2 的等 比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a42a1，S11=11b4 （）求 an 和bn的通项公式； （）求数列 a2n

34、b2n1 的前 n 项和（ nN +） 【考点】8E：数列的求和； 8H ：数列递推式； 8M ：等差数列与等比数列的综合 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 54：等差数列与等比数列 【分析】 （）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解an 和bn 的通项公式； （）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可 【解答】 解： （I ）设等差数列 an 的公差为 d，等比数列 bn 的公比为 q 由已知 b2+b3=12，得 b1（q+q 2）=12，而 b 1=2，所以 q+q 26=0 又因为 q0，解得 q=2所以， bn=2 n 由 b3=

35、a42a1，可得 3da1=8 由 S11=11b4，可得 a1+5d=16， 联立，解得 a1=1，d=3，由此可得 an=3n2 所以，数列 an 的通项公式为 an=3n2，数列 bn 的通项公式为 bn=2 n （II ）设数列 a2nb2n1 的前 n 项和为 Tn， 由 a2n=6n2，b2n1=4 n，有 a 2nb2n1=（3n1）4 n， 故 Tn=24+54 2+843+（3n1）4n， 4Tn=24 2+543+844+（3n1）4n+1， 上述两式相减，得 3Tn=24+34 2+343+34n（3n1）4n+1 =（3n2）4 n+18 得 Tn= 所以，数列 a2n

36、b2n1 的前 n 项和为 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法， 考查计算能 力 24 19 （14 分）设椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 已知 A是抛物线 y 2=2px（p0）的焦点，F到抛物线的准线 l 的距离为 （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II ）设 l 上两点 P，Q关于 x 轴对称，直线 AP与椭圆相交于点 B（B异于 A） ， 直线 BQ与 x 轴相交于点 D若 APD的面积为，求直线 AP的方程 【考点】 K3：椭圆的标准方程； K7：抛物线的标准方程； KI：圆锥曲线的综合； KL：直线与椭圆的综合 【专题】 3

37、8：对应思想； 49：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 （I ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p 即可得出方 程； （II ）设 AP方程为 x=my+1 ，联立方程组得出 B，P，Q三点坐标，从而得出直线 BQ的方程，解出 D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案 【解答】 （）解：设 F 的坐标为（ c，0） 依题意可得， 解得 a=1，c=，p=2，于是 b 2=a2c2= 所以，椭圆的方程为x 2+ =1，抛物线的方程为y 2=4x （）解：直线 l 的方程为 x=1，设直线 AP的方程为 x=my+1 （m 0） ， 联立方程组，解得

38、点 P（1，） ，故 Q （1，） 联立方程组，消去 x，整理得（ 3m 2+4）y2+6my=0 ，解得 y=0，或 y= 25 B（，） 直线 BQ的方程为（） （x+1）（） （y）=0， 令 y=0，解得 x=，故 D（，0） |AD|=1= 又 APD的面积为，=， 整理得 3m 22 |m|+2=0，解得 |m|=，m= 直线 AP的方程为 3x+y3=0，或 3xy3=0 【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系， 属于 中档题 20 （14 分）设 aZ，已知定义在 R 上的函数 f （x）=2x 4+3x33x26x+a 在区 间（1，2）内有一个零点

39、 x0，g（x）为 f （x）的导函数 （）求 g（x）的单调区间； （）设 m 1 ，x0）（ x0，2 ，函数 h（x）=g（x） （m x0）f （m ） ，求证： h（m ）h（x0）0； （）求证：存在大于0 的常数 A，使得对于任意的正整数p，q，且1 ，x0） （x0，2 ，满足 |x0| 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【专题】 11：计算题； 32：分类讨论； 35：转化思想； 49：综合法； 51：函数的 性质及应用； 53：导数的综合应用 26 【分析】 （）求出函数的导函数g（x）=f（ x）=8x 3+9x26x6，求出极值 点，通过列表判断函数的单调性求出

40、单调区间即可 （）由 h（x）=g（x） （m x0）f （m ） ，推出 h（m ）=g（m ） （m x0）f（m ） ， 令函数 H1（x）=g（x） （xx0）f （x） ，求出导函数 H 1（x）利用（）知， 推出 h（m ）h（x0）0 （）对于任意的正整数p，q，且，令 m= ，函数 h （x） =g（x） （m x0）f （m ） 由（）知，当m 1 ，x0）时，当 m （x0，2 时，通过 h（x）的零点转化 推出 |x0|=推出 |2p 4+3p3q3p2q26pq3+aq4| 1然后推出结果 【解答】 （）解：由 f（x）=2x 4+3x33x26x+a，可得 g（x）=

41、f（x）=8x3+9x2 6x6， 进而可得 g（x）=24x 2+18x6令 g（x）=0，解得 x=1，或 x= 当 x 变化时， g（x） ，g（x）的变化情况如下表： x（， 1） （1，）（，+） g（x）+ g（x） 所以，g（x）的单调递增区间是（， 1） ， （，+） ，单调递减区间是（ 1，） （）证明：由 h（x）=g（x） （m x0）f （m ） ，得 h（m ）=g（m ） （m x0）f （m ） ， h（x0）=g（x0） （m x0）f （m ） 令函数 H1（x）=g（x） （xx0）f （x） ，则 H 1（x）=g（x） （xx0） 由（）知，当 x1 ，

42、2 时，g（ x）0， 故当 x1 ，x0）时，H 1（x）0，H1（x）单调递减； 当 x（x0，2 时，H 1（x）0，H1（x）单调递增 27 因此，当x1 ，x0）（ x0，2 时， H1（x）H1（x0）=f （x0）=0，可得 H1 （m ）0 即 h（m ）0， 令函数 H2（x）=g（x0） （xx0）f （x） ，则 H 2（x）=g（x0）g（x） 由（） 知，g（x）在1 ，2 上单调递增，故当 x1 ，x0）时，H 2（x）0，H2（x） 单调递增；当 x（x0，2 时，H 2（x）0，H2（x）单调递减因此，当x 1 ，x0）（ x0，2 时，H2（x）H2（x0）=

43、0，可得得 H2（m ）0 即 h（x0） 0， 所以， h（m ）h（x0）0 （）对于任意的正整数p，q，且， 令 m= ，函数 h（x）=g（x） （m x0）f （m ） 由（）知，当 m 1 ，x0）时， h（x）在区间（ m ，x0）内有零点； 当 m （x0，2 时，h（x）在区间（ x0，m ）内有零点 所以 h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则 h（x1）=g（x1） （ x0）f （）=0 由（）知 g（x）在1 ，2 上单调递增，故0g（1）g（x1）g（2） ， 于是|x0|= 因为当 x1 ，2 时，g（x）0，故 f （x）在1 ，2 上单调递增， 所以 f （x）在区间 1 ，2 上除 x0外没有其他的零点，而x0，故 f （）0 又因为 p，q，a 均为整数，所以 |2p 4+3p3q3p2q26pq3+aq4| 是正整数， 从而|2p 4+3p3q3p2q26pq3+aq4| 1 所以|x0| 所以，只要取 A=g（2） ，就有|x0| 【点评】 本题考查函数的导数的综合应用， 函数的单调性以及函数的最值的求法， 考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目