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1、1 第四节三角恒等变换 高考概览： 能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正 弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差 化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆) 知识梳理 1公式的常用变式 (1)tan tan tan( )(1?tan tan )； (2)sin2 2sin cos sin2 cos 2 2tan 1tan 2 ； (3)cos2 cos 2 sin2 cos 2 sin2 1tan 2 1tan 2. 2降幂公式 (1)sin 2 1cos2 2 ； (2)cos 2 1cos2 2 ； (3)sin cos 1 2sin2 . 3升幂公式 (1
2、)1cos 2cos 2 2； (2)1cos 2sin 2 2； 2 (3)1 sin sin 2 cos 2 2. 4半角公式 (1)sin 2 1cos 2 ； (2)cos 2 1cos 2 ； (3)tan 2 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin . 以上称之为半角公式，符号由 2所在象限决定 辨识巧记 常用拆角、拼角技巧 2 ( )( )； ( ) ( ) ； 2 2 ( 2 )( )； ( )( )； 15 45 30 ； 4 2 4等 双基自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)对任意角 都有 1sin sin 2cos 2 2.(
3、) (2)y3sinx4cosx 的最大值是 7.() (3)sin 4xcos4x1sin22x.( ) (4)tan 2 1cos sin .() 答案(1)(2)(3)(4) 2(2018 河北保定一模 )已知 cos 3 sin 3 ，则 tan的值 3 为() A1 B1 C. 3 D3 解析由已知得 1 2cos 3 2 sin 1 2sin 3 2 cos ，整理得， 1 2 3 2 sin 1 2 3 2 cos ，即 sin cos ，故 tan 1.故选 B. 答案B 3(2019 浙江苍南县三校联考 )若 sin sin 7 5 ，cos cos 7 5，则 cos( )
4、( ) A 24 25 B. 24 25 C 1 50 D. 1 50 解析sin sin 7 5， cos cos 7 5， 22，得 22(cos cos sin sin )492 25 ， cos( ) 24 25.故选 B. 答案B 4(2019 安徽十校联考 )sin47 sin17 cos30 cos17 () A 3 2 B 1 2 C.1 2 D. 3 2 解析 sin47 sin17 cos30 cos17 sin 30 17sin17 cos30 cos17 sin30 cos17sin17 cos30sin17 cos30 cos17 sin30 cos17 cos17
5、sin30 1 2.故选 C. 4 答案C 5(必修 4P46A 组 T4(2)改编)tan20 tan40 3tan20 tan40 _. 解析 tan60 tan(20 40 )3， tan20 tan40 1tan20 tan40 3 tan20 tan40 33tan20 tan40 ， tan20 tan40 3tan20 tan40 3. 答案3 考点一三角函数式的化简 【例 1】化简下列各式： (1)sin 2 sin2 cos2 cos2 1 2cos2 cos2 ； (2) 2cos 2 1 2tan 4sin 2 4 . 思路引导 (1) 用二倍角公式 向 、 转化 进行式
6、的 变换、化简 (2) 利用二倍角公 式进行降次 合理拆角 变换化简 解(1)原式 sin 2 sin2 cos2 cos2 1 2(cos 2 sin2 ) (cos 2 sin 2 ) sin2 sin2 cos 2 cos2 1 2 cos 2 cos2 5 1 2sin 2 sin2 1 2cos 2 sin2 1 2sin 2 cos2 1 2sin 2 sin2 1 2cos 2 cos2 1 2cos 2 sin2 1 2sin 2 cos2 1 2sin 2 (sin2 cos2 )1 2cos 2 (sin2 cos2 ) 1 2sin 2 1 2cos 2 1 2. (2)
7、解法一：原式 cos 2 sin2 2 1tan 1tan sin 4cos cos 4sin 2 cos 2 sin2 1tan 1tan cos sin 2 cos 2 sin2 1 sin cos 1 sin cos cos sin 2 1. 解法二：原式 cos2 2tan 4cos 2 4 cos2 2sin 4cos 4 cos2 sin 22 cos2 cos2 1. 化简三角函数式的策略 6 对点训练 1化简： sin2 2cos 2 sin 4 . 解原式 2sin cos 2cos 2 2 2 sin cos 2 2cossin cos sin cos 2 2cos . 2
8、已知 (0，)，化简： 1sin cos cos 2 sin 2 22cos . 解原式 2cos 2 22sin 2cos 2 cos 2sin 2 4cos 2 2 7 cos 2 cos 2 2sin 2 2 cos 2 cos 2cos cos 2 . 因为 00，所以原式 cos . 考点二三角函数式的求值 三角函数求值问题主要考查角的变换和公式的灵活运用，是高考 命题的热点，难度适中 常见的命题的角度有： (1)给角求值； (2)变角求值； (3)给值求角 角度 1：给角求值 【例 21】求值： (1) sin110 sin20 cos 2155 sin2155； (2) 3tan
9、12 3 sin12 4cos 212 2. 思路引导 角的变换 式的变换 约分求值 解(1)原式 sin70 sin20 cos310 cos20 sin20 cos50 1 2sin40 sin40 1 2. (2)原式 3 sin12 cos12 3 sin12 4cos 212 2 3sin12 3cos12 2sin12 cos12 2cos 212 1 8 2 3 1 2sin12 3 2 cos12 sin24 cos24 2 3sin 12 60 1 2 sin48 4 3. 角度 2：变角求值 【 例22】(1)(2018 贵 阳 监测 ) 已 知 sin 6 1 3 ， 则
10、 cos 2 3 的值是 ( ) A. 7 9 B. 1 3 C 1 3 D 7 9 (2)已知 00， (0，)，所以 0， 2 . 因为 cos 7 2 10 ， (0，)，所以 2，且 tan 1 7. 所以 ( ，0)，tan( ) tan tan 1tan tan 30， 所以 ， 2 ，所以 2 ( ，0) 因为 tan(2 )tan ( ) tan tan 1tan tan 1， 所以 2 4. 解法二：因为 tan 21， (0，)，所以 4， 2 . 因为 cos 7 2 10 ， (0， )， 所以 2， 所以 2 2， 2 . 因为 tan(2 )tan ( ) tan
11、tan 1tan tan 1， 15 所以 2 4 . 三角函数值的符号与角的范围有直接关系，借助三角函数值的符 号可有效缩小角的范围本题缩小角的范围分为两层：先由条件中 tan 、cos的符号缩小 、的范围，得到 的范围，再由 的范围，结合 tan( )的符号进而缩小 的范围，得到 2 的 范围难点是想到缩小 的范围 另外，本题还可以采用缩小三角函数值的范围来缩小角的范围 解法二较解法一在求角的范围上运算量小了许多，这也显示出运 用三角函数值的范围缩小角的范围的优势 【典例 2】设 、 (0，)，sin( ) 5 13，tan 2 1 2 ，则 cos _. 切入点 求出 和 的三角函数值
12、关键点 保证 cos cos( ) 的唯一性 规范答题 因为 tan 2 1 2，所以 sin 2tan 2 1tan 2 2 4 5，cos 1tan 2 2 1tan 2 2 3 5 1 2， 2 2 .又 (0，)，所以 4， 3 ，又 (0，)，所 以 4 ， 4 3 .又 sin( ) 5 130， 1 2 ，所以 5 6 ，所以 cos( ) 12 13，所以 cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 16 65. 16 答案16 65 本题缩小角的范围分为两层：(1)由 cos 3 5 1 2， 2 2 ，结合 (0，)，缩小角 的范围，得到 的范围； (2)
13、由 sin( ) 5 13 0，1 2 ，结合 4 ， 4 3 ，缩小 的范围其中难点是后者， 这是因为 ysinx 在 4， 4 3 上不单调，解决办法是画图 感悟体验 1设 ，为钝角，且 sin 5 5 ，cos 3 10 10 ，则 的值 为() A. 3 4 B.5 4 C.7 4 D.5 4 或7 4 解析由 sin 5 5 ，cos 3 10 10 ，且 ，为钝角，可知 cos 2 5 5 ，sin 10 10 ， 故cos( )cos cos sin sin 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 ，又 0，sin 20， 23 1cos 2 1cos 2 cos
14、 2 2 sin2 2 cos 2sin 2 2cos 2 4 6 2 ， cos 2 4 3 2 ， 2 4 62k ，k Z 或 2 4 62k ，k Z， 即 64k ，k Z 或 5 6 4k ，k Z， 又 3 4 ， 19 6 或23 6 .故选 D. 答案D 12(2019 安徽二模 )sin40 (tan10 3)() A 1 2 B1 C. 3 2 D 3 3 解 析 sin40 (tan10 3 ) sin40 sin10 3cos10 cos10 sin40 2sin 10 60 cos10 2sin40 cos40 cos10 sin80 cos10 cos10 cos
15、10 1. 故选 B. 答案B 13cos 9 cos 2 9 cos 23 9 _. 解 析 cos 9 cos 2 9 cos 23 9 cos20 cos40 cos100 cos20 cos40 cos80 24 sin20 cos20cos40cos80 sin20 1 2sin40 cos40 cos80 sin20 1 4sin80 cos80 sin20 1 8sin160 sin20 1 8sin20 sin20 1 8. 答案1 8 14(2019 北京西城区模拟 )已知函数 f(x)tan x 4 . (1)求 f(x)的定义域； (2)设 (0，)，且 f( )2cos
16、 4 ，求 的值 解(1)由 x 4k 2，得 xk 4，k Z. 所以函数 f(x)的定义域是 x|xk 4，k Z (2)依题意，得 tan 4 2cos 4 ， 所以 sin 4 cos 4 2sin 4 ，整理得sin 4 2cos 4 1 0， 所以 sin 4 0，或 cos 4 1 2. 因为 (0，)，所以 4 4， 5 4 . 25 由 sin 4 0，得 4 ，即 3 4 ； 由 cos 4 1 2，得 4 3，即 12. 所以 12，或 3 4 . 拓展延伸练 15(2018 安徽淮南一模 )设 0， 2 ， 0， 4 ，且 tan 1sin2 cos2 ，则下列结论中正
17、确的是() A 4 B 4 C2 4 D2 4 解析tan 1sin2 cos2 sin cos 2 cos 2 sin2 sin cos cos sin 1tan 1tan tan 4 .因为 0， 2 ， 4 4， 2 ，所以 4，即 4. 故选 A. 答案A 16(2019 河南百校联盟 4 月联考 )已知 为第二象限角， 且 tan tan 122tan tan 122，则 sin 5 6 等于() A 10 10 B. 10 10 C 3 10 10 D. 3 10 10 解析 tan tan 12 2tan tan 12 2? tan tan 12 1tan tan 12 2? tan 12 20， 26 为第二象限角， sin 12 2 5 5 ，cos 12 5 5 ，则 sin 5 6 sin 6 sin 12 4 cos 12 sin 4 sin 12 cos 4 3 10 10 .故选 C. 答案C