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1、1 几何计数 方法铺垫： 1） 加法原理，乘法原理； 2） 容斥原理； 3） 排列数，组合数； 4） 对应法 . 例 1. 求图中一共有多少条线段？求图中一共有多少个矩形？ 答疑编号 5721070101 【答案】 70 条线段， 60 个矩形 【解答】每一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定，因此共 有条线段 . 每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成，如下图： 因此共有个矩形 . 2 例 2. 数一数，图中有多少个三角形？ 答疑编号 5721070102 【答案】 78 个 【解答】只包含 1 个基本图形的有 36 个（朝上的 21 个，朝下的 15 个）；包含 4 个基本图形的有 21
2、个（朝上的 15 个，朝下的 6 个）；包 含 9 个基本图形的有 11 个（朝上的 10 个，朝下的 1 个）；包含 16 个基本 图形的有 6 个；包含 25 个基本图形的有 3 个；包含 36 个基本图形的有 1 个. 所以共有 362111631=78个. 例 3. 下图是一个长为 9，宽为 4 的长方形网格，每一个小格都是一个 正方形，那么： 1）从中可以数出多少个矩形？ 2）从中可以数出多少个正方形？3）从中可以数出包含黑点的矩形有 3 多少个？ 答疑编号 5721070103 【答案】 1）450个；2）80 个；3）144 个 【解答】 1）图中共有个矩形； 2）包含 1 个基
3、本图形的正方形共有49=36个；包含 4 个基本图形的 正方形共有 38=24 个；包含 9 个基本图形的正方形共有27=14 个；包 含 16 个基本图形的正方形共有16=6 个. 则共有 3624146=80个. 3）黑点左下方的顶点共有18 个，黑点右上方的顶点共有8 个，所以 包含黑点的矩形共有188=144 个. 例 4. 图中一共包含多少个矩形？ 答疑编号 5721070104 【答案】 135 个 【解答】第（ 1）部分和第（ 3）部分合并起来是一个35 的大矩 4 形（如下图所示），其中一共包含矩形个； 第（2）部分和第（ 3）部分合并起来是一个62的大矩形（如下图所 示），其中一共包含矩形个； 第（3）部分中的矩形被重复计算了，其中共有矩形个. 所以图中一共包含矩形906318=135个. 例 5. 图中的木板上钉着12 枚钉子，排成三行四列的长方阵. 那么用 橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？ 答疑编号 5721070105 【答案】 200 个 【解答】从 12 枚钉子中选择 3 枚钉子的组合总数是. 而图中共有 3 条直线上各有 4 个点（如下图实线所示），另外还有8 条直线上各有 3 个点（如下图虚线所示）.