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1、“二次根式的加减”教学案例剖析 教学内容 ：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级 上册第 14 页15 页例 1，二次根式的加减。 教学目标 1. 知识与技能：理解最简二次根式的概念，掌握二次根式加减的 方法，培养学生的运算能力。 2. 过程与方法：经历整式加减运算与二次根式加减运算的比较体 会类比思想，探究二次根式加减的方法，培养学生观察、探索、归纳 的能力。 3. 情感、态度与价值观：通过类比学习，培养学生分析问题解决 问题的能力和团队合作精神。 评析：本节教材首先通过一个实际问题引出二次根式的加减运算， 使学生感到研究二次根式的加减运算是实际的需要（解决学什么？）。 然后采用先求和
2、、化简， 再估算大小引出二次根式的加减运算方法（解 决怎样学？）， 其运算基础是先把二次根式化成最简二次根式，运算 方法类似整式加减法， 即将被开方数相同的二次根式进行合并，合并 的依据是分配律。 从执教教师制定的教学目标叙述上看，在知识与技 能的目标中“理解最简二次根式的概念”定位不准确，最简二次根式 是前几课所学的主要概念，在本节课只是一个巩固的过程。情感、态 度与价值观目标中的 “培养学生分析问题解决问题的能力和团队合作 精神”放之四海而皆准，作为课时教学目标就不够准确了。这里实际 上是将“三维目标”表现为一个平面内的三类目标，没有针对性，多 无现实可能。从课程标准的理念出发，知识与技能
3、，过程与方法，情 感、 态度与价值观是一个目标体系中的三个维度，知识与技能属于“是 什么”的维度，过程与方法是关于“如何获得什么”的维度，情感、 态度与价值观是在 “如何获得什么” 的过程中或之后内化为学生相对 稳定的东西。建议本节课的教学目标修定如下： 1. 使 90%以上的学生会进行二次根式加减运算； 2. 学生能够把在具体情境中经历经历整式加减运算与二次根式加 减运算的比较， 探究二次根式加减的方法的过程表达出来，当堂达标 率约为 90%； 3. 通过类比学习，学生能够指出二次根式的加减运算与整式加减 运的联系和区别。发展学生的抽象概括能力和体会类比数学思想”， 养成善于思考、认真细致、
4、一丝不苟的科学精神”。 教学重点：二次根式的加减运算。 教学难点：探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式 加减运算。 教学过程实录与评析 ： 教学活动一：复习引入 师：满足什么条件的根式是最简二次根式？ 生 1：被开方数不含分母； 生 2：被开方数不含开得尽方的因数或因式。 师：（多媒体展示）化简下列二次根式 生：独立练习。师：讲评：略。 师：提出问题：化简后的二次根式有什么特点？ 生：、小题都含有，、小题都含有。 师引入新课并板书课题：二次根式的加减 评析：教学活动一，是复习、巩固最简二次根式的概念和二次根 式的化简，为本课学习二次根式的加减运算作准备。但作为这节课的 起始部分，这样
5、的引入离开了本课的主题学习二次根式的加减的 现实意义，使教学成为无源之水， 无本之木。建议利用课本中的例子： “问题：现有一块长7.5dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图所示的 方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和 18 dm 2 的正方形木 板？”在解决此问题的过程中得出，让学生感受学习二次根式 加减运算的必要性和意义。通过分析的计算过程并向学生传 递这样一个信息： 二次根式的加减运算并不是孤立的全新的知识，而 与二次根式的化简密切相关， 此时再与活动一结合就好了。教学研究 表明，一个好的有意义的例子胜过一千次说教，因为有意义的东西更 能使人自觉地去学习， 唤起学生对已有知识
6、的回忆，创设认知心理的 最近发展区，达到最佳的学习效益。 教学活动二：探索新知 师（媒体展示） 1. 合并同类项： ； ； ； = 。 生：独立练习。 师巡视、指导学生练习与学生进行交流。 师：上面题目的计算，实际上是我们以前所学的同类项合并，也 就是说只有同一特征的事物我们才能进行合并。如 3 头牛 + 5 头牛=8 头牛。如果是 3 头牛+五只羊我们就无法相加了。 评析：此时执教教师的意图是复习、巩固合并同类项的方法，用 来类比学习二次根式的加减运算。但用“只有同一特征的事物”来理 解同类项是不准确的，代数中的同类项的本质特征是：“所含字母 相同，并且相同字母指数也相同”。用“3 头牛 +
7、 5 头牛户 =8 头牛” 来说明合并同类项的方法失去了数学意义。合并同类项的方法是 “字 母部分不变”，即字母不变，字母的指数不变；“系数相加减”。 2. 请同学们用类似合并同类项的方法计算下列各题，并说说计算 过程有什么规律？ 生分组尝试练习。 师巡视课堂，并及时纠正学生练习中出现的问题。 师提示：在、小题中，如果我们把、看成字母、， 不就转化为前面合并同类项的问题吗？、小题又该怎样运算呢？ 请同学们互相讨论，给出合理的运算过程，好吗？ 注：笔者在观课时发现， 此时，有学生还没有想到将化简为 （最简二次根式），还有的学生直接得出。、小题 实际上多数学生没有完成。 师再一次提示：， 生：因与
8、不是同类项，不能相加（有的说成不能合并）。 师提问：， 生：有的答，有的答不能相加。 师：为什么与不能相加？ 生：因为它们不是同类项。 师此时显得有点无奈， 自圆其说：与的被开方数不同， 不能 合并。 师边板书边归纳： 和都是将被开方数相同的二次根式进行合并。 和先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二 次根式进行合并。 从而归纳得出二次根加减运算的方法是：二次根式 加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的 二次根式进行合并。 评析：活动二的设置，目的是让学生经历类比合并同类项的方法 去探究、归纳、 概括二次根式加减运算方法。但在学生分组尝试练习 之前并不知道尝试
9、练习的实际意义，处于被动学习状态， 在这 4 个小 题中，如果说第、小题学生能机械摸仿，第、小题使学生一 下从摸仿转移二次根式的化简，显得本末倒置。 教师对学生在答题时 出现无奈， 没有从最简二次根式中的被开方数是否相同这 一特征入手进行引导，使课堂教学的生成效果失真。事实上，此时如 按执教教师的思路，再一次进行理性的类比，问题还是可以解决的。 如计算，可以先把看成，则转化为，由 合并同类项的知识得， 再通过类比同类项的运算方 法可得， 此时需要学生明白的是被开方数相 同的两个最简二次根式能够按合并同类项的方法进行加减运算。当学 生尝试计算时，可先提出问题：与是不是最简二次根 式？如果不是，化成最简二次根式。这样就自然地把转化为 ，这样既使问题得到解决， 又使学生感受到在进行二次根式 的加减时如果不是最简二次根式的要先化成最简二次根式。从而使学