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1、2015 年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列 专题 6 指数函数与对数函数 幂的运算、对数运算 【背一背基础知识】 1.根式：一般地，如果 n xa，那么x就叫做a的n次方根，其中1n，且nN.式子 n a叫做根式，其 中n叫做根指数， a叫做被开方数 .其中 , , nn a n a a n 为正奇数 为正偶数 ； 2.分数指数幂：我们规定正数的正分数指数幂的意义是：0,1 m nm n aaam nNn且；我们规定 正数的负分数指数幂的意义是： 11 0,1 m n m nm n aam nNn a a 且； 其中0的正分数指数幂为0， 0的负分数指数幂没有意义； 3.正数的有理数幂的
2、运算法则如下：（1） 0, , rsrs a aaar sQ； （2）0, , s rrs aaar sQ； （3）0,0, r rr aba babrQ； 4.对数： 一般地， 如果 01 x aN aa且，那么数x叫做以a为底N的对数， 记作logaxN，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数； 其中把以10为底的对数叫做常用对数，并把 10 logN记作lg N，把以e（无 理数2.71828e为底的底数叫做自然对数，并把logeN记作ln N；其中指数与对数的互化为： x aN log01 a xN aa且. 5.对数恒等式： （1）log 1 001 a aa且；（2）log101 aa
3、 aa且；（3） log 01 aN aN aa且. 5.对数的运算性质：如果0a且1a，0M，0N，那么： （1）logloglog aaa MNMN；（ 2）logloglog aaa M MN N ；（3）loglog n aa MnMnR. 6.对数的换底公式： log log01;01;0 log c a c b baaccb a 且且. 推论：（1）loglog1 ab ba； （2）loglog n m a a m bb n . 来源 学科网 Z X X K 【讲一讲基本技能】 必备技能： 1.指数幂的化简与求值 (1) 化简原则：化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数
4、为分数；注意运算的先后顺 序 提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算 (2) 结果要求：若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给出，则结果 用分数指数幂的形式表示；结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂 2.对数的化简与求值 (1) 对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对 数式化简时，必须保证恒等变形 (2) b aN a blog N(a0 且 a 1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵活运用 (3) 利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与
5、对数的和、差、倍之间进行转化 (4) 有限制条件的对数化简、求值问题，往往要化简已知和所求，利用“代入法”. 3.形如 2xx a pb pc型的方程、不等式或函数问题，利用换元法 x tp，将其转化为 2 a tb tc型 的一元二次方程、不等式或二次函数问题，利用相关知识或方法求解；求解对数方程时，直接利用对数式 与指数式的互化，利用指数相关知识求解；对于同底数的对数的运算时，一般利用底数的运算性质即可； 对于不同底数的运算时，一般利用换底公式及其推论来解决. 1.典型例题 例 1 13 210 34 1 0.027()2.563( 21) 7 . 例 2计算： 3 27 log2lg22
6、5lg 4 3 2ln e= . 例 3 设 a0 ，将 32 2 aa a 表示成分数指数幂，其结果是（） A. 2 1 aB. 2 3 aC. 6 5 aD. 6 7 a 例 4 设25 ab m，且 11 2 ab ，则m（） A.10B.10C.20D.100 【练一练趁热打铁】 1. 23 log 9log 4（） A. 1 4 B. 1 2 C.2D.4 2. 211 1 332 65 1 ? 2 ? abab a b （） . 3. 若 33 ) 2 lg() 2 lg(,lglg yx ayx则（） Aa3Ba 2 3 CaD 2 a 4. 41 33 3 3 22 333 8
7、 12 42 aa bb a a baba . 指数函数与对数函数 【背一背基础知识】 1.指数函数：函数 x ya（0a且1a）称为指数函数，其中底数是不等于1的常数，指数为自变量； 2.指数函数的基本性质： 1a01a 图象 1 y=a x a 1() O x y 1 y=a x 01() Ox y 来源学科网 ZXXK 1 y=logax 0(m 2m 1) 2 1 ，则实数m的取值范围是( ) A. ， 51 2 B. 51 2 ，C(1,2) D. 51 2 ，2 2. 当(0,)x时，幂函数 21 (1) m ymmx为减函数，则实数m（） A2mB1mC2m或1mD 15 2 m
8、 函数的零点 【背一背基础知识】 1方程的根与函数的零点 （1）函数零点 概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点 . （） 函数零点的意义：函数 )(xfy 的零点就是方程 0)(xf 实数根， 亦即函数 )(xfy 的图象与 x轴 交点的横坐标.即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与 x轴有交点 函数)(xfy有零点 . （）函数的零点与方程根的关系 函数F xfxg x的零点就是方程fxg x的根，即函数yfx的图象与函数yg x 的图象交点的横坐标 （）三个等价关系(三者相互转化) 提醒：函数的零点不是点，是方程0)(xf的根，即当
9、函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零函 数的零点也就是函数)(xfy的图象与x轴的交点的横坐标 二次函数)0( 2 acbxaxy的零点： ），方程 0 2 cbxax有两不等实根，二次函数的图象与 x轴有两个交点，二次函数有两个零 点； ），方程 0 2 cbxax 有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数 有一个二重零点或二阶零点； ），方程 0 2 cbxax无实根，二次函数的图象与 x轴无交点，二次函数无零点 . 零点存在性定理 如果函数)(xfy在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线，且有)(af)(bf0，那么，函数 )(xfy 在区间 ),(ba
10、内有零点， 即存在 ( , )ca b 使得 0)(cf ，这个c也就是方程 0)(xf 的根 来源 学科网 Z X X K 注意以下两点： 满足条件的零点可能不唯一； 不满足条件时，也可能有零点 由函数)(xfy在闭区间,a b上有零点不一定能推出)(af)(bf0， 如图所示所以)(af)(bf0 是 )(xfy 在闭区间, a b上有零点的充分不必要条件 注意： 如果函数fx在区间,a b上的图象是连续不断的曲线，并且函数fx在区间,a b上是一个单 调函数，那么当)(af)(bf0时，函数fx在区间),(ba内有唯一的零点，即存在唯一的( , )ca b，使 0)(cf. 如果函数fx
11、在区间,a b上的图象是连续不断的曲线，并且有)(af)(bf0，那么，函数fx在 区间),(ba内不一定没有零点 如果函数 fx 在区间,a b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数 fx 在区间 ),(ba 内有零点时不一 定有)(af)(bf0，也可能有)(af)(bf0. .二分法 二分法及步骤： 对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 给定精度，用二分法求函数 )(xf 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间, a b，验证)(af)(b
12、f0，给定精度； （2）求区间a(，)b的中点 1 x； （3）计算)( 1 xf： 若)(1xf=0，则1x就是函数的零点； 若 )(af )( 1 xf0，则令b= 1 x（此时零点),( 10 xax ） ； 若)( 1 xf )(bf0，则令a= 1 x（此时零点),( 10 bxx ） ； （4）判断是否达到精度； 即若|ba，则得到零点零点值 a（或b） ；否则重复步骤 24: 注：函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(xf的实数； 从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标； 若函数)(xf的图象在 0 xx 处与x轴相切，则零点0 x 通常称为不变号零点
13、； 若函数 )(xf 的图象在 0 xx处与x轴相交，则零点 0 x通常称为变号零点. 注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(af)(bf0表明用二分法求函数的近似零点都是指变 号零点 . （）用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题： 第一步中要使：(1)区间长度尽量小；(2) )(af，)(bf的值比较容易计算且)(af)(bf0. 根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程 fxg x的根，可以构造函数F xfxg x，函数F x的零点即为方程fxg x的 根 求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度， 当区间长度小于精确度时，
14、运算即告结束， 此时区间内的任何一个值均符合要求，而我们通常取区间的一个端点值作为近似解 二次方程 2 ( )0f xaxbxc的实根分布及条件. 方程 ( )0f x 的两根中一根比r大，另一根比r小 ( )0af r ； 二次方程( )0f x的两根都大于r 0)( , 2 , 04 2 rfa r a b acb 二次方程( )0f x在区间,p q内有两根 ; 0)( , 0)( , 2 ,04 2 pfa qfa q a b p acb 二次方程 ( )0f x 在区间,p q内只有一根 ()( )0fp f q ，或 ()0fp (检 验)或 ( )0f q (检验 ) 检验另一根
15、若在,p q内成立 注意：二次函数零点分布问题，即一元二次方程根的分布问题，解题的关键是结合图象把根的分布情况转 化为不等式组或方程二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x轴交点的个数问题，结合二 次函数的图象通过对称轴，判别式 ，相应区间端点函数值来考虑 有关函数零点的重要结论 (1) 若连续不断的函数 )(xf 是定义域上的单调函数，则 )(xf 至多有一个零点 (2) 连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3) 连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变 (4) 函数 11 110 ( ) nn nn f xa xaxa xaL至多有n个零点 【讲一讲基本技
16、能】 必备技能： 1函数零点的求法： （代数法）求方程0)(xf的实数根； （ 几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质 找出零点 . 确定函数 )(xf 的零点所在区间的常用方法 (1) 利用函数零点的存在性定理:首先看函数)(xfy在区间, a b上的图象是否连续,再看是否有 )(af)(bf0.若有 ,则函数)(xfy在区间),(ba内必有零点 . (2) 数形结合法 :通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 确定方程fxg x在区间,a b上根的个数的方法 (1) 解方程法 :当对应方程fxg x易解时 ,可先解
17、方程 ,看求得的根是否落在区间,a b上再判断 . (2) 数形结合法 :通过画函数)(xfy与yg x的图象 ,观察其在区间,a b上交点个数来判断. 函数零点个数的判断方法 (1) 直接求零点：令0)(xf，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2) 零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间, a b上是连续不断的曲线，且 )(af )(bf0，还必 须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3) 利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就 有几个不同的零点 函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数
18、，其步骤是： (1) 令0)(xf； (2) 构造 11 yfx ，22 yfx ； (3) 作出 12 ,yy 图像； (4) 由图像交点个数得出结论 应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法 (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 与方程根有关的计算和大小比较问题的解法 数形结合法 :根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小. 在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母
19、参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方 法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数yfx， yg x，即把方程写成fxg x的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根 据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系 2 典型例题 例 1 函数 2 log2fxxx的零点所在的区间为（） A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4 例 2 函数2 x fxex（e为自然对数的底数）的零点个数是（） A.0B.1C.2D.3 【练一练趁热打铁】 1. 方程 5 logsinxx=的解的个数为（） (A) 1 (B) 3
20、(C) 4 (D) 5 2.函数 1 2 1 2 x fxx的零点个数为（） A.0B.1C.2D.3 （一）选择题（ 12*5=60分） 1. 设1 2 log3a ， 0.3 1 3 b ， lnc ，则（） A.a bc B.a cb C.c ab D.b ac 2.函数 1 lg 1 1 fxx x 的定义域是（） A., 1B.1,C.1,11,D., 3. 已知函数f(x)=2 x-2, 则函数 y=|f(x)| 的图象可能是 ( ) 4. 已知0b， 5 log ba，lg bc，510 d ，则下列等式一定成立的是（） A、dacB、acdC、cadD、dac 5. 已知函数
21、40 40 x xx fx x xx ， ， ，则函数 fx 的零点个数为（） A.1B.2C.3D.4 6. 已知函数log ()( , a yxca c为常数，其中0,1)aa的图象如右图，则下列结论成立的是（） A.1,1acB.1,01acC.01,1acD.01,01ac 7.若 2 10Ax x，lg1Bxx，则AB（） A.110xxB.010xxC.01xxD.11xx 8.已知函数 3 log,0 2 ,0 x x x fx x ，则 1 9 ff（） 来源 学 科 网 A.4B. 1 4 C.4D. 1 4 9. 将函数 2( )log (2 )f xx的图象向左平移1 个
22、单位长度，那么所得图象的函数解析式为（） （A） 2 log (21)yx（ B） 2 log (21)yx （C） 2 log (1)1yx（ D） 2 log (1)1yx 10. 函数 1 ( )lgf xx x 的零点所在的区间是（） A0,1B1,2C2,3D3,10 11. 已知函数 1 2 log,0, ( ) 2 ,0, x xx f x x 若关于x的方程( )f xk有两个不等的实根，则实数k的取值范围 是 ( ) A(0,)B(,1)C(1,)D(0,1 1 2. 若存在正数x，使24 xx a成立，则实数a的取值范围是 . （二）填空题（ 4*5=20分） 13. lg5lg20的值是 _. 14. 方程 9 13 31 x x 的实数解为 _. 15. 计算： 2 3 23 1 log 9log 4 125 . 16. 已知函数 1,01 ( ) 1 2,1 2 x xx f x x ，设0ab，若( )(b)f af，则( )bf a的取值范围是_