专题06数列、不等式河北衡水中学高三数学(理)模拟试卷分项版(解析版).pdf

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1、一、选择题 1. 【2018 河北衡水中学高三二调】设正项等比数列的前项和为，且，若， ，则（） A. 63或 120 B. 256 C. 120 D. 63 【答 案】 C 2. 【2018 河北衡水中学高三二调】设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆 存在公共点，则的最大值的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当点在圆外（上）时，可行域与圆 有公共点，即，也即时可行域与圆有公共点， 此时动直线经过点时，在上的截距最大，其最大值为 。应选答案D。学 #科网 点睛：解答本题的关键是运用转化与化归思想将问题化为区域内的点在圆外，

2、即 ，然后解不等式得到，然后运用线性规划的知识求得动直线经 过点时，在上的截距最大，其最大值为，进而借助实数的取值范围获 得答案。 3 【 2018 河北衡水中学高三分科综合测试】已知实数满足约束条件，则的最大 值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】 B 4. 【2018 河北衡水中学高三市模拟联考】已知递增数列对任意均满足，记 （） ，则数列的前 项和等于（） A. B. C. D. 【答案】 D 【点睛】本题考查了数列的相关知识，题干新颖，思路缜密，解题方法巧妙，对知识的转化与化归能力比 较高，首先对于首项的确定，可以采用列举法， 就会发现， 再令后， 利用公式巧妙变形

3、为， 这样对数列的构造打下基础，最后转化为数列是等比数列求和. 5. 【 2017 河北衡水中学高三第三次摸底】数列为非常数列，满足：，且 对任何的正整数都成立，则的值为（） A. 1475 B. 1425 C. 1325 D. 1275 【答案】 B 【解析】因为，所以 ，即 ，所以, 叠加得 ,，, 即从第三项起成等差数 列，设公差为，因为，所以解得，即 ，所以，满足， ，选 B. 来源 :学科网 ZXXK 6. 【2017 河北衡水中学高三押题卷一】若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形， 则该直角三角形的面积是（） A. B. C. D. 或 【答案】 D 【解析】 试题分析： 由题

4、意可知与垂直或与垂直，所以或 ， 时三角形面积是，时与交点，三角形面积为学 科网 考点：线性规划 点评：线性规划题目结合图形分析 7. 【2017 河北衡水中学高三上学期六调】若数列满足，且对于任意的都有 ，则等于（） A. B. C. D. 【答案】 D 点睛：裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就 是两大类型类型一:型，通过拼凑法裂解成；类型二： 通过有理化、 对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法 则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型， 常见的有

5、；对数运算本身可以裂解；阶乘和组 合数公式型要重点掌握和. 8. 【2017 河北衡水中学高三三调】等比数列 n a的前n项和为 n S，已知 253 2a aa，且 4 a与 7 2a的等差 中项为 5 4 ，则 5 S（） A29 B31 C33 D36 【答案】 B 考点：等比数列通项公式及求前n项和公式 9. 【2017 河北衡水中学高三三调】已知实数,x y满足 210 10 xy xy ，则 22xy z x 的取值范围为 （） A 10 0, 3 B 10 ,2, 3 C 10 2, 3 D 10 ,0, 3 【答案】 D 【解析】 考点：简单的线性规划问题 10. 【2018

6、河北衡水中学高三9 月联考】已知数列与的前项和分别为，且， ，若，恒成立， 则的最小值是 （） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】已知，两式子做差得到 ，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到，故 ， 故裂项求和得到， 由条件恒 成立，得到K的最小值为学￥科网 故答案选B 点睛 ：本题考查到了通项公式的求法， 从而得到数列是等差数列，再求出，根据裂项求和的方法可 以求出前n 项和。 11. 【2017 河北衡水中学高三三调】已知ab，二次三项式 2 20axxb对于一切实数x恒成立，又 0 xR，使 2 00 20axxb成立，则 22 ab ab 的最小值为（） A1 B2

7、C2 D2 2 【答案】 D 【解析】 12. 【2017 河北衡水中学高三三调】已知等差数列, nn ab的前n项和分别为, nn S T，若对于任意的自然 数n，都有 23 43 n n Sn Tn ，则 3153 39210 2 aaa bbbb （） A 19 41 B 17 37 C 7 15 D 20 41 【答案】 A 考点： 1、等差数列的性质；2、等差数列的前n项和公式 13. 【2017 河北衡水中学高三二调】已知0,0ab，若不等式 31 0 3 m abab 恒成立，则m的最大 值为（） A4 B16 C9 D3 【答案】 B 【解析】 14. 【2017 河北衡水中学

8、高三二调】动点 ,P x y 满足 1 25 3 y xy xy ，点Q为 1, 1 ,O为原点， OQOP OQ，则的最大值是（） A1 B1 C2 D 2 【答案】 D 【解析】 试题分析：依题意 2 xy ，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点3,1取得最大值为2. 考点：向量，线性规划 15. 【2017 河北衡水中学高三二调】已知数列 n a满足 11 1, 2 n n n a aanN a ，若 11 1 21, n n bnnNb a ，且数列 n b是单调递增数列，則实数的取值范围是（） 来源 :Zxx k.Com A 2 3 B 3 2 C 2 3 D 3 2 【答案

9、】 C 【解析】 考点：数列与不等式 16. 【2017 河北衡水中学高三二调】已知 n a满足 21 11123 1 1,44.4 4 n n nnnn aaanNSaaaa ，则54n nn Sa（） A1n Bn C2n D 2 n 【答案】 B 【解析】 来源: 学科网 考点：数列求和 【思路点晴】本题可用特殊值法迅速得到答案. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个 等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就 是用此法推导的若 nnn abc，其中nb是等差数列，nc是公比为q等比数列，令 1 12211nnnnn Sb

10、cb cbcb c，则 n qS 122311nnnn bcb cbcb c两式错位相减并整理即得. 17. 【2016 河北衡水中学高三上学期六调】设x， y 满足，若目标函数z=ax+y（ a0）最 大值为 14，则 a 为（） AB 23 C2 D1 【考点】简单线性规划 【分析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值求出a 的值学￥科网 二、填空题 18. 【2018 河北衡水中学高三9 月联考】已知，满足其中，若的最大值与 最小值分别为， ，则实数的取值范围为_. 【答案】 【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示） 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合

11、的思想. 需要注意的是：一、准确无误地作出可行 域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般 情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 19. 【2018 河北衡水中学高三二调】数列满足，则数列的前 100 项和为 _ 【答案】 5100 【解析】由于的周期为， ， ， ，于是得到； 同理可求出， 由此，数列的前 100 项和可以转化为以6 为首项， 8 为公比的等差数列的前25 项和，所以前100 项和 为 . 点睛：本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部 分性质，本题观察到条件

12、中有，于是考虑到三角函数的周期性，构造，周期为4，于 是研究数列中依次4 项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题. 解决此类问题要 求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 20. 【2017 河北衡水中学高三上学期六调】已知满足 ，类比课本中推导等比 数列前项和公式的方法，可求得_ 【答案】 点睛：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n 项和公式的方法的理解和掌握等 比数列前 n 项和公式的推导主要利用错位相减法，其关键点是在前项和 的等式两边同时乘以公比，然后利用错位相减求出结果.（错位相减法：

13、针对数列（其中数列 分别是等差数列和等比数列（公比），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤 是:1.； 2. 等式两边同时乘以等 比数列的公比，得到；3. 最后 - ，化简即可求出结果. ） 21. 【2017 河北衡水中学高三上学期四调】已知数列 n a的各项均为正数， 11 1 4 2 nn nn aaa aa ，若 数列 1 1 nn aa 的前n项和为 5，则n 【答案】120 【解析】 考点： 1. 数列求和； 2. 累和法求数列通项 . 【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递 推关系为an 1anf(n) 或an1f(n)

14、 an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代 法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法， 分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.学 #科#网 22. 【2017 河北衡水中学高三六调】已知实数x,y 满足 022 063 0323 yx yx yx ，在这两个实数 yx, 之间插入三个实 数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 【答案】 9 【解析】 点睛 : 本题为线性规划问题. 掌握常见的几种目标函数的最值的求法: 利用截距的几何意 义; 利用斜率的几何意义 ; 利用距离的几何意义. 往

15、往是根据题中 给出的不等式, 求出的可行域 , 利用的条件约束 , 做出图形 . 数形结合求得目标函数的最值. 23. 【2018 河北衡水中学高三五调】若不等式组 20, 5100, 80 xy xy xy ，所表示的平面区域存在点 00 (,)xy，使 00 20xay成立，则实数a的取值范围是_. 【答案】1a 【解析】 试题分析：在直角坐标系内作出不等式组 20, 5100, 80 xy xy xy 所表示的可行域，如图中阴影部分，易知点 (0,2),(5,3),(3,5)ABC，直线20xay的斜率为 1 a ，直线AC的斜率为1，由图可知 , 平面区域存在 点 00 (,)xy，使

16、 00 20xay成立等价于 1 01 a ，即1a. 考点：线性规划. 【名师点睛】本题考查线性规划问题，属中档题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表 示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值本题则是考查 二元一次不等式的几何意义，在直线一侧的点的坐标适合同一个不等式. 24. 【 2017 河北衡水中学高三押题卷】已知实数， 满足不等式组且的最大值 为，则=_ 【答案】 【解析】 作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时 取 最大值，则则故本题 应填 25. 【2017 河北衡水中学高三二调】数列 n a满足： 1 1a，

17、且对任意的,m nN都有： nmnm aaanm，则 100 a 【答案】5050 【解析】 试题分析：令1mn， 211 1 13aaa，令2,1mn， 321 1 25aaa，故 99 19919811 99298991001299121005050aaaaaa. 考点：数列的基本概念，合情推理与演绎推理 三、解答题 26. 【2018 河北衡水中学高三二调】已知数列满足对任意的都有，且 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值 范围 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析： 所以 由于，即当时都有， 所以数列是首项为1，公差为1 的等差数

18、列 故 （3）解：由（ 2）知，则，所以 ，数列单调递增 . 要使不等式对任意正整数n 恒成立，只要 . ，即. 所以，实数a 的取值范围是 考点：等差数列的定义及性质 . 27. 【2018 河北衡水中学高三分科综合测试】已知等比数列满足，数列满足 ，为数列的前 项和 （1）求数列的前 11 项和； （2）求 【答案】（1）； （2） （2）由（ 1）可知 则 来源 :Z （ 2）见解析 . 29. 【2018 河北衡水中学高三二调】设数列 n a的前n和为 n S， 2 1 1,22 nn aSnann nN. （1）求证：数列 n a 为等差数列 , 并分别写出n a 和nS关于 n的表

19、达式； （2）是否存在自然数n, 使得 32 1 .21124 23 nn SSS S n ？若存在 , 求出n的值 ; 若不存在 , 请说 明理由； （3）设 123 2 ,. 7 nnn n cnNTccccnN n a , 若不等式 32 n m TmZ, 对 nN恒成立 , 求m的最大值 . 【答案】（1）证明见解析， 2 43,2 nn anSnn； （ 2）10n； （3）7. 【解析】 2 21124 n n, 得10n, 即存在满足条件的自然数10n. （3） 故符合条件m的最大值为7. 考点：数列的基本概念，数列求和，不等式 30. 【2017 河北衡水中学高三二调】在单调递

20、增数列 n a中, 12 2,4aa, 且 21221 , nnn aaa 成等差数 列 , 22122 , nnn aaa成等比数列， 1,2,3,.n. （1）求证：数列 2n a 为等差数列； 求数列 n a通项公式； （2）设数列 1 n a 的前n项和为 n S, 证明 : 4 , 33 n n SnN n . 【答案】（1）证明见解析；当n为偶数时 2 1 2 4 n an, 当n为奇数时 13 4 n nn a； （2）证明 见解析 . 学科 #网 【解析】 试题解析： 为: 2 1 2 13271 111 11,11, 242448 n nn n nnn ann , 因为 22

21、 71111 123 4844 n n annnnnn, 所以 1411 2323 n annnn , 则有 123 111111111111 .4. 34451223 n n S aaaannnn . 考点：数列与不等式 31. 【2017 河北衡水中学高三三调】已知2sin 2 fxx ，集合 |2,0Mxfxx，把M中 的元素从小到大依次排成一列，得到数列 * , n anN （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 2 1 1 n n b a ，设数列 n b的前n项和为 n T，求证： 1 4 n T 【答案】（1） * 21 n annN ； （2）见解析 【解析】 试题分析：（

22、1）首先根据正弦函数性质解出M中的元素， 从而得到21,xkkZ，由此可求得数列 n a 的通项公式； （2）首先结合（ 1）求得 n b的表达式，然后利用放缩法与裂项法即可使问题得证 考点： 1、递推数列； 2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和 32. 【2017 河北衡水中学高三二模】已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2） 设以为公比的等比数列满足） ，求数列 的前项和. 【答案】（1）（2）学科 % 网 ，即，解得 ，故， . 学科网 33. 【2017 河北衡水中学高三押题卷一】已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比 数列 . （I ）求数列的通项公式； （II ）令，

23、求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】试题分析： （1）利用等差数列的前项和公式分别表示出，根据成等比数列可得 ，即可求得，结合公差，得到通项公式； （2）由于是等差数列，所以考虑对数 列进行裂项，然后讨论的奇偶性即可达到求和的目的. 试题解析：（ 1）学#科#网 . 解得 （2） 来源: 学 ,科, 网 考点：等差数列的通项公式和前项和公式及数列求和. 34. 【2016 河北衡水中学上学期七调】已知数列an的前 n 项和为 Sn，向量=（Sn，1） ，=（2 n1， ） ， 满足条件， （1）求数列 a n 的通项公式， （2）设函数f （x）=（） x，数列 b n满足条件 b1=1，f （bn+1）= 求数列 bn 的通项公式， 设 cn=，求数列 c n 的前 n 项和 Tn 【考点】数列的求和；数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，可得Sn=2 n+12，再由当 n1 时， an=Sn Sn1， n=1 时， a1=S1，即 可得到所求通项公式； （2）运用指数的运算性质和等差数列的定义，即可得到所求通项公式； 求得 Cn=，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所 求和