专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形答案.pdf

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1、一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 专题四三角函数与解三角形 第十二讲解三角形 答案部分 1A【解析】因为 213 cos2cos121 255 C C，所以由余弦定理， 得 2223 2cos25125 1()32 5 ABACBCAC BCC， 所以4 2AB，故选 A 2C【解析】根据题意及三角形的面积公式知 222 1 sin 24 abc abC， 所以 222 sincos 2 abc CC ab ，所以在ABC中， 4 C故选 C 3A【解析】由sin(12cos)2sincoscossinBCACAC， 得sin2sincossincos

2、sinBBCACB， 即2sincossincosBCAC，所以2sinsinBA，即2ba，选 A 4A【解析】由余弦定理得 2 13931ACACAC,选 A. 5C【解析】设ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得 12 sin 342 acc，则 3 2 2 ac在ABC中，由余弦定理可得 222222295 23 22 baccacccc，则 10 2 bc 由余弦定理，可得 222 222 59 10 22 cos 21010 2 2 ccc bca A bc cc ，故选 C 6B【解析】 11 sin 22 AB BCB， 2 sin 2 B，所以45B或135B

3、 当45B时， 22 2cos1ACABBCAB BCB， 此时1,2ABACBC，易得90A与“钝角三角形”矛盾； 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 当135B时， 22 2cos5ACABBCAB BCB 7A【解析】因为ABC，由 1 sin 2sin()sin() 2 AABCCAB 得 1 sin 2sin 2sin 2 2 ABC， 即 1 sin()()sin()()sin 2 2 ABABABABC， 整理得 1 sinsinsin 8 ABC， 又 111 sinsinsin 222 SabCbcAacB， 因此 3222222 11

4、 sinsinsin 864 Sa b cABCa b c，由12S 得 2223 1 12 64 a b c， 即816 2abc，因此选项C、D 不一定成立又0bca， 因此()8bc bcbc a，即()8bc bc，选项 A 一定成立又0abc， 因此()8ab ab，显然不能得出 ()16 2ab ab ，选项 B 不一定成立综上所述， 选 A 8C【解析】由 22 ()6cab可得 222 26abcab，由余弦定理及 3 C可得 222 abcab所以由得6ab，所以 13 3 sin 232 ABC Sab 9C【解析】tan15tan(6045 )23， 60tan6060t

5、an15120( 31)BC 10 D【解析】 2 25cos10A， 1 cos 5 A，由余弦定理解得5b 11 A【解析】边换角后约去sin B，得 1 sin() 2 AC，所以 1 sin 2 B，但 B 非最大角， 所以 6 B 12 C【解析】由余弦定理可得5AC，再由正弦定理得 3 10 sin 10 A 13 B【解析】coscossinbCcBaA， 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 由正弦定理得 2 sincossincossinBCCB A， 2 sin()sinBCA， 2 sinsinAA，sin1A，ABC是直角三角形 1

6、4 B【解析】由正弦定理得： 3 2 2 3 sinsinsin 60sin 45 BCACAC AC AB 15 D【解析】由正弦定理，得 22 sinsinsincos2sinABBAA， 即 22 sin(sincos)2sinBAAA，sin2sinBA， sin 2 sin bB aA 16 D【解析】设ABc，则ADc， 2 3 c BD， 4 3 c BC，在 ABD中，由余弦定 理得 222 2 4 1 3 cos 23 ccc A c ，则 22 sin 3 A，在 ABC中， 由正弦定理得 4 3 sinsin22 3 c cBC CA ，解得 6 sin 6 C 17 A

7、【解析】因为120C，2ca， 所以 222 2coscababC， 222 1 22() 2 aabab 所以 22 ,0, ab abab abab ab 因为0,0ab，所以0 ab ab ab ，所以ab故选 A 18 9【解析】因为120ABC，ABC 的平分线交AC于点D， 所以60ABDCBD， 由三角形的面积公式可得 111 sin120sin 60sin 60 222 acac， 化简得acac，又0a，0c，所以 11 1 ac ， 则 1144 4(4)()5529 caca acac acacac ， 当且仅当2ca时取等号，故4ac的最小值为9 一线名师凭借教学实践科

8、学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 19 21 7 ；3【解析】因为7a，2b，60A，所以由正弦定理得 3 2 sin21 2 sin 77 bA B a 由余弦定理 222 2cosabcbcA可得 2 230cc，所以3c 20 15 2 , 10 4 【解析】由余弦定理可得， 222222 4241 cos 22424 ABBCAC ABC ABBC ， 由 22 sincos1ABCABC 所以 2 115 sin1cos1 164 ABCABC， 1 sin 2 BDC SBDBCDBC 11 sin()sin 22 BDBCABCBDBCABC 11515 22

9、 242 B C A D 因为BDBC，所以DBCD，所以2ABCDBCDD， 1 1 1cos10 4 coscos 2224 ABCABC BDC 21 3 3 2 【解析】单位圆内接正六边形是由6 个边长为1 的正三角形组成，所以 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 6 13 3 61 1 sin60 22 S 22 21 13 【解析】 4 cos 5 A， 5 cos 13 C， 所以 3 sin 5 A ， 12 sin 13 C ， 所以 63 sinsinsincoscossin 65 BACACAC ， 由正弦定理得： sinsin b

10、a BA 解得 21 13 b 23 1 【解析】由 1 sin 2 B得 6 B =或 5 6 ，因为 6 C =，所以 5 6 B，所以 6 B =， 于是 2 3 A有正弦定理，得 3 21 sin 32 b ，所以 1b 24 7【解析】由已知得ABC的面积为 1 sin20sin 2 AB ACAA10 3， 所以 3 sin 2 A，(0,) 2 A，所以 3 A 由余弦定理得 222 2cosBCABACAB ACA49，7BC 25 ( 62,62) 【解析】如图作PBC，使75BC，2BC =，作出直线AD分别交线段PB、 PC于A、D两点（不与端点重合），且使75BAD，则

11、四边形ABCD就是符合 题意的四边形，过C作AD的平行线交PB于点Q，在PBC中，可求得 62BP =+，在QBC中，可求得62BQ，所以AB的取值范围为 ( 62,62) Q D A P B C 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 26 1【解析】 222 3 cos 24 bca A bc ， 而 sin 22sincos243 cos21 sinsin64 AAAa A CCc 27 8 【解析】因为0A，所以 2 15 sin1cos 4 AA， 又 115 sin3 15 28 ABC SbcAbc，24bc， 解方程组 2 24 bc bc

12、，得6b，4c，由余弦定理得 22222 1 2cos6426464 4 abcbcA，所以8a 28 100 6【解析】依题意，30BAC，105ABC，在ABC中， 由180ACBBACABC， 所以45ACB，因为600AB，由正弦定理可得 30sin45sin 600BC ， 即2300BCm ，在BCDRt中，因为30CBD ，2300BC， 所以 2300 30tan CD BC CD ，所以6100CDm 29 150 【解析】在三角形ABC中，100 2AC，在三角形MAC中， sin60sin 45 MAAC ，解得100 3MA， 在三角形MNA中， 3 sin60 2 1

13、00 3 MN ，故150MN 30 2【解析】由bBcCb2coscos得：sincossincos2sinBCCBB， 即sin()2sinBCB，sin2sinAB，2ab，故2 a b 31 3 2 【解析】3sin5sinAB ， 3 2 2 1 2 cos2,53 222 C ab cba Cacbba，所以 3 2 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 32 3【解析】 2 2 sinsin()cos 23 BACBADBAD 根据余弦定理可得 222 cos 2 ABADBD BAD ABAD ， 222 2 2(3 2)3 3 3 2 3

14、 23 BD BD 33 【解析】 222 221 cos 2223 abcabab abcCC abab 222222 4()()1 2cos 2823 abcabab abcCC abab 当 2 C时， 22232233 cabca cb cab与 333 abc矛盾 取2,1abc满足()2ab cab得： 2 C 取2,1abc满足 22222 ()2abca b得： 3 C 34 4【解析】根据余弦定理可得 22 1 4(7)22(7)() 4 bbb，解得b=4 35 2 7【解析】在ABC中，根据 sinsinsin ABACBC CBA ， 得 3 sinsin2sin si

15、n3 2 AC ABCCC B ，同理2sinBCA， 因此22sin4sinABBCCA 2 2sin4sin() 3 CC 4sin2 3cos2 7 sin()CCC 36 15 3 4 【解析】根据 sinsin ABAC CB 得 535 3 sinsin 7214 AB CB AC ， 2 5 311 cos1 () 1414 C， 所以sinsin()sincoscossinABCBCBC = 31115 33 3 21421414 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 37 4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具

16、有轮换性 当A=B或a=b时满足题意，此时有： 1 cos 3 C， 2 1cos1 tan 21cos2 CC C ， 2 tan 22 C ， 1 tantan2 tan 2 AB C ， tantan tantan CC AB = 4 （方法二） 22 6cos6cos ba CabCab ab ， 2222 22223 6, 22 abcc ababab ab tantansincossinsincossinsin() tantancossinsincossinsin CCCBABACAB ABCABCAB 2 1sin cossinsin C CAB 由正弦定理，得：上式 222 2

17、 22 1 4 1 1 3cos () 6 62 ccc cCab ab 38 6 【解析】由sincos2BB得12sincos2BB，即sin21B， 因02B，所以2, 24 BB.又因为2,2,ab 由正弦定理得 22 sin sin 4 A ， 解得 1 sin 2 A，而,ab则0 4 AB,故 6 a 39 【解析】 (1)在ABC中， 1 cos 7 B，(,) 2 B， 24 3 sin1cos 7 BB 由正弦定理得 sinsin ab AB 78 sin4 3 7 A ， 3 sin 2 A (,) 2 B，(0,) 2 A， 3 A (2)在ABC中，sinsin()s

18、incoscossinCABABAB 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 = 3114 3 () 2727 = 3 3 14 如图所示，在ABC中，sin h C BC ， sinhBCC= 3 33 3 7 142 ， AC边上的高为 3 3 2 40 【解析】 (1)在ABD中，由正弦定理得 sinsin BDAB AADB 由题设知， 52 sin45sinADB ，所以 2 sin 5 ADB 由题设知，90ADB，所以 223 cos1 255 ADB (2)由题设及 (1)知， 2 cossin 5 BDCADB 在BCD中，由余弦定理得 2

19、22 2cosBCBDDCBD DCBDC 2 2582522 5 25 所以5BC 41 【解析】 (1)在ABC中，由正弦定理 sinsin ab AB ，可得sinsinbAaB， 又由 sincos() 6 bAaB，得 sincos() 6 aBaB， 即 sincos() 6 BB，可得tan3B 又因为(0 )B，可得 3 B (2)在ABC中，由余弦定理及2a，3c， 3 B， 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 有 222 2cos7bacacB，故7b 由 sincos() 6 bAaB，可得 3 sin 7 A因为ac，故 2 co

20、s 7 A 因此 4 3 sin 22sincos 7 AAA ， 2 1 cos22cos1 7 AA 所以，sin(2)sin 2coscos2sinABABAB 4 31133 3 727214 42 【解析】（1）由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ，即 1 sin 23sin a cB A 由正弦定理得 1sin sinsin 23sin A CB A 故 2 sinsin 3 BC （2）由题设及（1）得 121 cos()coscossinsin 632 BCBCBC 所以 2 3 BC，故 3 A 由题设得 2 1 sin 23sin a bcA A ，即8b

21、c 由余弦定理得 22 9bcbc，即 2 ()39bcbc，得33bc 故ABC的周长为333 43 【解析】（1）由已知得tan3A，所以 2 3 A 在ABC中，由余弦定理得 22 2844 cos 3 cc，即 2 +224=0cc 解得6c（舍去），4c （2）有题设可得 2 CAD，所以 6 BADBACCAD 故ABD面积与ACD面积的比值为 1 sin 26 1 1 2 AB AD AC AD 又ABC的面积为 1 42sin2 3 2 BAC，所以ABD的面积为3 44 【解析】由题设及ABC得 2 sin8sin 2 B B，故sin4(1 cos)BB 一线名师凭借教学实

22、践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 上式两边平方，整理得 2 17cos32cos150BB， 解得cos1B（舍去）， 15 cos 17 B （2）由 15 cos 17 B得 8 sin 17 B，故 14 sin 217 ABC SacBac 又2 ABC S，则 17 2 ac 由余弦定理及6ac得 2222 2cos()2(1 cos )bacacBacacB 1715 362(1)4 217 所以2b 45 【解析】（）在ABC中，因为ab，故由 3 sin 5 B，可得 4 cos 5 B 由已知及余弦定理，有 222 2cos13bacacB，所以13b

23、. 由正弦定理 sinsin ab AB ,得 sin3 13 sin 13 aB A b . 所以，b的值为13，sin A的值为 3 13 13 . （）由（）及 ac，得 2 13 cos 13 A，所以 12 sin 22sincos 13 AAA， 2 5 cos212sin 13 AA 故 72 sin(2)sin 2coscos2sin 44426 AAA 46 【解析】（）在ABC中，因为60A， 3 7 ca ， 所以由正弦定理得 sin333 3 sin 7214 cA C a （）因为 3 7 caa ，所以60CA， 由7a，所以 3 73 7 c 由余弦定理 222

24、2cosabcbc A得 2221 7323 2 bb， 解得8b或5b（舍） 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 所以ABC的面积 113 sin836 3 222 SbcA 47 【解析】 ()由 tantan 2(tantan ) coscos AB AB BA 得 sinsinsin 2 cos coscos coscos cos CAB ABABAB ， 所以CBCsinsinsin2，由正弦定理，得cba2=+ （） 由 ab cabba ab cba C 2 2 2 22222 )( cos 22 2 3331 111 222 2() 2

25、cc ab ab 所以Ccos的最小值为 1 2 48 【解析】（I）证明：由正弦定理 sinsinsin abc ABC 可知 原式可以化解为 coscossin 1 sinsinsin ABC ABC A和B为三角形内角, sin sin0AB 则，两边同时乘以 sinsinAB，可得sincossincossinsinBAABAB 由和角公式可知， sincossincossinsinsinBAABABCC 原式得证。 （II）由题 2226 5 bcabc,根据余弦定理可知， 222 3 cos 25 bca A bc A为三角形内角， 0,A ，sin 0A 则 2 34 sin1

26、55 A，即 cos3 sin4 A A 由（ I）可知 coscossin 1 sinsinsin ABC ABC ， cos11 sintan4 B BB tan 4B 49 【解析】 (1)2coscoscosC aBbAc 由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 2cossinsinCABC ABC，0ABC、， sinsin0ABC 2cos1C， 1 cos 2 C 0C， 3 C 由余弦定理得： 222 2coscababC 22 1 72 2 abab 2 37abab 133

27、 3 sin 242 SabCab 6ab 2 187ab 5ab ABC周长为57abc 50 【解析】 () 1 sin 2 ABD SAB ADBAD 1 sin 2 ADC SAC ADCAD 因为2 ABDADC SS，BADCAD，所以2ABAC= 由正弦定理可得 sin1 sin2 BAC CAB ( ) 因为: ABDADC SSBD DC，所以2BD在ABD和ADC中， 由余弦定理得 222 2cosABADBDAD BDADB， 222 2cosACADDCAD DCADC 22222 2326ABACADBDDC由 ( ) 知2ABAC，所以1AC 一线名师凭借教学实践科

28、学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 51 【解析】（1）由tanabA=及正弦定理，得 sinsin coscos AbB AaB ， 所以sincosBA=，即sinsin() 2 BA=+ 又B为钝角，因此 2 +A( 2 ，)，故B= 2 +A，即BA-= 2 ； （2）由（ 1）知，C=-(A+B)=-(2A+ 2 )= 2 -2A0 ， 所以A0, 4 ， 于是sinsinsinsin(2 ) 2 ACAA=sincos2AA= 2 2sinsin1AA = 219 2(sin) 48 A， 因为 0A 4 ，所以 0sin A 2 2 ，因此 2 2 2 2 19

29、9 sin 488 A 由此可知sinsinAC的取值范围是（ 2 2 ， 9 8 52 【解析】（I）在ABC中，由题意知 2 3 sin1cos 3 AA， 又因为 2 BA，所有 6 sinsin()cos 23 BAA， 由正弦定理可得 6 3 sin 3 3 2 sin3 3 aB b A （II）由 2 BA得， 3 coscos()sin 23 BAA， 由ABC，得()CAB 所以sinsin()sin()CABABsincoscossinABAB 3366 () 3333 1 3 因此，ABC的面积 1113 2 sin3 3 2 2232 SabC 一线名师凭借教学实践科学

30、分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 53 【解析】： （）2AB，sinsin 22sincosABBB， 由正弦定理得 222 2 2 acb ab ac 3,1bc， 2 12,2 3aa （）由余弦定理得 222 91 121 cos 263 bca A bc ， 由于0A， 22 12 2 sin1 cos1 () 33 AA， 故 2 221242 sin()sincoscossin() 44432326 AAA 54 【解析】 （）由已知得，PBC= o 60，PBA=30 o ，在PBA中，由余弦定理得 2 PA= o 11 323cos30 42 = 7 4 ，

31、PA= 7 2 ； （）设PBA=，由已知得，PB=sin，在PBA中， 由正弦定理得， oo 3sin sin150sin(30) ，化简得，3cos4sin， tan= 3 4 ，tanPBA= 3 4 55 【解析】（）因为cossinabCcB，所以由正弦定理得： sinsincossinsinABCCB， 所以sin()sincossinsinBCBCCB， 即cossinsinsinBCCB，因为sin C0，所以tan1B，解得B= 4 ； （）由余弦定理得： 222 2cos 4 bacac，即 22 42acac，由不等式得： 22 2acac， 当且仅当ac时， 取等号，所

32、以4(22)ac， 解得42 2ac， 所以ABC 的面积为 1 sin 24 ac 2 (42 2) 4 =21，所以ABC面积的最大 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 值为21 56 【解析】（）,(0,)sin()sin0ACB A BACB 2sincossincoscossinsin()sinBAACACACB 1 cos 23 AA （II） 222222 2cos3 2 abcbcAabacB 在Rt ABD中， 222237 1() 22 ADABBD 57 【解析】（1）由正弦定理得： cos3 sin0sincos3sinsinsi

33、nsinaCaCbcACACBC sincos3sinsinsin()sin 1 3sincos1sin(30 ) 2 303060 ACACaCC AAA AA （2） 1 sin34 2 SbcAbc 222 2cos4abcbcAbc，解得：2bc 58 【解析】（I）由正弦定理，设, sinsinsin abc k ABC 则 22 sinsin2sinsin , sinsin cakCkACA bkBB 所以 cos2cos2sinsin . cossin ACCA BB 即(cos2cos)sin(2sinsin)cosACBCAB， 化简可得sin()2sin().ABBC又AB

34、C， 所以sin2sinCA，因此 sin 2. sin C A （II）由 sin 2 sin C A 得2 .ca 由余弦定理 22222211 2coscos,2,44. 44 bacacBBbaaa及得4= 解得a=1 因此c=2 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 又因为 1 cos,0. 4 BB且所以 15 sin. 4 B 因此 111515 sin1 2. 2244 SacB 59 【解析】由ACBCB和0)cos(21，得 . 2 3 sin, 2 1 cos,0cos21AAA 再由正弦定理，得. 2 2sin sin a Ab B

35、 . 2 2 sin1cos, 2 ,BBBBABab从而不是最大角所以知由 由上述结果知). 2 1 2 3 ( 2 2 )sin(sinBAC 设边BC上的高为h，则有. 2 13 sinCbh 60 【解析】由题意知5 33AB =海里， 906030 ,45 ,DBADAB 105ADB 在DAB中，由正弦定理得 sinsin DBAB DABADB sin5(33)sin 455(33)sin 45 sinsin105sin 45cos60sin 60cos45 ABDAB DB ADB = 5 3(13) 10 3 (13) 2 （海里）， 又30(9060 )60 ,20 3DB

36、CDBAABCBC海里， 在DBC中，由余弦定理得 222 2cosCDBDBCBDBCDBC 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 = 1 30012002 10320 3900 2 CD30（海里），则需要的时间 30 1 30 t（小时） 答：救援船到达D点需要 1 小时 61 【解析】（1）tan tan HH AD AD ，同理： tan H AB， tan h BD ADAB=DB，故得 tantantan HHh ，解得： tan41.24 124 tantan1.241.20 h H 因此，算出的电视塔的高度H是 124m （2）由题设知dAB，得tan,tan HHhHh dADDBd ， 2 tantan tan() () 1 tantan() 1 HHh hdh dd HHhH Hh dH Hh d ddd () 2() H Hh dH Hh d ， （当且仅当()125 121 55 5dH Hh时，取 等号）故当55 5d时，tan()最大 因为0 2 ，则0 2 ，所以当55 5d时，-最大 故所求的d是55 5m