全等三角形和角平分线专题讲解和练习题.pdf

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1、1 C E O D B A 21 C ED B A 21 43 C O B A 全等三角形专题讲解 专题一全等三角形判别方法的应用 专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4 种： 1三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS” ） 2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS” ） 3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ” ） 4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ” ） 而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4 种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一 条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“

2、HL” ） 也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的 特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等 三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段 相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来那么我们应该怎样应用三角形 全等的判别方法呢？ （1）条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看， 这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形 全等的条件即可证明两个三角形全等 例

3、1 已知：如图1，CEAB 于点 E，BD AC 于点 D，BD 、CE 交于点 O，且 AO 平分 BAC 那么图中全等的 三角形有 _对 图 1 （2）条件不足，会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条 件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案 例 2 如图 2，已知 AB=AD ， 1=2，要使 ABC ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_ 图 2 （3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法 在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅

4、助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件 由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等 例 3 已知：如图3，AB=AC ， 1=2 求证： AO 平分 BAC 分析：要证AO 平分 BAC ，即证 BAO= BCO ，要证 BAO= BCO，只需证 BAO 和 BCO 所在的两个三角形 全等而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可 图 3 2 G ABF D E C O D A C B F C E D B A C E D B A （4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形

5、 例 4 已知：如图4，在 RtABC 中， ACB=90 o，AC=BC ，D 为 BC 的中点， CEAD 于 E，交 AB 于 F，连接 DF 求证： ADC= BDF 说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构 造出一对全等三角形；涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；证 明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形 （5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法 新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力在近年中考出 现的与全等三

6、角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视 例 5 要在湖的两岸A、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A，B 两点间的距离请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案 (1) 画出测量图案 (2) 写出测量步骤（测量数据用字母表示）图 5 (3) 计算 A、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示） 分析：可把此题转化为证两个三角形全等第(1) 题，测量图案如图5 所示第 (2) 题，测量步骤：先在陆地上找 到一点 O，在 AO 的延长线上取一点C，并测得 OC=OA ，在 BO 的延长线上取一点D，并测得 OD=OB ，这时测得CD 的长为a，则 AB

7、 的长就是a第 (3) 题易证 AOB COD，所以 AB=CD ，测得 CD 的长即可得AB 的长 解： (1) 如图 6 示 (2) 在陆地上找到可以直接到达A、B 的一点 O，在 AO 的延长线上取一点C，并测得OCOA，在 BO 的延长线 上取一点 D，并测 得 ODOB，这时测出CD 的长为a，则 AB 的长就是a (3) 理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB 又 COD=AOB ， COD AOB CD=AB=a图 6 评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了 学生用数学的意识 练习： 1已知：如图7，D 是 ABC 的边 A

8、B 上一点， AB FC，DF 交 AC 于点 E， DE=FE 求证： AE=CE 2如图 8，在 ABC 中，点 E 在 BC 上，点 D 在 AE 上，已知 ABD= ACD ， BDE= CDE 求证： BD=CD 3 A OQ M C P BN ADC P B H F EG A D CB A D C F B E A D CB A O DC B 3 用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图 9 所示，先在 AOB 的两边上取OP=OQ， 再取 PM=QN ， 连接 PN、QM ，得交点 C，则射线OC 平分 AOB 你能说明道理吗？ 4如图 10， ABC 中， AB=AC

9、，过点 A 作 GEBC，角平分线BD 、CF 相交于点H，它们的延长线分别交GE 于点 E、G试在图10 中找出 3 对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 5已知：如图11，点 C、D 在线段 AB 上， PC=PD请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明 所添条件为 _，你得到的一对全等三角形是_ _ 6如图 12， 1=2，BC=EF，那么需要补充一个直接条件_（写出一个即可） ，才能使 ABC DEF 7 图 13，在 ABD 和 ACD 中， AB=AC ， B=C求证： ABD ACD 8如图 14，直线 AD 与 BC 相交于点O，且 AC=BD ，AD=BC

10、求证： CO=DO 4 A F C GB E A FDC BE 43 O ED C BA 21 FE D C B A 21 9已知 ABC ，AB=AC ， E、F 分别为 AB 和 AC 延长线上的点，且BE=CF，EF 交 BC 于 G求证： EG=GF 10已知：如图16，AB=AE ，BC=ED ，点 F 是 CD 的中点， AFCD求证： B=E 11如图 17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那 么最省事的办法是（） ( A) 带和去 (B) 带去 ( C)带去 (D) 带去 12有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18 中的阴

11、影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作 一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理 13如图 19，将两根钢条AA 、BB 的中点 O 连在一起，使AA 、BB 可以绕着点O 自由转动，就做成了一个 测量工件，则A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定OAB OAB 的理由是（） （A）边角边（B）角边角 （C）边边边（D）角角边 专题二角的平分线 从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线角的平分线有着重要的作用， 它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角 的平分线上，再加上角的平分线所在的直

12、线是角的对称轴因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证 明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路 （1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等 例 6 如图 20， 1 2，AEOB 于 E， BDOA 于 D，交点为C 求证： AC=BC 说明：本题若用全等方法证明点C 到 OA、OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原 因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理， 以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法 例 7 已知：如图21， ABC 中， B

13、D=CD ， 1 2 求证： AD 平分 BAC 5 A F H D CGB E A DCB E A F D C B E C E BA D 说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出 垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等 （2）利用角的平分线构造全等三角形 过角平分线上一点作两边的垂线段 例 8 如图 22，AB CD，E 为 AD 上一点，且BE、CE 分别平分 ABC 、 BCD 求证： AE=ED 分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分 别作 AB 、BC、 C

14、D 的垂线段 以角的平分线为对称轴构造对称图形 例 9 如图 23，在 ABC 中， AD 平分 BAC ， C=2B求证： AB=AC+CD 分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC ，连接 DE，我们就能构造出一对 全等三角形，从而将线段AB 分成 AE 和 BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了 延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例 10 如图 24，在 ABC 中， AD 平分 BAC ，CE AD 于 E 求证： ACE= B+ECD 分析：注意到AD 平分 BAC ，CE AD ，于是可延长CE 交 AB 于点 F，即可构造全等三角

15、形 （3）利用角的平分线构造等腰三角形 如图 25，在 ABC 中， AD 平分 BAC ，过点 D 作 DE AB，DE 交 AC 于点 E易证 AED 是等腰三角形 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 例 11 如图 26，在 ABC 中， AB=AC ，BD 平分 ABC ， DEBD 于 D，交 BC 于点 E 求证： CD= 2 1 BE 分析：要证CD= 2 1 BE，可将 BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这两条线段都相等 6 C F E B A D Q P C B A CB A D C E B A D CB A D 4 3 2 1 C E BA

16、 D 练习： 1如图 27，在 ABC 中， B=90 o，AD 为 BAC 的平分线， DFAC 于 F，DE=DC 求证： BE=CF 2已知：如图28，AD 是 ABC 的中线， DEAB 于 E，DF AC 于 F，且 BE=CF 求证：（1）AD 是 BAC 的 平分线；（2）AB=AC 3在 ABC 中， BAC=60 o， C=40o，AP 平分 BAC 交 BC 于 P， BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q 求证： AB+BP=BQ+AQ 4如图 30，在 ABC 中， AD 平分 BAC ，AB=AC+CD 求证： C=2 B 5如图 31，E 为 ABC 的 A 的平分线

17、AD 上一点， AB AC 求证： AB - AC EB- EC 6如图 32，在四边形ABCD 中， BCBA， AD=CD ， BD 平分 ABC 求证： A+ C=180o 7如图 33 所示，已知AD BC ， 1= 2， 3=4，直线 DC 过点 E 作交 AD 于点 D，交 BC 于点 C 求证： AD+BC=AB 7 F C E B A D C E B A D CB A D A CBD A C F EB M D 8已知，如图34， ABC 中， ABC=90 o，AB=BC ，AE 是 A 的平分线， CD AE 于 D求证： CD= 2 1 AE 9 ABC 中， AB=AC ， A=100o，BD 是 B 的平分线求证：AD+BD=BC 10如图 36， B 和 C 的平分线相交于点F，过点 F 作 DEBC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BD+CE=9 ，则线 段 DE 的长为（） A9 B8 C7 D6 11如图 37， ABC 中， AD 平分 BAC ，AD 交 BC 于点 D，且 D 是 BC 的中点求证：AB=AC 12已知：如图38， ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， E 是 BC 的中点， EFAD ，交 AB 于 M，交 CA 的延长线于 F求证： BM=CF 8