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1、1 立体几何专题 图形的染色与切割 例 1. 如图，有一个长方体， 先后沿不同方向切了三刀. 切完第一刀后得 到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四 个小长方体的表面积之和是632 平方厘米，切完第三刀后得到的八个小长 方体的表面积之和是752平方厘米 . 那么原来长方体六个面中面积最小的是 _平方厘米 . 答疑编号 505787520101 【答案】 48 平方厘米 【解答】 分析：回顾在不规则立体图形的表面积与体积中所总结的要点， 我们应该关注切割前后表面积的变化量。 解：注意到每切一刀增加的面积，就是原来长方体某个面面积的2 倍， 并且切完三刀后表面积就是原来
2、长方体表面积的2 倍，因此原来长方体的 表面积是 7522376 平方厘米 . 那么原来长方体三个面的面积分别是 （472376）248 平方厘米， （632472）280 平方厘米， 2 （752632）260 平方厘米， 所以其中面积最小的是48 平方厘米 . 进一步思考：你知道这个长方体的长、宽、高了吗？ 答疑编号 505787520102 【答案】 6 厘米、8 厘米、 10 厘米 例 2. 一个棱长为 6cm的正方体，把它切开成 49 个小正方体。 小正方体 的大小不必都相同，但小正方体的棱长以厘米作单位必须是整数。问：可 切出几种不同尺寸的正方体？每种正方体的个数各是多少？ 答疑编
3、号 505787520103 【答案】可切出棱长分别为1cm ，2cm和 3cm的正方体，其个数依次为36， 9 和 4。 【解答】 1 3 1，2 38，3327，4364，53 125，6 3216。 如果能切出 1 个棱长为 5cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm 的正方体，共切出小正方体1（6 353）192（个）。 因为 9249，所以不可能切出棱长为5cm的正方体。 如果能切出 1 个棱长为 4cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm 或 2cm的正方体。设切出棱长为1cm的正方体有a个，切出棱长为 2cm的 正方体有b个，则有 3 解得，不符合题意，所以切不出棱长为4cm
4、的正方体。 设切出棱长为 1cm的正方体有a个，棱长为 2cm的正方体有b个，棱 长为 3cm的正方体有c个，则 解得一组正整数解：a36，b9，c4。 所以可切出棱长分别为1cm ，2cm和 3cm的正方体，其个数依次为36， 9 和 4。 例 3. 如图是由 120 块小立方体构成的456的立方体，如果将其表 面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小立方体各有多少 块？ 答疑编号 505787520104 【答案】 8、36、52 【解答】 一个长方体有 8 个角、 12 条棱、6 个面，角上的 8 个小立方体三面涂 有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱
5、上 的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。 4 根据上面的分析得到： 三面涂有红色的小立方体有8 块； 两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的2 块，故有 （42）（ 52）（ 62）436（块）； 一面涂有红色的小立方体， 因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体， 故有 （42）（52）（42）（62）（ 52）（62） 252（块）。 例 4. 将一个棱长为整数（单位：分米）的长方体6 个面都涂上红色， 然后把它全部切成棱长为1 分米的小正方体 . 在这些小正方体中， 6 个面都 没涂红色的有 12 块，仅有 2 面涂红色的有 28 块，仅有 1 面涂红色的有多 少块？原来长方体的体积是多少立方分米？ 答疑编号 505787520105 【答案】 32；80 【解答】 设这个长方体的内部是棱长为a、b、c（abc）分米的长方体，切 开后各面都未涂色的小正方体就是内部的这些小正方体，而仅有两面涂色 的小正方体就是位于原长方体棱上而非角上的那些小正方体，于是 解得ab2，c3。