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1、向量之极化恒等式专题 一、极化恒等式原理： (ab)2 (ab)2 (ab)2 (ab)2 代数原理： ab 向量原理： a b 4 4 ABDC 中有如下向量关系： 2 2 ( ABAC) 2 ( ABAC) 2 AD CB AB AC 4 4 即：平行四边形临边对应的向量的数量积等于和对角线平方与差对角线平方之差的四分 之一 在ABC 中有如下向量关系： 2 2 2 2 2 1 ( ABAC) 2 ( ABAC) 2 AD CB 4 AE CB 2 AB AC = AE CB 4 4 4 4 2 1 2 AB AC AE CB 4 即：在三角形中相邻两边所在向量的数量积等于相应中线的平方与
2、四分之一对边平方之 差。 极化恒等式构建了向量的数量积和几何图形之间的关系，对高考中向量的一类问题可 以起到“秒杀”的作用。 备注：ABDC 中还有一组关系 AD 2 CB22(AB2 AC 2),同学们可以自行推导。 二、极化恒等式秒杀一类向量题赏析： 例 1.已知Rt ABC的斜边AB的长为 4，设P是以C为圆心， 1 为半径的圆上的任意一点， 则 PA PB 的取值范围是 例 2.如图，圆O为Rt ABC的内切圆，已知AC3,BC4,C900，过圆心 O的直线 l交圆于 P, Q 两点，则 BP CQ 的取值范围是 例 3.已知点A, B分别在直线x1, x3上，OAOB4 ,当OAOB
3、取得最小值时， OA OB 的值为 例 4.在Rt ABC中，ACB900,AC 3,AB4,若点A, B分别在直角坐标系的两坐标 轴上运动时， OA OC 的最大值是 例 5.已知 A, B 为椭圆 x2 y21的一条动弦，且经过原点， M 为直线3x 4 y 15 0上4 的一个动点，则 MA MB 的最小值为 例 6.在锐角ABC中，已知 B 3 ，ABAC2，则AB AC的最值范围是 例 7.在平面上， AB1 AB2, OB1 OB21, AP AB1 AB2若 OP 1 2 ，则 OA 的取值 范围是 例 8.已知向量a, b,c满足ab2, c1,acbc0，则ab的取值范围是
4、7 8 7 -1，,7 1 ，2 Ans ：7. 2 三、牛刀小试 1.在ABC中，M是BC的中点，AM3, BC10,则 AB AC 2.设ABC，P0 是边 AB 上一定点，满足 P0 B 1 AB ，且对于边 AB 上任意一点 P ， 4 恒有 PB PC P0B P0C ，则（ ） A. ABC90 0 B. BAC900 C. ABAC D. ACBC 3.如图，已知直线AB与抛物线y24x交于点A,B.M为AB的中点，C为抛物线上 一个动点，若 C0满足 C0 A C0 B min CA CB，则下列一定成立的是（） A. C0MAB B. C0Ml,其中 l 为抛物线过点C0的切
5、 线 C. C0AC0B D. C0M 1 AB 2 4.在正ABC 中，D是BC上的点，AB3, BD1，则ABAD 5.已 知a, b是 平 面 内 2 个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 若 向 量c满 足(a c) (bc) 0 ，则c的最大值是 6.设正方形ABCD的边长为 4，动点P在以AB为直径的圆弧APB上（如图所示）， 则 PC PD 的取值范围是 7.（ 2012 苏模拟）在ABC 中，点 E, F 分别是线段 AB, AC 的中点，点 P 在直线 EF 上，若 ABC 的面积为2，则PCPBBC 2 的最小值是 8.如图，在半径为 1 的扇形AOB中，AOB600
6、，C为弧上的动点，AB与OC交 于点 P ，则 OP BP 的最小值为 9.如图放置的边长为 1 的正方形ABCD顶点分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）滑 动，则 OB OC 的最大值为 10.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意 2 个点之间的线段称为球的弦）， P 为正方体表面上的动点，当弦 MN 最长时， PM PN 的最大值为 11.点P是棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则PAPC的 取值范围是 12.若平面向量a,b满足2ab3，则a b的最小值是 13.已知A, B是单位圆上的两点，O为圆心，且AOB 2 3 ，MN是圆O的一条直 径，点 O 在圆内，且满足 OC OA 1OB(01)，则 CM CN 的取 值范围是 14. 已知 AB 是圆 O 的直径 , AB 长为 2, C 是圆 O 上异于 A, B 的一点 , P 是圆 O 所在 平面上任意一点, 则PA PB PC 的最小值为 15 6. 0,167. 2 1 Ans：1. 16 5. 3 2. D 3. B 4. 2 2 8. 16 1 9 3 1 ,1 ,0 9. 2 10. 2 2 12. 4 4 14. 2 11. 13.