小学奥数基础教程(五年级).pdf

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1、1 小学奥数基础教程（五年级） 第 1 讲数字迷（一） 第 2 讲 数字谜 ( 二) 第 3 讲 定义新运算 ( 一) 第 4 讲 定义新运算 ( 二) 第 5 讲 数的整除性 ( 一) 第 6 讲 数的整除性 ( 二) 第 7 讲 奇偶性（一） 第 8 讲 奇偶性（二） 第 9 讲 奇偶性（三） 第 10 讲 质数与合数 第 11 讲 分解质因数 第 12 讲 最大公约数与最小公倍数（一） 第 13 讲最大公约数与最小公倍数（二） 第 14 讲 余数问题 第 15 讲 孙子问题与逐步约束法 第 16 讲 巧算 24 第 17 讲 位置原则 第 18 讲 最大最小 第 19 讲 图形的分割与拼

2、接 第 20 讲 多边形的面积 第 21 讲 用等量代换求面积 第 22 用割补法求面积 第 23 讲 列方程解应用题 第 24 讲 行程问题（一） 第 25 讲 行程问题（二） 第 26 讲 行程问题（三） 第 27 讲 逻辑问题（一） 第 28 讲 逻辑问题（二） 第 29 讲 抽屉原理 ( 一) 第 30 讲 抽屉原理 ( 二) 第 1 讲 数字谜（一） 数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚 举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。 这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题

3、。 例 1 把+，- ，四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成立（每个运算符号只准使用 一次）：（ 5137）（ 179）=12。 2 分析与解 ：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“” 的位置。 当“”在第一个内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13 的倍数，此时只 有下面一种填法，不合题意。 （513-7 ）（ 17+9）。 当“”在第二或第四个内时，运算结果不可能是整数。 当“”在第三个内时，可得下面的填法：（5+137）（ 17-9 ）=12。 例 2 将 19 这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立：= =5568。 解

4、：将 5568 质因数分解为5568=2 6329。由此容易知道， 将 5568 分解为两个两位数的乘积有两种： 5896 和 6487，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种： 12464， 16 348， 24 232， 29192， 32 174， 48 116。 显然，符合题意的只有下面一种填法：17432=5896=5568。 例 3 在 443 后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573 整除。 分析与解 ：先用 443000 除以 573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由 443000573=773 71 推知， 443000+ （573-71）=443502 一定能

5、被 573 整除，所以应添502。 例 4 已知六位数33 44 是 89 的倍数，求这个六位数。 分析与解 ：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。 先从右边做除法。由被除数的个位是4，推知商的个位是6；由左下式知，十位相减后的差是1，所以 商的十位是 9。这时，虽然8996=8544，但不能认为六位数中间的两个内是85，因为还没有考虑前面 两位数。 再从左边做除法。如右上式所示，a 可能是 6 或 7，所以 b 只可能是 7 或 8。 由左、右两边做除法的商，得到商是3796 或 3896。由 379689=337844， 3896 89=346744 知，商是 3796

6、，所求六位数是337844。 例 5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当 的数字代替字母，使加法竖式成立。 分析与解 ：先看竖式的个位。由Y+N+N=Y 或 Y+ 10 ，推知 N 要么是 0，要么是 5。如果 N=5，那么要向 上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或 T+10，等号两边的奇偶性不同，所以N5，N=0。 此时，由竖式的十位加法T+E+E=T或 T+10， E 不是 0 就是 5，但是 N=0，所以 E=5。 竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。因为 N=0，所以 I 0，推

7、知 I=1 ，O=9 ，说明百位加法向千位进2。 再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且 X0 或 1，所以 R+T+T+1 22，再由 R，T 都不等于 9 知，T 只能是 7 或 8。 若 T=7，则 R=8，X=3，这时只剩下数字2，4，6 没有用过，而S只比 F 大 1，S，F 不可能是 2，4，6 中的数，矛盾。 3 若 T=8，则 R只能取 6 或 7。R=6时， X=3，这时只剩下2，4，7，同上理由，出现矛盾；R=7时， X=4， 剩下数字 2，3，6，可取 F=2，S=3，Y=6。 所求竖式见上页右式。 解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研

8、究，不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上 刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40 ， 10 ， 10 ， 60 ，而 40+10+10 正好是 60，真是巧极了！ 例 6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的 数字，使竖式成立。 分析与解 ：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变 成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。 因为百位加法只能向千位进1，所以 E=9，A=1，B=0。 如果个位加法不向上进位，那么由十位加法1+F=10，得 F=9，与 E=9矛盾，所以个位加法向上进1， 由 1+

9、F+1=10，得到 F=8，这时 C=7。余下的数字有2，3，4，5，6，由个位加法知，G比 D大 2，所以 G ，D 分别可取 4，2 或 5，3 或 6，4。 所求竖式是 解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换， 将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。 练习 1 1. 在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。 2. 在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替 字母，使竖式成立： 3. 在下面的算式中填上括号，使得计算结

10、果最大：123456789。 4. 在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：123456789=2.8 。 5. 将 19 分别填入下式的中，使等式成立：= =3634。 6. 六位数 391是 789 的倍数，求这个六位数。 7. 已知六位数7 888 是 83 的倍数，求这个六位数。 第 2 讲 数字谜（二） 这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。 例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相 分析与解 ：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个 4 （100000+x） 3=10x+1， 300000+3x=10x+1， 7x=29999

11、9， x=42857。 这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。 例 2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。 求竖式。 例 3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在内填入适当的数字，使除法竖式成立。 解： 竖式中除数与8 的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位 数，所以 x=112，被除数为989112=110768。右上式为所求竖式。 代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。 例 4 在内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。 分析与解 ：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看出，除 数

12、与商的后三位数的乘积是1000=2 353的倍数，即除数和商的后三位数一个是 2 3=8的倍数，另一个是 53 =125 的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8 的倍数。又由竖式特点知a=9，从而除数应是96 5 的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24 和 16。因为， c=5，5 与除数的乘积仍是两位数，所 以除数只能是16，进而推知b=6。因为商的后三位数是125 的奇数倍，只能是125，375，625和 875 之一， 经试验只能取375。至此， 已求出除数为16，商为 6.375 ，故被除数为6.375 16=102。右式即为所求竖式。 求解此类小数除法竖式题，应先将其化

13、为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n 个 0，则在除数和 商中，一个含有因子2 n（不含因子 5），另一个含有因子 5 n（不含因子 2），以此为突破口即可求解。 例 5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖 式（ 2），求这个五位数。 分析与解 ：由竖式（ 1）可以看出被除数为10*0 （见竖式（ 1） ），竖式（ 1）的除数为3 或 9。在竖 式（ 2）中，被除数的前两位数10 不能被整数整除，故除数不是2 或 5，而被除数的后两位数*0 能被除数 整除，所以除数是4，6 或 8。 当竖式（1）的除数为 3 时，由竖式 （1） 知， a=1

14、 或 2，所以被除数为100*0 或 101*0，再由竖式 （2） 中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为4，被除数为10020； 当竖式（ 1）的除数为9 时，由能被 9 整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为8。因为竖 式（2）的除数只能是4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080，10260，10440 和 10620 四种可能，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被 除数整除，可得竖式（2）的除数为8，被除数为10440。 所以这个五位数是10020 或 10440。 练习 2 1.

15、 下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的 6 2. 用代数方法求解下列竖式： 3. 在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立： 第 3 讲 定义新运算（一） 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、 符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些 新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思 路及今后的学习都大有益处。 例 1 对于任意数a，b，定义运算“ *”：a*b=ab-a-b 。 求 12*4 的值。 分析与解 ：根据题目

16、定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=124-12-4=48-12-4=32。 根据以上的规定，求106 的值。 3，x=2，求 x 的值。 分析与解 ：按照定义的运算， =2， 7 x=6。 由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免 使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，- ，等，以防止发生混淆，而表示新运 算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1 中，a*b=ab-a-b ，新运算符号使用“* ”，而等 号右边新运算的意义则用四则运算来表示。 分析与解 ：按新运算的定义，符号“”表示求两个数的平均数。 四则运

17、算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。 按通常的规则从左至右进行运算。 分析与解 ：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面 的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1 个数是 1 位数，第 2 个数是 2 位数，第 3 个数是 3 位数按此规定，得 35=3+33+333+3333+33333=37035。 8 从例 5 知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。 例 6 对于任意自然数，定义：n！=12n。 例如 4 ！=1234。那么 1！+2！+3！+100！的个位数字是几？ 分析与解 ：1

18、！=1， 2！=12=2， 3！=123=6， 4！=1234=24， 5！=12345=120， 6！=123456=720， 由此可推知，从5！开始，以后6！， 7！， 8！， 100！的末位数字都是0。 所以，要求 1！ +2！+3！+100！的个位数字， 只要把 1！至 4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。 所求的个位数字是3。 例 7 如果 m ，n 表示两个数，那么规定：m n=4n- （m+n ） 2。 求 3（ 46） 12 的值。 解： 3（ 46） 12 =34 6-（4+6） 2 12 =31912 =4 19- （3+19） 2 12 =6512 =412

19、- （65+12） 2 =9.5 。 练习 3 1. 对于任意的两个数a 和 b，规定 a*b=3 a-b 3。求 8*9 的值。 2. 已知 ab 表示 a 除以 3 的余数再乘以b，求 134 的值。 3. 已知 ab 表示（ a-b ）（ a+b），试计算：（53）（106）。 4. 规定 ab 表示 a 与 b 的积与 a 除以 b 所得的商的和，求82 的值。 5. 假定 m n 表示 m的 3 倍减去 n 的 2 倍，即m n=3m-2n。 （2）已知 x（41）=7，求 x 的值。 9 7. 对于任意的两个数P， Q，规定 P Q= （PQ） 4。例如： 28=（28） 4。已知

20、 x（ 85） =10，求 x 的值。 8. 定义： a b=ab-3b ，ab=4a-b/a 。计算：（ 43）（ 2b）。 9. 已知： 23=234， 45=45678， 求（ 44）（ 33）的值。 第 4 讲 定义新运算（二） 例 1 已知 ab=（a+b）-（a-b ），求 92 的值。 分析与解 ：这是一道很简单的题，把a=9，b=2 代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的 法则，我们可以先把新运算“”化简，再求结果。 ab=（a+b）- （a-b） =a+b-a+b=2b。 所以， 92=22=4。 由例 1 可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则

21、混合运算的性质、法则的前 提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。 例 2 定义运算： ab=3a+5ab+kb， 其中 a，b 为任意两个数， k 为常数。比如：27=32+527+7k。 （1）已知 52=73。问： 85 与 58 的值相等吗？ （2）当 k 取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有 ab=ba， 即新运算“”符合交换律？ 分析与解 ：（ 1）首先应当确定新运算中的常数k。因为 52=35+552+k2 =65+2k ， 所以由已知 5 2=73，得 65+2k=73，求得 k=（73-65 ） 2=4。定义的新运算是：ab=3a+5ab+4b

22、。 85=38+585+45=244， 58=35+558+48=247。 因为 244247，所以 8558。 （2）要使 ab=ba，由新运算的定义，有 3a+5ab+kb=3b+5ab+ka， 3a+kb-3b-ka=0 ， 3(a-b)-k(a-b)=0， (3-k)(a-b)=0。 对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0 ，即 k=3。 当新运算是 ab=3a+5ab+3b 时，具有交换律，即ab=ba。 例 3 对两个自然数a 和 b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为ab，即 ab=a ，b- （a， b）。 比如， 10 和 14 的最小公倍数是70，最大公约

23、数是2，那么 1014=70-2=68。 （1）求 1221 的值； （2）已知 6x=27，求 x 的值。 分析与解 ：（ 1）1221=12 ，21- （12，21）=84-3=81； （2）因为定义的新运算“”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理 的方法。 10 因为 6x=6 ，x- （6，x）=27，而 6 与 x 的最大公约数（ 6，x）只能是 1，2，3，6。所以 6 与 x 的 最小公倍数 6 ，x 只能是 28， 29 ， 30 ， 33 。这四个数中只有 30 是 6 的倍数，所以 6 与 x 的最小公倍 数和最大公约数分别是30 和 3。因为 a

24、b=a ，b （ a，b）， 所以 6x=303，由此求得x=15。 例 4 a 表示顺时针旋转90， b 表示顺时针旋转180， c 表示逆时针旋转90， d 表示不转。定义运 算“”表示“接着做”。求：ab；bc；ca。 分析与解 ： a b 表示先顺时针转90，再顺时针转180，等于顺时针转270，也等于逆时针转 90，所以 ab=c。 bc 表示先顺时针转180，再逆时针转90，等于顺时针转90，所以 bc=a。 ca 表示先逆时针转90，再顺时针转90，等于没转动，所以ca=d。 对于 a，b，c，d 四种运动，可以做一个关于“”的运算表（见下表）。比如cb，由 c 所在的行 和 b

25、 所在的列， 交叉处 a 就是 cb 的结果。 因为运算符合交换律，所以由c 所在的列和 b 所在的行也可 得到相同的结果。 例 5 对任意的数a，b，定义： f （a）=2a+1， g （b）=bb。 （1）求 f （5）-g（3）的值； （2）求 f （g（2）+g（f （2）的值； （3）已知 f （x+1）=21，求 x 的值。 解： （1） f （5）-g（3）=（25+1）- （33）=2； （2）f （g（2） +g（f （2） =f （22）+g（22+1） =f （4）+g（5）=（24+1）+（55）=34； （3）f （x+1）=2（ x+1）+1=2x+3， 由 f （

26、x+1）=21，知 2x+3=21，解得 x=9。 练习 4 2. 定义两种运算“”和“”如下： ab 表示 a，b 两数中较小的数的3 倍， ab 表示 a，b 两数中较大的数的2.5 倍。 比如： 45=43=12，45=52.5=12.5 。 计算： (0.60.5)+(0.30.8)(1.2 0.7)-(0.640.2) 。 11 4. 设 m ，n 是任意的自然数，A是常数，定义运算m n=（Am-n） 4， 并且 23=0.75 。试确定常数A，并计算：（ 57）（ 22）（ 32）。 5. 用 a，b，c 表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动： a 表示顺时针

27、旋转240， b 表示顺时针旋转120， c 表示不旋转。 运算“”表示“接着做”。试以a，b，c 为运算对象做运算表。 6. 对任意两个不同的自然数a 和 b， 较大的数除以较小的数， 余数记为 ab。 比如 73=1， 529=4， 420=0。 （1）计算： 19982000，（ 519）19，5（195）； （2）已知 11x=4，x 小于 20，求 x 的值。 7. 对于任意的自然数a，b，定义： f （a）=aa-1 ，g（b）=b2+1。 （1）求 f （g（6）-g （f （3）的值； （2）已知 f （g（x） =8，求 x 的值。 第 5 讲 数的整除性（一） 三、四年级已

28、经学习了能被2，3，5 和 4，8，9，6 以及 11 整除的数的特征，也学习了一些整除的性 质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。 数的整除性质主要有： （1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 （2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的 乘积整除。 （4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 （5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整

29、除。 灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。 例 1 在里填上适当的数字，使得七位数7358能分别被9，25 和 8 整除。 分析与解 ：分别由能被 9，25 和 8 整除的数的特征， 很难推断出这个七位数。因为 9，25，8 两两互质， 由整除的性质（ 3）知，七位数能被 9 258=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被 9 整 除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。 例 2 由 2000 个 1 组成的数 11111 能否被 41 和 271 这两个质数整除？ 分析与解 ：因为 41271=11111，所以由每5 个 1 组成的数 11111

30、 能被 41 和 271 整除。按“ 11111” 把 2000 个 1 每五位分成一节， 2000 5=400，就有 400 节， 因为 2000 个 1 组成的数 1111 能被 11111 整除，而 11111 能被 41 和 271 整除，所以根据整除的性质 （1）可知，由2000 个 1 组成的数 11111 能被 41 和 271 整除。 例 3 现有四个数： 76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12 整 除？ 分析与解 ：根据有关整除的性质，先把12 分成两数之积： 12=121=62=34。 要从已知的四个数中找出两个，使其积能

31、被12 整除，有以下三种情况： 12 （1）找出一个数能被12 整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12 整除； （2）找出一个数能被6 整除，另一个数能被2 整除，那么它们的积就能被12 整除； （3）找出一个数能被4 整除，另一个数能被3 整除，那么它们的积能被12 整除。 容易判断，这四个数都不能被12 整除，所以第（ 1）种情况不存在。 对于第（ 2）种情况，四个数中能被6 整除的只有76554，而 76550，76552 是偶数，所以可以选76554 和 76550，76554 和 76552。 对于第（3） 种情况，四个数中只有76552 能被 4 整除，76551 和

32、 76554 都能被 3 整除，所以可以选76552 和 76551，76552 和 76554。 综合以上分析， 去掉相同的， 可知两个数的乘积能被12 整除的有以下三组数：76550 和 76554， 76552 和 76554， 76551 和 76552 。 例 4 在所有五位数中，各位数字之和等于43 且能够被 11 整除的数有哪些？ 分析与解 ：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求： 各数位上的数字之和等于43； 能被 11 整除。 因为能被 11 整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43 的五位数较少，所以应选择为突破 口。有两种情况： （1）五位数由一个7 和四个 9

33、 组成； （2）五位数由两个8 和三个 9 组成。 上面两种情况中的五位数能不能被11 整除？ 9，8，7 如何摆放呢？根据被11 整除的数的特征，如果 奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被 11 整除。满足这些要求的五位数是： 97999，99979， 98989 。 例 5 能不能将从1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3 整除？ 分析与解 ：10 个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。 假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5 组，每组的两数之和都能被3 整 除，推知 110 的和也应能被3 整

34、除。实际上， 110 的和等于 55，不能被 3 整除。这个矛盾说明假设不 成立，所以题目的要求不能实现。 练习 5 1. 已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数， 1392 和 7018 是不是 29 的倍数？ 2. 如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？ 3.173 是个四位数。数学老师说：“我在这个中先后填入3 个数字，所得到的 3 个四位数，依次 可以被 9，11，6 整除。”问：数学老师先后填入的3 个数字之和是多少？ 班有多少名学生？ 6. 能不能将从1 到 9 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3 整除？ 第 6 讲 数

35、的整除性（二） 我们先看一个特殊的数1001。因为 1001=71113，所以凡是1001 的整数倍的数都能被7，11 和 13 整除。 13 能被 7，11 和 13 整除的数的特征： 如果数 A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数） 能被 7 或 11 或 13 整除，那么数A能被 7 或 11 或 13 整除。否则，数A 就不能被 7 或 11 或 13 整除。 例 2 判断 306371 能否被 7 整除？能否被13 整除？ 解： 因为 371-306=65 ，65 是 13 的倍数，不是7 的倍数，所以306371 能被 13 整除，不能被7 整除。

36、例 3 已知 108971 能被 13 整除，求中的数。 解： 108-971=1008-971+ 0=37+0。 上式的个位数是7，若是 13 的倍数，则必是13 的 9 倍，由 139-37=80，推知中的数是8。 2 位数进行改写。根据十进制数的意义，有 因为 100010001 各数位上数字之和是3，能够被 3 整除，所以这个12 位数能被 3 整除。 根据能被 7（或 13）整除的数的特征，100010001 与（ 100010-1=） 100009 要么都能被7（或 13）整 除，要么都不能被7（或 13）整除。 同理， 100009 与（ 100-9= ）91 要么都能被 7（或

37、 13）整除，要么都不能被7（或 13）整除。 因为 91=713，所以 100010001 能被 7 和 13 整除，推知这个12 位数能被 7 和 13 整除。 分析与解 ：根据能被7 整除的数的特征，555555 与 999999 都能被 7 因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7 整除，所以等号右边第二个数也能被7 整除， 推知 5599 能被 7 整除。根据能被7 整除的数的特征，99-55= 44 也应能被 7 整除。由 44 能被 7 整 除，易知内应是6。 下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。 判断一个数能否被27 或 37整除的方法： 对于任何一个自然数，从个位开

38、始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果 所得的和能被27（或 37）整除，那么这个数一定能被27（或 37）整除；否则，这个数就不能被27（或 37）整除。 例 6 判断下列各数能否被27 或 37 整除： 14 （1）2673135；（ 2）8990615496。 解： （1） 2673135=2 ，673，135，2+673+135=810。 因为 810 能被 27 整除，不能被37 整除，所以2673135 能被 27 整除，不能被37 整除。 （2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。 2，109 大于三位数

39、，可以再对2，109 的各节求和， 2+109=111。 因为 111 能被 37 整除， 不能被 27 整除， 所以 2109 能被 37整除， 不能被 27整除，进一步推知 8990615496 能被 37 整除，不能被27 整除。 由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。 判断一个数能否被个位是9 的数整除的方法： 为了叙述方便，将个位是9 的数记为 k9 （= 10k+9 ），其中 k 为自然数。 对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连续进行这一变换。如 果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9 整除；否则，这个数就不能被

40、k9 整除。 例 7 （1）判断 18937 能否被 29 整除； （2）判断 296416 与 37289 能否被 59 整除。 解： （1）上述变换可以表示为： 由此可知， 296416 能被 59 整除， 37289 不能被 59 整除 。一般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。当被判断的数变换到小于除数时，即 可停止变换，得出不能整除的结论。 练习 6 1. 下列各数哪些能被7 整除？哪些能被13 整除？ 88205， 167128 ， 250894 ， 396500 ， 675696， 796842 ， 805532 ， 75778885 。 2. 六位数 17562

41、是 13 的倍数。中的数字是几？ 7. 九位数 87654321 能被 21 整除，求中间中的数。 8. 在下列各数中，哪些能被27 整除？哪些能被37 整除？ 1861026， 1884924 ， 2175683 ， 2560437 ， 11159126，131313555，266117778。 9. 在下列各数中，哪些能被19 整除？哪些能被79 整除？ 55119， 55537 ， 62899 ， 71258 ， 186637，872231，5381717。 15 第 7 讲 奇偶性（一） 整数按照能不能被2 整除，可以分为两类： （1）能被 2 整除的自然数叫 偶数 ，例如 0， 2

42、， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， 16 ， （2）不能被 2 整除的自然数叫 奇数 ，例如 1，3，5，7，9，11，13，15，17， 整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数 能被 2 整除，所以偶数可以表示为2n 的形式，其中n 为整数；因为奇数不能被2 整除，所以奇数可以表示 为 2n+1 的形式，其中n 为整数。 每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质： （1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。 反过来，两个数的和（或

43、差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定 是一奇一偶。 （2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差） 是偶数。 （3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。 （4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么 积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇 数，那么所有的因数都是奇数。 （5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯 定不能被偶数整除。 （6）偶数的平方能被4

44、 整除；奇数的平方除以4 的余数是1。 因为（ 2n） 2=4n2=4n2，所以（ 2n）2 能被 4 整除； 因为（ 2n+1） 2=4n2+4n+1=4（ n2+n）+1，所以（ 2n+1）2 除以 4 余 1。 （7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。 （8）如果一个整数有奇数个约数（包括1 和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整 数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。 整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例 如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加 以解决。

45、例 1 下式的和是奇数还是偶数？ 1+2+3+4+1997+1998。 分析与解 ：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判 断出和的奇偶性， 那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质 （2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关， 与加数中的偶数无关。11998 中共有 999 个奇数， 999 是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求 的和是奇数。 例 2 能否在下式的中填上“+”或“ - ”，使得等式成立？ 123456789=66。 分析与解 ：等号左端共有9 个数参加加、减运算，其中有5 个奇数， 4 个偶数。 5 个奇数的和或差仍是 奇数， 4

46、个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数 =奇数”，所以题目的要求做不到。 例 3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5 个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那 么，这两个五位数的和能不能等于99999？ 分析与解 ：假设这两个五位数的和等于99999，则有下式： 16 其中组成两个加数的5 个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于 9+9=18 ，竖式中和的个位 数是 9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于9。同理，十位、百位、千位、万位数字的和 也都等于 9。所以组成两个加数的10 个数码之和等于 9+9+9+9+9=45 ，是奇数。 另一方面， 因为组成两个加

47、数的5 个数码完全相同，所以组成两个加数的10 个数码之和， 等于组成第 一个加数的 5 个数码之和的2 倍，是偶数。 奇数偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999，所以假设不成立，即这两个数的和 不能等于 99999。 例 4 在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶 数？请说明理由。 分析与解 ：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手1 次，对于乙也是握手1 次，两人 握手次数的和是2。所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。 把聚会的人分成两类：A类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数是奇数的人。

48、 A类中每人握手的次数都是偶数，所以A类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握手的总次数也 是偶数，偶数 - 偶数 =偶数，所以B类人握手的总次数也是偶数。 握奇数次手的那部分人即B 类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，那么因为“奇数个奇数之和 是奇数”，所以得到B 类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾，所以B类人即握过奇数次手的 人数是偶数。 例 5 五（ 2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50 道试题。评分标准是：答对一道给 3 分，不答的题，每道给1 分，答错一道扣1 分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶 数？ 分析与解 ：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。因为 每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50 道题， 50 个奇数相加减，结果是偶数，所 以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。 练习 7 1. 能否从四个3、三个 5、两个 7 中选出 5 个数，使这5 个数的和等于22？ 2. 任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数， 一位同学将原三位数与新的三位数相加，和