新北师大版八年级数学上册第一章勾股定理教案.pdf

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1、1 新北师大版八年级数学上册第一章勾股定理教案 教学目标： 1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究 的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的 意识及能力。 重点难点 ： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文 p1 ）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结 合课本 p5 谈一谈， 讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高

2、 ( 三千多年前周期的 数学家 ) 在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图 12）并回答： 1、 观察图 1-2 ，正方形A中有 _个小方格，即A的面积为 _个单位。 正方形 B中有 _个小方格，即A的面积为 _个单位。 正方形 C中有 _个小方格，即A的面积为 _个单位。 2、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、 图 12 中， A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C ，接着提出图11 中的 A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中 P3图 14）提问： 1、图 13 中， A,B,C 之间

3、有什么关系？ 2、图 14 中， A,B,C 之间有什么关系? 3、 从图 1 1，12，13，1| 4 中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、 图 11、12、1 3、14 中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b, 斜边为 c 那么 222 cba 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，

4、 斜边为弦， 这就是勾股定理 的由来。 3、 分别以 5 厘米和 12 厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生 测量后回答斜边长为13）请大家想一想 （2）中的规律， 对这个三角形仍然成立吗？ （回答是肯定的：成立） 四、想一想 这里的 29 英寸（ 74 厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他 2 指什么呢？ 五、巩固练习 1、 错例辨析： ABC的两边为3 和 4，求第三边 解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c 应满足 222 43c=25 即： c=5 辨析： （1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题 ABC并未

5、说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。 （2）若告诉 ABC是直角三角形，第三边C 也不一定是满足 222 cba，题目中并 为交待 C 是斜边 综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。 2、 练习 P7 1.1 1 六、作业 课本 P7 1.1 2、3、4 1.1 探索勾股定理（二） 教学目标： 1 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和 合作交流的习惯。 2 掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点： 重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点：用面积证勾股定理 教学过程 七、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 我们已经通过数格子

6、的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例， 是否具有普遍 的意义， 还需加以论证， 下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角 形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边 c 为边长的正方形，并与同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中p7 图 1 7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？ （同学们回答有这几种可能：（1）)( 22 ba（2） 2 4 2 1 cab） 在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。 22 ba= 2 4 2 1 cab请 同 学 们 对 上 面 的 式 子

7、进 行 化 简 ， 得 到 ： 222 22cabbaba即 22 ba= 2 c 这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。 八、讲例 1. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000 多米处，过20 3 秒，飞机距离这个男孩头顶5000 米，飞机每时飞行多少千米？ 分 析 ： 根 据 题 意 ： 可 以 先 画 出 符 合 题 意 的 图 形 。 如 右 图 ， 图 中 ABC 的 4000,90ACc米， AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在 20 秒的时间里的飞行路程，即图中的CB的长，由于直角 ABC的斜边

8、 AB=5000米， AC=4000 米，这样的CB就可以通过勾股定理得出。这里一定要注意单位的换算。 解：由勾股定理得千米）(945 22222 ACABBC 即 BC=3千米飞机 20 秒飞行 3 千米，那么它1 小时飞行的距离为： 小时）千米 /(5403 20 3600 答：飞机每个小时飞行540 千米。 九、议一议 展示投影2（书中的图1 9） 观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足 222 cba 同学在议论交流形成共识之后，老师总结。 勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。 十、作业 1、 1、课文 P11 1.2 1 、2 2、 选用

9、作业。 1.2 一定是直角三角形吗 教学目标： 知识与技能 1. 掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用； 2. 进一步发展数感， 增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力， 建立数学模型 3. 会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论 情感态度与价值观 敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一 步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识 教学重点 运用身边熟悉的事物，从多种角度发展数感，会通过边长判断一个三角形是否是直角三 角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论 教学难点

10、会辨析哪些问题应用哪个结论 课前准备 标有单位长度的细绳、三角板、量角器、题篇 教学过程 ： 4 复习引入： 请学生复述勾股定理；使用勾股定理的前提条件是什么？ 已知 ABC的两边 AB=5 ，AC=12 ，则 BC=13对吗？ 创设问题情景： 由课前准备好的一组学生以小品的形式演示教材第9 页古埃及造直角的 方法 这样做得到的是一个直角三角形吗？ 提出课题：能得到直角三角形吗 讲授新课： 如何来判断？（用直角三角板检验） 这个三角形的三边分别是多少？（一份视为1）它们之间存在着怎样的关系？ 就是说，如果三角形的三边为a，b，c，请猜想在什么条件下，以这三边组成的三角 形是直角三角形？（当满足

11、较小两边的平方和等于较大边的平方时） 继续尝试：下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c： 5， 12，13； 6, 8, 10 ； 8，15，17. （1）这三组数都满足a 2 +b2=c2 吗？ （2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a， b，c 满足 a 2 +b2=c2 ，那么这个三角 形是直角三角形 满足 a 2 +b2=c2 的三个正整数，称为勾股数 例 1 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中A和 DBC 都应为直角 工 人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ A B C

12、 D A B C D 4 5 3 12 13 随堂练习： 下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由 9，12，15； 15，36，39； 12，35，36； 12，18，22 已知 ?ABC中 BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_三角形 , _是最 大角 . 四边形 ABCD 中已知 AB=3 ，BC=4 ，CD=12 ，DA=13 ，且 ABC=90 0，求这个四边形的面积 A B C D 4 3 12 13 习题 1.3 课堂小结： 直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a， b，c 满足 a 2 +b2=c2 ，那么这个三角 形是直角三角形 满足 a 2 +b

13、2=c2 的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数 5 1.3. 勾股定理的应用 教学目标 教学知识点： 能运用勾股定理及直角三角形的判别条件( 即勾股定理的逆定理) 解决简单的实 际问题 . 能力训练要求：1. 学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念. 2. 在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、 解决问题的能力及渗透数学建模的 思想 . 情感与价值观要求：1. 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2. 在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学. 教学重点难点： 重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们

14、解决生活实际问题. 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 教学过程 1、创设问题情境，引入新课： 前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？ 例如：欲登12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5 米，至少需多长的梯 子？ 根据题意， ( 如图 )AC 是建筑物，则AC=12米， BC=5米， AB是梯子的长度 . 所以在RtABC 中， AB 2=AC2+BC2=122+52=132； AB=13米. 所以至少需13 米长的梯子 . 2、讲授新课：、蚂蚁怎么走最近 A B A B 出示问题：有一个圆柱，它的高等于12 厘米，底面半

15、径等于3 厘米在圆行柱的底面A点 有一只蚂蚁， 它想吃到上底面上与A点相对的 B点处的食物， 需要爬行的的最短路程是多少？ ( 的值取 3) （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到 B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉 6 得哪条路线最短呢？（小组讨论） （2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到 B 点的最短路线是什么?你 画对了吗 ? （3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ （学生分组讨论，公布结果） 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形. 好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA 将圆柱的侧 面展开 ( 如下图 ). 我们不难发现，刚才几位同学

16、的走法： (1)A A B； (2)AB B； (3)A DB； (4)A B. 哪条路线是最短呢？你画对了吗？ 第(4) 条路线最短 . 因为“两点之间的连线中线段最短”. 、做一做：教材14 页。李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要 检测DAB=90 ， CBA=90 . 连结 BD或 AC ，也就是要检测DAB和 CBA是否为直角三 角形 . 很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题. 、随堂练习 出示投影片 1. 甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨800 甲先出发，他以6 千米 / 时的速度向 东行走 .1 时后乙出发， 他以 5 千米 /

17、时的速度向北行进. 上午 1000，甲、乙两人相距多远？ 2. 如图，有一个高1.5 米，半径是1 米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插 入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5 米，问这根铁棒应有多长？ 1. 分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型. 解： ( 如图 ) 根据题意，可知A是甲、乙的出发点，1000 时甲到达B点，则 AB=26=12( 千 米) ；乙到达C点，则 AC=15=5( 千米 ). 在 RtABC中， BC 2=AC2 +AB 2=52+122=169=132，所以 BC=13千米 . 即甲、乙两人相距 13 千米 . 7 2. 分析： 从题

18、意可知， 没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不 是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时. 解：设伸入油桶中的长度为x 米，则应求最长时和最短时的值. (1)x 2=1.52+22，x2=6.25 ，x=2.5 所以最长是2.5+0.5=3(米). (2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2( 米 ). 答：这根铁棒的长应在23 米之间 ( 包含 2 米、 3 米). 3. 试一试 (课本 P15) 在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水 池，水面是一个边长为10 尺的正方形 . 在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1 尺. 如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面. 请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各为多少？ 我们可以将这个实际问题转化成数学模型. 解：如图，设水深为x 尺，则芦苇长为(x+1) 尺，由勾股定理可求得 (x+1) 2=x2+52， x2+2x+1=x2+25 解得 x=12 则水池的深度为12 尺，芦苇长13 尺. 、课时小结 这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题. 我 们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化 成数学模型 . 、课后作业 课本 P25、习题 1.5 2