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1、客服电话： 400 650 0888 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（ 每题 10 分, 共 80 分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案25 2, 3 316 12 62 74 94 54 二、解答下列各题（ 每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程 ） 9. 解答 .例如 (4 4 4) 4 3 , 4 (4 4) 4 4 , (4 4 4) 4 5 , (4 4) 4 4 6 . 10.答案： 25 解答 . 设比小明小的学生为x人, 比小华小的学生为y人. 因为比小明大的学生为2x人, 所 以全班学生共 N 3
2、x 1人; 又因为比小华大的学生为3y人, 所以全班学生共N4 y1 人. 这样 , N 1既是 3 的倍数 , 又是 4 的倍数 , 因此N1是3412的倍数 . 这个班学生 人数大于 20 而小于 30, 所以N 1只可能是 24. 因此这个班共有学生N24125人. 11.答案 ：1.375 解答 .小虎划船的全部时间为120 分钟 , 他每划行30 分钟 , 休息10 分钟 , 周期为40 分钟 , “ 华杯赛 ” 官网四大类网络课程专题讲座赛前串讲 真题详解月月练讲解 第 1 页共 5页 客服电话： 400 650 0888 所以一共可分为 3 个 30 分钟划行时间段, 有 3
3、个 10 分钟休息划船时 , 顺水的船速与逆水的 船速之比为 4.5:1.5=3:1. 因为小虎要把船划到离租船处尽可能远, 他在划船的过程中只能换 一次划船的方向, 而且是在尽可能远处. 分两种情况讨论. 1) 开始向下游划船, 设最远离租船处x 千米 . 因为回到租船处是逆水, 所以小虎只有 110 分 钟可用 . 由于划船时顺流速度是逆流速度的 3 倍, 所以用在向下游划船的时间不能超过半小 时. 另外两次休息时间只能用在返程, 在休息期间内船向下游漂流了 1 3 1.5 , 所以 1 x 4.5 x 1.51.5 1.5 . 3 整理上式得 x 3x 1.56.75,4x 5.25,x
4、 1.3125(千米 ). 2) 开始向上游划 , 设最远离租船处y 千米 . 小虎可用 120 分钟 , 有两次休息时间用在向上游. 所以 1 1 y 1.51.5 y 1.5 4.5 1.5 . 3 6 整理上式得 4 y 5 1.5 6.75 , 4 y 5.5 , y 1.375(千米 ). 6 综合 1) 和 2) 的讨论 , 小虎的船最多离租船处 1.375 千米 . 12.答案： 不能 解答 . 设放的最小自然数为a, 则放的最大自然数为a23. 于是这 24 个数的和为 A 12(2a 23). 假设可能 , 设每个正方形边上的数之和为S . 因为共有5个正方形 , 这些和的和
5、为5S . 因为每个数在这些和中出现两次, 所以有 5S 2A. “ 华杯赛 ” 官网四大类网络课程专题讲座赛前串讲 真题详解月月练讲解 第 2 页共 5页 客服电话： 400 650 0888 记最小的 16 个数的和为B , 则B8(2a15) . 下面分两种情形讨论: (1)若 B S , 则 S 2 A 24 (2a 23) 8(2a15) , 9.8a110.4 16a120 , 5 5 不存在自然数 a 使得不等式成立. (2)情形 B S 也是不可能的 , 因为此时不可能选择最大正方形边上的16 个数使得 这 16 个数的和等于S . 三、解答下列各题（ 每题 15 分, 共
6、30 分, 要求写出详细过程 ） 13.答案： 5 解答 . 用右图代替题目中的21小长方形 . 因为题目所给的小长方形上下不对称, 所以同一 个小长方形在拼成的上下对称的正方形中, 不会既在上半部分也在下半部分. 这样 , 就可以 只考虑上半部分的不同情形. 1) 相邻的空白格在第一行最左边或最右边. 因为要排除旋转相同的, 所以只考虑相邻 空白格在最右边的情况, 有下图所示的 2 种图形 , 2) 相邻的空白格在第一行中间. 去掉旋转重合的, 有下图所示的 3 种图形 , 所有不同的图形为 5 种. 14.答案： 6036 “ 华杯赛 ” 官网四大类网络课程专题讲座赛前串讲 真题详解月月练讲解 第 3 页共 5页