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1、2018 届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心 2球心和截面圆心的连线垂直于截面 3球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系： 222 Rdr 4几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切 二、多面体的外接球（球包体） 模型 1：球包直柱（直锥） ：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球 包 直 柱 球径公式： 2 2 2 h Rr， （r为底面外接圆半
2、径） 球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱 球 包 直 锥 三 棱 锥 四 棱 锥 r 速 算 模型 2： “顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥 球径计算方程： 2 22 hRrR 22 22 20 2 hr hhRrR h ， （h为棱锥的高，r为底面外接圆半径） 特别地， （1）边长为a正四面体的外接球半径：R_ （2）底面边长为a，高为h的正三棱锥的外接球半径：R_ （3）底面边长为a，高为h的正四棱锥的外接球半径：R_ 例：1 （2017 年全国卷III 第 8 题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同
3、一个球的球面上，则该圆 柱的体积为 AB 3 4 C 2 D 4 【解析】模式辨识： “球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1h，1R，底面半径为r，则由 2 2 2 h Rr 得： 2 222 13 1 24 rr， 23 4 Vr h 2 （2010 年全国新课标卷第10 题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球 的表面积为 A 2 aB 2 7 3 aC 2 11 3 aD 2 5 a 【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型，ha， 3 3 ra， 2 222 227 24312 haaa Rr， 所以该球的表面积 22 277 44 123 aa
4、 SR答案 B 3 （2014 年全国大纲卷第8 题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面 积为 A 81 4 B16C9D 27 4 【解析】模式辨识： “球包体”中的“顶点连心锥”，4h， 22 2 2 r，则 22 1629 284 hr R h ， 所以 2 8181 44 164 SR，答案： A 4 （2013 年全国卷I 第 6 题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将 一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积 为 A 3500 3 cmB 3866 3 c
5、mC 31372 3 cmD 32048 3 cm 【解析】设水面与球的接触点（切点）为P，球心为O，则PO垂直于正方体的上表面，依题意P到正方体上表面的 距离为2h，球与正方体上表面相交圆的半径4r，有： 2 22 2RrR， 2 4 5 4 r R，所以球的体积 34500 33 VR 三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上 两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点 确定圆心 例 2：1已知边长为2 3的棱形ABCD中，60，现沿对角线BD折起，使得二面角ABDC为120，此 时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（
6、） A20B24C28D32 2在矩形ABCD中，4AB，3BC，沿AC将矩形折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球 的体积为 _ 3在边长为1的菱形ABCD中，60BAD，沿对角线将菱形折成直二面角ABDC，则三棱锥ABCD的 外接球的表面积为_ 四、正多面体的内切球（体中球） 锥体的内切球： R_ 圆锥的内切球： R 边长为a的正方体： 2 a R 等边圆柱（母线a） ： R 2 a 边长a的正八面体： R 五、正多面体的“ 切边球 ” （与所有的棱都相切的球） 正四面体边长为a，球半径R正方体边长为a，球半径R正四面体边长为a，球半径R 例 3：1一个球的外切正方体的全面积为
7、6，则球的体积为_ 2某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_ 3 （2016 年全国卷III 第 10 题）在封闭的直三棱柱 111 ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB， 8BC， 1 3AA，则V的最大值是 A4B 9 2 C6D 32 3 【解析】考查直三棱柱中截面的内切圆为球的大圆的情景，有 1 3 68106 82 22 AA RR，故当球半径 为 3 2 时球的体积最大为 34427 3382 VR答案 B 练习： 1 （2015年全国卷II 第 9 题）已知A，B是球O的球面上两点，90AOB，C为该球面上的动点，若三棱锥 OABC体积的最
8、大值为36 ，则球O的表面积为 A36B64C144D256 2 （2016 年福建漳州市5 月质检）三棱锥SABC中，SB平面ABC，5SB，ABC是边长为3的正三角 形，则三棱锥SABC的外接球的表面积为（） A3B5C9D12 3 （2014 年湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工 成球，则能得到的最大球的半径等于（） A1B2C3D4 4（ 2013 年辽宁卷理10 ） 已知三棱柱 111 ABCABC的6个顶点都在球O的球面上，若3AB，4AC，ABAC， 1 12AA，则球O的半径为（） A 3 17 2 B2 10C 13 2 D3 10 5 （
9、2012 年全国新课标卷第11 题）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角 形，SC为球O的直径，且2SC，则此棱锥的体积为 A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 6在正三棱锥PABC中，3PAPBPC，侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体 积为（） AB 3 C4D 4 3 7已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（） A 32 3 B4C2D 4 3 8 （2017年福建省质检） 空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E、 F 分别是AB、 CD 的中点，且 ,EFAB EFCD，若
10、8,4ABCDEF，则该球的半径等于 A 65 2 16 B 652 8 C 65 2 D65 9若三棱锥PABC的最长的棱2PA，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是_ 10 （ 2008年高考浙江卷理14 ）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC， 3DAABBC，则球O的体积为 _ 11 （ 2016 年东北三省三校联考）三棱柱 111 ABCA BC各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，120ACB， 2 3CACB， 1 4AA，则这个球的表面积为_ 12 在三棱柱 111 ABCAB C中，侧棱 1 AA垂直底面，90ACB，30BAC，1BC，且三
11、棱柱 111 ABCABC 的体积为3，则三棱柱 111 ABCABC的外接球表面积为_ 13 在正三棱锥SABC中，M，N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN，若侧棱2 3SA，则正三棱锥 SABC外接球的表面积是 _ 14 在三棱锥ABCD中，2ABCD，5ADBC，7ACBD，则三棱锥ABCD外接球的表面 积为 _ 15 （2017年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18， 则这个球的体积为_ 16 （ 2017年江苏卷）如图，在圆柱 12 OO内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切， 记圆柱 12 OO的体积为 1 V，球O的体积为 2 V，则 1 2 V V 的值是 _