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1、数列求和的七种基本方法 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本 文将通过题目(这些题目基本涵盖了2016 年高考卷中的数列求和题)简单介绍数列求和的七种 基本方法 1 运用公式法 很多数列的前n项和 n S的求法，就是套等差、等比数列前n 项和 n S的公式，因此以下常 用公式应当熟记： 2 21 23 1 123(1) 2 135( 21) 122221 11111 1 22222 nn nn nn n nn 还要记住一些正整数的幂和公式： 223333 2222 )1( 4 1 321 )12)(1( 6 1 321 nnn nnnn 题 1(2016
2、 年高考全国卷I 文科第 17 题)已知 n a是公差为3 的等差数列，数列 n b满 足 1211 1 = 3 nnnn bba bbn b1， （1）求 n a的通项公式； （2）求 n b的前 n 项和 解(1)在 11nnnn a bbnb中选1n，得 1221 a bbb，即 11 11 1,2 33 aa 又因为 n a是公差为3 的等差数列，所以23(1)31 n ann （2）由（ 1）得 11 31 nnn nbbn b，即 1 1 3 nn bb，得 n b是以 1 为首项， 1 3 为公 比的等比数列，得 1 1 3 n n b . 所以 n b的前n项和 1 1 1 3
3、1 3 1 223 1 3 n n n S 2 倒序相加法 事实上，等差数列的前n项和 n S的公式推导方法就是倒序相加法 题 2 求正整数m与()n mn之间的分母为3 的所有既约分数的和S 解显然，这些既约分数为： 3 1 , 3 2 , 3 4 , 3 4 , 3 2 , 3 1 nnnmmm 有) 3 1 () 3 2 () 3 4 () 3 4 () 3 2 () 3 1 (nnnmmmS 也有) 3 1 () 3 2 () 3 4 () 3 4 () 3 2 () 3 1 (mmmnnnS 所以 2222 ),(2)(2)(2mnSmnmnnmS 题 3 求数列123n的前 n 项
4、和 n S. 解法 1 因为 211 123(1)() 22 nn nnn，所以 2222 1 (123)(123) 2 n Snn 1111 (1)( 21)(1)(1)(2) 2626 n nnn nnnn 解法 2 因为 233 121 1 123(1)CCC(2 ) 2 nnn nn nn 所以 33333333 34354212 1 C(CC)(CC)(CC)C(1)(2)(2 ) 6 nnnn Sn nnn 进而可得 1 (1)(2 )( 6 n SnnnnN*). 解法 3 (倒序相加法 )可得 1(12 )(123)(123) n Sn 1( 21)(321)(1)(2 )1
5、n Snnn 1 212 (1)(1)(2 )(2 )(2 )(1111) n n n Snnnnnn 个 个 ()3个 () 把它们相加，得 31(2 )2(2)3(2 )(2 ) n Snnnnn 1 (123)(2)(1)(2 ) 2 nnn nn 1 (1)(2 ) 6 n Sn nn 3 裂项相消法 题 4 (2016 年高考天津卷理科第18 题)已知 n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d. 对任意的 * nN ， n b 是 n a 和 1n a的等比中项 . （1）设 22* 1 , nnn cbbnN ，求证：数列 n c是等差数列； （2）设 1 ad ， 2 2 1
6、1 n k nk k Tb， * nN，求证：2 1 11 2 n k k Td . 解(1)可得 2 1nnn ba a，所以 22 1nnn cbb 121nnnn aaa a 1 2 n d a 2 121 22 nnnn ccdaad 所以数列 n c是等差数列 . (2)可得 1 (1)(1) n aanddndn d ，还可得式在这里也成立，所以 222222 1234212nnn Tbbbbbb 242 2 n daaa 22 2(2462)21dndnn 所以 2222 111 111111111 1 2121212 nnn kkk k Tdkkdkkdnd 4 分组求和法 题 5 求 1 111111 1111 22424 2 n n S 解设 1 111 1 24 2 n n a，得1 1 2 2 n n a 所以本题即求数列 1 1 2 2 n 的前n项和：