导数压轴题处理套路.pdf

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1、QQ 群545423319 导数压轴题处理套路 专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理） . - 2 - 专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则） - 4 - 专题三导数与零点问题（如何取点） - 7 - 专题四隐零点问题整体代换 - 13 - 专题五极值点偏移 . - 18 - 专题六导数处理数列求和不等式 . - 25 - 说明：题目全来自网络和群友分享，在此一并谢过 - 1 - QQ 群545423319 专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理） 例 1. 已知 fxa1 lnxax21 （1）讨论f x的单调性 （ 2 ）设 a2 ，求证： x1, x20,f x1f x2

2、4 x1x2 例 2.已知函数fx 1 x 2 ax( a1) ln x ， a1。 2 （2）证明：若 a5，则对任意 x 1，x 2(0,)，x 1 x 2，有 f ( x1)f ( x2) 1。x1 x2 例 3.设函数f ( x )ln x m x , mR. （1）当me（e为自然对数的底数）时，求f( x)的最小值； x （3）若对任意ba0, f(b)f( a) 1恒成立，求m的取值范围 . b a - 2 - QQ 群545423319 例 4. 已知函数f x 1 ln x x （1）讨论函数yf x的单调性 （2）对任意的x , x e 2 , f (x1) f (x2)

3、k ，有，求 k 的取值范围 12 x1 x2 x 1 x2 例 5.已知函数fx 1 2 x 2 a ln x( a2)x ，是否存在 aR ，对任意x 1 ，x 2(0,) ， x 1 x 2， f ( x 1 )f (x 2 ) a恒成立？若存在，求之；若不存在，说明理由。 x1 x2 例 6.已知函数f ( x )axx ln x的图象在点 xe （ e 为自然对数的底数）处的切线的斜率 为 3 （1）求实数a的值； （2）若f ( x )kx2对任意 x0成立 ,求实数k的取值范围； （3）当nm 1(m, nN*)时,证明：n m m n m n - 3 - QQ 群5454233

4、19 专题二 分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则） 例 1. 已知函数f ( x)= a ln x b ，曲线 y =f ( x)在点(1，f (1)处的切线方程为 x 2 y 3=0. x 1 x （1）求a、b的值； （2）如果当x0，且x 1时，f( x) ln x k ，求 k 的取值范围 . x 1 x 例 2.设函数 f ( x )=e x 1xax2. （1）若a 0，求f ( x)的单调区间； （2）当x0时，f ( x)0，求a的取值范围 . 例 3.已知函数f ( x )x (e x 1)ax2. （1）若f ( x)在x1时有极值，求函数f (x)的解析式； （2

5、）当x1时，f ( x)0，求a的取值范围 . （3）当x0时，f ( x)0，求a的取值范围 . - 4 - QQ 群 545423319 例 4. 设函数f ( x )1e x . （1）证明：当x1时，f ( x) x ； x1 （2）设当x0时，f ( x) x ，求 a 的取值范围 . ax 1 sin x 例 5.设函数f ( x)= 2cos x （1）求f ( x)的单调区间； （2）如果对任何x0，都有f( x )ax，求a的取值范围 例 6.已知函数f ( x )= x e x 1 x 1 （1）证明：当 0 时间，f x0 （2）若当 x0 时，f x0，求实数的取值范围

6、。 - 5 - QQ 群545423319 例 7.已知函数f ( x )= lnx1ax 2 x ，其中 aR （1）讨论函数f ( x)的极值点个数，并说明理由 （2）若x0,f x0成立，求a取值范围。 1 1 2 ax. a 0例 8. 已知函数f ( x)= lnax x 2 2 1 （1）求证 0 a 2 时， f ( x) 在，+上是增函数 2 12 （2）若对任意的a1, 2，总存在x0 , 使不等式f ( x0)m1 a 成立，求实 2 数 m 的取值范围 例 9.已知函数f ( x )=( x2)e x a ( x1)2有两个零点 .求a的取值范围； - 6 - QQ 群5

7、45423319 例 10.已知函数f ( x )=( x1) ln xa( x1). （1）当a4时，求曲线yf( x)在1, f (1)处的切线方程； （2）若当x1,时，f (x)0，求a的取值范围 . 专题三 导数与零点问题（如何取点） 例 1.已知函数f ( x )a e 2 x ( a2)e x x. （1）讨论f ( x)单调性； （2）若f ( x)有两个零点，求 a 的取值范围； 例 2.已知函数fxx2e x ax1 2 有两个零点 .求 a 的取值范围； - 7 - QQ 群545423319 例 3.设函数fx=e 2 x a ln x.讨论fx的导函数fx的零点的个数

8、； 例 4.已知函数fxx1 e x ax2有两个零点 . (2) 求 a 的取值范围 例 5.已知函数f ( x )e x m 2 x 2 m x1 .当 m0 时，试讨论y=f(x) 的零点的个数； - 8 - QQ 群545423319 例 6.设函数f ( x ) l x n x 1 l n xl n ( x1)，是否存在实数a，使得关于x的不等式 f ( x) a 的解集为（0，+）？若不存在，试说明理由。 例 7.已知函数f ( x )a e 2 x -( 2a x +1)e x x 2 2 x.当0a2时，证明f ( x)必有两个零 点 例 8.已知函数f ( x )ax l n

9、 x a R （1）求f ( x)的单调区间 （2）求函数f ( x)的零点个数，并证明你的结论 - 9 - QQ 群545423319 例 9. 设常数0, a0，函数f ( x ) x2 a l n x,对于任意给定的正数, a证明存在 x 实数 x0，当 x x0时， f ( x)0 例 10.已知函数fxxa ln x. （1）当a1时，求曲线yf x在点1,f 1处的切线方程； （2）求f x的单调区间； （3）若函数f x没有零点，求a的取值范围 . 例 11.已知函数fxxa e x ，其中e是自然对数的底数，aR . （1）求函数f x的单调区间； （2）当a1时，试确定函数g

10、 xf xax2的零点个数，并说明理由 . - 10 - QQ 群545423319 例 12.已知函数fxa ln x 1 x a0 . （1）求函数f x的单调区间； （2）若x f x0b, c其中 bc，求a的取值范围，并说明b, c0,1 . 分析x f x0b, c的形式类似不等式的解集，问题即转化为研究方程的根，即转化为 研究函数的零点范围. 例 13.已知函数f ( x )x 2 ( a2) xa ln x2a2 ，其中 a2 （1）求函数f ( x)的单调区间； （2）若函数f ( x)在(0, 2上有且只有一个零点，求实数a的取值范围。 已知关于x的函数f ( x ) ax

11、a ( a0)，ex （1）当a1时，求函数f ( x)的极值； （2）若函数F ( x)f ( x)1没有零点，求实数a的取值范围。 - 11 - QQ 群545423319 例 15.已知函数 （1）若曲线yf( x)在点( a, f ( a)处与直线yb相切，求a与b值； （2）若曲线yf ( x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围。 例 16.已知函数f ( x )ax ln x ，( a R) （1）求函数f ( x)的单调区间； （2）试求函数yf ( x)的零点个数，并证明。 - 12 - QQ 群545423319 专题四 隐零点问题整体代换 例 1.设函数fx=e x

12、ax2 (1)求f x的单调区间 (2)若a 1，k为整数，且当x0时，xkfxx10，求k的最大值 例 2.已知函数fxaxx ln x的图像在点xe（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3 (1)求实数a的值 (2)若kZ，且k f x x 1 对任意x1恒成立，求k的最大值 例3. 若对于任意x0，xe 2x kxlnx10 恒成立，求k的取值范围。 - 13 - QQ 群545423319 例 4.已知函数fx=e x lnxm. （1）设x0是f x的极值点，求m ,并讨论f x的单调性； （2）当m2时，证明f x0 . 例 5.已知函数fx 2 3 x 3 x 2 ax1在1, 0

13、上有两个极值点 x 1、 x 2，且 x 1 x 2. （1）求实数a的取值范围； （2）证明：f x2 12 11 . 例 6.已知aR，函数fx=e x ax2；gx是fx的导函数 . （1）当a 1 2 时，求函数f x的单调区间； （2）当a0时，求证：存在唯一的x0 1 , 0，使得g x00； 2a （3）若存在实数a ,b，使得 f xb恒成立，求a b的最小值 . - 14 - QQ 群545423319 例 7.已知函数f ( x)满足满足f ( x )f (1) e x1 f (0)x 1 x2. 2 （2）若f ( x ) 1 2 x 2 axb，求( a1)b的最大值

14、. 例 8.已知函数fx2xaln xx 2 2ax2a 2 a，其中a0. （1）设g x是f x的导函数，讨论g x的单调性； （2）证明：存在 a0,1 ，使得 f x0在区间1, 内恒成立，且 f x0在区间 1, 内有唯一解 . 例 9.已知函数fx=2 ln xx 2 2axa2，其中a0，设gx是fx的导函数 . （1）讨论g x的单调性； （2）证明：存在a0,1，使得f x0恒成立，且f x0在区间1,内有唯一解 . - 15 - QQ 群545423319 例 10.已知函数fx= a 2 x 2 ln xx1， gx=ae x a x ax2a1 ，其中aR. （1）若a

15、2，求f x的极值点； （2）试讨论f x的单调性； （3）若a0，x0,，恒有g xfx，求a的最小值 . 例 11.已知函数fx= ln x 1 2 ax 2 x ，aR. （1）求函数f x的单调区间； （2）是否存在实数a，使得函数f x的极值大于0？若存在，则求出a的取值范围；若不存 在，请说明理由. 例 12.设函数fxe 2 x a ln x. （1）讨论f x的导函数fx的零点的个数； （2）证明：当a0时f x2aaln a 2 . - 16 - QQ 群545423319 例 13. 设函数f(x)e x ax2 . （1）求函数f (x)的单调区间； （2）若a1，k为整

16、数，且当x0时，(xk) f (x)x10，求k的最大值。 例14. 设函数f(x)e x ln(xm) . （1）若x0是f (x)的极值点，求m0，并讨论f (x)的单调性； （2）当m2时，求证： f (x)0 . 例 15.已知函数f ( x )=e x +m x3,gxlnx12 （1）若曲线yf x在点0，f 0处的切线斜率为1，求实数m的值； （2）当m 1时，证明：f xg (x )x3 . - 17 - QQ 群545423319 例 16.已知函数f (x)ln x 1 ax 2 x1. 2 （2）当a0时，证明：对任意的x0，不等式xe x f(x)恒成立。 专题五 极值

17、点偏移 例 1.已知函数fx2 ln xx 2 x ，若正实数 x1 ， x2 满足 fx1+fx2=4 ， 求证 : x1 x22 例 2.已知函数fxln xx 2 x，正实数x1，x2满足fx1fx2x1x20，求证： x x 5 1 122 - 18 - QQ 群545423319 例 3.已知函数fxxe x （1）求函数f x的单调区间和极值； （2）已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x 1对称，证明：当x 1时， f x g x； （3）如果x1 x2，且f x1f x2，证明：x1x22 例 4.已知函数fxx2e x ax1 2 有两个零点 （1）求a的取值范围； （

18、2）设x1， x2是f x的两个零点，证明：x1x22 例 5.已知函数fxx ln x的图像与直线ym交于不同的两点Ax1 , y1 ， Bx2, y2 ，求 证： x1 x2 e 1 2 - 19 - QQ 群545423319 例 6.已知函数fxln x和gxax，若存在两个实数x1 ，x2，且x1x2，满足 f x1 g x1， f x2 g x2， （1）求证：x1 x22e； （2）求证：x1x2 e 2 例 7.已知函数fxe x ax有两个不同的零点x1，x2，其极值点为x0 （1）求a的取值范围； （2）求证：x1x22x0； （3）求证：x1x22； （4）求证：x1x2

19、 1 - 20 - QQ 群545423319 例 8.已知fxln( xm)mx （1）求f x的单调区间 （2）设m 1,x1， x2为函数 f x的两个零点，求证x1x20 例 9.已知函数fxxln x，若两相异正实数x1 ，x2满足fx1fx2，求证： f x1 f x20 例 10. 已知函数 f x x ln x x 1 （1）求f x的单调区间； （2）若h xx 2 xfx，且方程h xm有两个不相等的实根x1，x2，求证： x12 x22 2 e - 21 - QQ 群545423319 例 11.已知ba0，且b ln aa ln bab （1）求证：abab1； （2）

20、求证：ab2； （3）求证： 1 a b 1 2 例 12. 已知函数 f x 2 ln x ax ，若 x1， x2x1 x2是 f x的两个零点，证明： x 2x f 12 0 3 例 13.设函数fxe x axa，其图像与x轴交于点Ax1, 0， Bx2 , 0，证明： f x1 x20 - 22 - QQ 群545423319 例 14. 已知函数 f x ln x x ，设 xx 0 ，求证： x1 f x1 f x2 1 x 2 x 2 x x 12 1 2 1 2 例 15.设fxxaex aR，xR已知函数yfx有两个零点x1，x2，且 x1 x2 （1）求a的取值范围； x

21、 （2）证明： 2 随着 a的减小而增大； （3）证明：x1x2随着a的减小而增大 - 23 - QQ 群 545423319 例 16. 对于正数 a ，b，且ab，求证： a b a b ab ， ln a ln b 2 2 x x 例 17. 设函数 f x ln x ax 2 ax的两个零点是x1，x2 ，求证： f 1 2 0 2 例 18.已知函数fxln x 1 x ，gxaxb （1）若函数h xf xg x在0，+上单调递增，求实数a 的范围； （2）若直线g xaxb是函数f xln x 1 x 图像的切线a+b 的最小值； （3）当 b= 0 时，若f x和g x的图像有

22、两个交点Ax1,y1, Bx2, y2 ，求证x1x2e 2 （ e 2.8, ln 20.7, 2 1.4 ） - 24 - QQ 群545423319 专题六 导数处理数列求和不等式 例 1.已知函数fxx1a ln x。 （1）若f x0 ，求 a 的值； 1 1 1 m ，求 m 的最小值。 （2）设 m 为整数，且对于任意正整数n1 1 1 2 2 2 2 n 例 2.已知函数f (x)ln(x1)ax在x 1 2 处的切线斜率为1. （1）求f (x)的最大值； （2）证明：当nN * 时，1 1 2 1 3 1 n ln(n1). （3）设g(x)b(e x x)，若g(x)f

23、(x)恒成立，求实数b的取值范围 . - 25 - QQ 群545423319 例 3.已知函数fxln x 2 . x 1 （2）求证：ln( n1) 1 1 1 1 ( nN ) . 3 5 7 2 n 1 例 4. 已知函数f(x)asin(1x)lnx . （1）若f (x)在 (0,1)上单调递增，求实数a的取值范围； （2）求证：sin 1 sin 1 sin 1 ln 9 . (1 1)2 (2 1)2 (8 1)2 5 例 5.已知函数f (x)a(x 1 x )2 ln x . （1）若对于任意x 1，有f (x) 0 恒成立，求实数a的取值范围； （2）求证： 11 11

24、2 ln 2n3 . 223242n2n 14 - 26 - QQ 群545423319 例 6.已知函数fxlnxax 2 x 在 x0 处取得极值 （1）求实数a的值 （2）证明：对于任意的正整数n，不等式2 3 4 n 1 ln( n 1) 都成立 4 9 n 2 ax 2 ln 例 7. 已知函数f x x 1 （1）当a 1 时，求函数 f x的单调区间 4 x 0 所表示的平面区域内，求实 （2）当x0,时，函数y f ( x)图像上的点都在 y x 0 数 a 的取值范围 （3）求证： 12 1 4 1 8 2 n 1 e（其中nN, e是 n 1 n 2 3 2 12 1 3

25、5 5 8 - 27 - QQ 群545423319 例 8.已知函数f (x) x(1a ln x) (x1) x 1 （1）当a0时，讨论g(x)(x 1)2fx 的单调性； （2）当a1时，若f (x)n恒成立，求满足条件的正整数n的值； 5 （3）求证：1 121231n n1e2n 2 . 例 9. 设函数f x x 2 a ln x 1，其中aR。: （1）当a0时，讨论函数f ( x)在其定义域上的单调性； n 1 1 （2）证明：对任意的正整数n，不等式 ln n 1都成立。 2 3 k 1 k k 例 10. 已知函数f ( x )ln xx1, x0, g ( x )x 3 ax （1）求f ( x)的最大值； 1 n 2 n （2）证明不等式： n n n n e 。 e 1 n - 28 - QQ 群545423319 例 11.函数f (x)sin x. （1）若f (x)1axcosx在0,上恒成立，求实数a的取值范围； （2）证明：f ( ) f ( 2 ) . f ( (n 1) ) 3 2 (n 1) . 2n 1 2n1 2n1 4(2n1) - 29 -