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1、Go高考家长群 235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话： 18215571552（罗老师）、微信同号 导数大题的常用找点技巧和常见模型 【引子】 （2017 年全国新课标 1 理21）已知fxae 2 x a2 e x x . （1）讨论fx的单调性； （2）若fx有两个零点，求a 的取值范围 . 解析： （1）f x2 ae 2 x a2e x 12e x 1ae x 1 若a 0，则 f x 0恒成立，所以 f x 在 R 上递减； 若a 0，令 f x 0，得e x 1 a , xln 1 a . 1 1 当 x ln 时， f x 0 ，所以 fx在, ln 上递减；
2、a a 1 1 当 x ln 时， f x 0 ，所以 fx在 ln , 上递增 . a a 1 1 综上，当 a 0 时， f x 在 R上递减；当 a 0 时， f x 在, ln 上递减，在 ln , 上递增 . a a （2）fx有两个零点，必须满足fx min 0，即a0 ，且 f x min 1 1 1 f ln 1 ln 0 . a a a 1 0 1 x ln x ， x g x 1x 1 x ln x单调递减 . 构造函数 g x 0 . 易得 1 ，所以 g x 又因为 g 10，所以1 1 1 1 ln 0 g g 1 1 0 a 1 . a a a a 下面只要证明当
3、0 a1时，fx有两个零点即可，为此我们先证明当x 0 时，x ln x. 事实上，构造函数 h x x ln x ，易得h x1 1 x ， h x min h 11，所以 h x 0，即 x ln x . 当 0a1 时， f1 a a 2 1 aeae22 0 ， e 2ee2 3 a 3 2 3 3 3 3 f ln a 1 a 2 1 ln 1 1 ln 1 0 ， a a a a a a 1 3 a 1 1 1 3 a 其中 1 ln ， ln ln ，所以 f x 在1, ln 和 ln , ln 上各有一个零点 . a a a a a a 故 a 的取值范围是0,1. 注意：
4、取点过程用到了常用放缩技巧。 全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面 Go高考家长群 235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话： 18215571552（罗老师）、微信同号 2 x x 2 x x x x x 3 a 3 一方面： ae a 2 e x 0 ae a 2 e e 0 ae a 30 e x ln1 ； a a 另一方面： x 0时， ae 2 x a 2 e x x 0 a 2 e x x 0 x 1（目测的） 常用的放缩公式（考试时需给出证明过程） 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）， ln 1 x x ， x ln xx1 ln xx ln x e . 1
5、1 x 1， ln x 1 1 0 x 1，（放缩成双撇函数） ln x x x 2 x 2x 1 1 x x ln xx x 1 ， ln xx0 x 1 ， （放缩成二次函数） ln xx 2 x， ln 1 xx 1 2 x 2 1 x 0， ln 1 xx 1 2 x 2 x 0 1 2 2x （放缩成类反比例函数） ln x 1 ， ln x x 1 0 x 1，lnx1 x 0 x x 1 x 2 x 2 2x ln 1 x， ln x x 1 x 1，ln 1x x 01x x 1 2 x 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数） e x x 1， e x x ， e x ex ，
6、（放缩成类反比例函数） e x 1 x0，e x 1 x0， 1xx 1 （放缩成二次函数） e x x 2 ， e x 1 x 2 x 2 x 0， 第三组：指对放缩 e xln x x 1 x 12 第四组：三角函数放缩 sin xx tan xx 0，sin xx 1 x 2 ，1 1 x 2 cosx1 1 sin 2 x. 222 y ln x ，yex 11，yx 2 x， y 1 1 x ， y x ln x . 全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面 Go高考家长群 235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话： 18215571552（罗老师）、微信同号 常用的找点
7、技巧 方法一：放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数. 【示例】证明：当 0 a 1 e 时，fxln xax有两个零点 . 分析：极值点为 x 1 1 ln 1 1 0 （大于 e ）， f ，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点. a a a 因为 ln xx1 ，要使得 ln xax0 ，只需要 x1ax0 ，即 x 1 1 a ，考虑到0a 1 e ，所以 1 1 a 所以左侧可取： f1a 0 ， 1 ln 1 a 1 1 a 0 f ； a a 1 a 1 a 1 a 1 1 e 1, ， e 1 另一方面：因为 ln xx x 1或 ln x x 1 x x
8、1 ，要使得ln xax0 ，只需要x ax 0 ，即 x a 1 2，所以右侧可取： 1 1 1 11 f ln a a 0 . 2 a 2 a a a a 方法二：目测法。成功关键：数感与大胆. 【示例】证明：当 a e 时，f xe x ax有两个零点 . 分析：极值点为 x ln a （大于 1 ）， f nl a a1 nl a 0 ，所以需要在左右两侧各找一个函数值大于零的点. 左侧，自变量越小，成功的可能性越高，则可找： 1 1 1 0 ， f 0 1 0 ， f1 1 a 0. ea f e a 右侧，自变量越大，成功的可能性越高，则可找： f 2 ln ae 2 ln a 2
9、a ln aaa 2 ln a 0 ， fae a a 2 0 . 方法三：分而治之。成功关键：对乘积式的每个因式进行适当放缩. 【示例】证明：当 a 0时， f x x 2 e x a x 1 2 有两个零点 . 分析：极值点为 x 1， f1e0 ， f2a0 ，难点是在1 的左侧找一个函数值大于零的点，显然自变量越小 越容易成功，要使得 x 2 e x a x 1 2 0，即 a x 1 2 2 x e x ，只需要满足 a e x x 1 2 2 x ， 即取 b 满足 b 1 5 且 bln a 即可使得fb0 . 2 全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面 Go高考家长群 2356
10、49790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话： 18215571552（罗老师）、微信同号 很明显，上述拆分已经达到目的，但是结果还可以从视觉上优化： 优化 ：弱化 x 1 2 2 x 的解，也就是取 b 1 且 b ln a 也可使得 f b 0 . 优化 ：为了使得解集更好看，配凑一下系数，使得该二次不等式常数项为 0，即 a 2 e x ， 2 x 1 2 2 x 所以，取 b 满足 b 0 且 b ln a 2 即可使得 f b 0 .（这就解释了2016 年全国卷 标准答案中找点的思路） 方法四：分析与构造。成功关键：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之相匹配的代数式作为区间端点
11、. 【示例】证明：当 0 a 2 e 时，fxax ln x 有两个零点 . 分析：极值点为 x 1 1 a 2 0 ，显然 f 1a 0 ，难点是在 1 （接近 0）， f1 的左侧找一个函数值大于 2 e e e e 零的点，显然点应满足如下几个条件： 始终为正数； 既能开根，也能取对数； 当 a 越小时，它也随之变小，并且能无限趋于零. 从条件 来看，我们应该取指数的形式，且最好为偶次幂，从条件来看，我们找的指数当趋于0 时应趋于负 无穷，所以可取反比例函数的形式或双撇函数的形式，经过尝试与调整，找可找到如下的点： 4 4 4 a a a a a a 0. f e a 2 4 e a a
12、 2 方法五：局部构造. 成功关键：舍去一些影响计算但是不影响符号判断的项，对剩下的部分进行解方程的操作. 【示例】证明：当1 a 0 时，fxa ln x 1 1 x 有两个零点 . 分析：极值点为 x 1 （大于 1），且 f 1 a ln 1 1 a a 1 1 1 a 0 ， a a a a 又 f 1 0 ，所以只需在 1 的右侧找一个函数值小于 0 的点 . 即找到一个 x 1 使得 a ln x 11 0 ， a a x 1 考虑到0 是恒成立的，所以取a ln x10即可，因此我们得到下面这个点： x 1 1 1 1 . 且 f e a ea 0 ，其中 e a a 1 1 所
13、以有两个零点， x 0 ， x , ea 1 2 a 全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面 Go高考家长群 235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话： 18215571552（罗老师）、微信同号 几个经典函数模型 经典模型一： y ln x x 或 y ln x x . 【例 1】讨论函数fxln xax的零点个数 . （1）a 1 e 时，无零点 . f x 1 a ，fx max 1 ln 1 1 0 . f x a a （2）a 1 e 时， 1 个零点 . f x 1 x 1 e ，fx max feln e10. （3）当0a 1 e 时， 2 个零点 . f 1 a
14、 0 1 ln 1 a 1 1 a 0 ，其中1 1 e .（放缩） （目测）， f a a 1a 1 a1 a 1 a 1 1 f e 1 ea 0. 1 1 1 1 1 1 2 1 x 1） f ln a a 0，其中 e e .（用到了ln x x 2 a 2 a a a 2 x a a （4）当a0时， 1 个零点 . f x 1 x a 0，单调递增 .f 1 a 0， a 1 f e a 1 a 1 1 a 1 1 a ae a a 1 a 0 . e 2 e 2 a a a f e a a ae a a 1 e a0. 【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1：fxln
15、 xax）： 1. 讨论 f x ln x m x 的零点个数（令x t ， m 2 a ）； 2. 讨论 f x x m ln x 的零点个数（令 m 1 a）； 讨论 f x ln xmx的零点个数（考虑gx f x ）； 3. x x 讨论 f x ln x mx 的零点个数（考虑 g x f x 3 3 x ，令 t x m a ）；4. 2 ， 2 x 5. 讨论 f x ln x mx 2 的零点个数（令tx 2 ，2ma）； 6. 讨论 f x ax e x的零点个数（令e x t）. 全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面 Go高考家长群 235649790成都高二、高三寒假班
16、、春季班联系电话： 18215571552（罗老师）、微信同号 经典模型二： y ex 或 y ex xx 【例 2】讨论函数 fxexax的零点个数 . （1）a0时， 1 个零点 . f x e x a 0， f x e x ax 单调递增 . 1 1 1 且 f 01 a 0，f e a 1 0 ，所以在, 0 上有一个零点； a a （2）a0时，无零点 . f x e x 0恒成立； （3）0ae时，无零点 . f x min f ln a a 1ln a 0； （4） ae 时， 2 个零点 . 1 1 e a 0， f a a 2 ln a a e2 0 . 2 ln a f e
17、 10 a a 【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2：fxe x ax）： 1. 讨论 f x e 2 x mx 的零点个数（令2xt， m 2 a）； 2. 讨论 f x e x m 的零点个数（去分母后与1 等价）； xe x 3. 讨论 f x e x m x 的零点个数（移项平方后与1 等价）； 4. 讨论 f x e x mx 2 的零点个数（移项开方后换元与1 等价）； 5. 讨论 f x e x1 mx 的零点个数（乘以系数e，令ema）； 6. 讨论 f x ln x x mx 的零点个数（令 x e t ，转化成2） 7. 讨论 f x e x1 mx m 的
18、零点个数（令x1t， e m 2a）； 全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面 Go高考家长群 235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话： 18215571552（罗老师）、微信同号 经典模型三： y x ln x 或yxe x 【例】讨论函数 f x ln x a 的零点个数 . x f x x x 2 a 0， f x ln x a x 单调递增 . f1a 0 ，f1aln1a 1 a a 1 1 1 a1 a a 0. （2）a0时， 1 个零点 （x0 1） . （3）a 1 e时，无零点 . f x x x 2 a ，fx min falna10 （4）a 1 e时，
19、 1 个零点 . 1 . fx min 1 ln 1 1 0 x0 f e e e （5） 1 e a0时， 2 个零点 . f a 2 ln a 2 1 1 1 1 f 1 a 0， a a 0 ， f 1 ea 0 ， a a a e 【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3：fxln x a x ）： 1. 讨论 f x 1 x a ln x 的零点个数； 2. 讨论fxmln x的零点个数（考虑gx f x ，令 t ）； x x x 3. 讨论 f x x e a x的零点个数（令 e x t ）； 4. 讨论 f x e x a x 的零点个数； 全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面 Go高考家长群 235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话： 18215571552（罗老师）、微信同号 练习题 1. 已知函数 f x x 2 e x a x 1 2 有两个零点，求a的取值范围 . 2. 设函数 f x e 2 x a ln x ，讨论 f x 的导函数 f x 的零点的个数 . 3. 已知函数 f x x 1 e x ax 2 有两个零点，求a的取值范围 . 4. 已知函数fxe x m 2 x 2 mx1. 当m0时，试讨论yfx的零点的个数. 全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面