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1、考点 36 椭圆 【考纲要求】 （1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.； （3）了解椭圆的简单应用； （4）理解数形结合的思想 【命题规律】 高考对椭圆的考查多以解答题的形式考查，也有少数年份在客观题中进行考查以选择题、填空题的形式 考查椭圆的定义、焦点坐标、离心率、标准方程等问题；以解答题的形式考查椭圆的性质、直线与椭圆的 关系、与其它知识交汇（如平面向量），涉及到最值问题、定值（定点）问题、几何量的取值范围问题，以 及存在型探索性问题 预计 2018 年高考对椭圆的命题有以下特点：（1） 以选择题或填空
2、题考查椭圆的定义和性质，难度中等； （2） 以解答题形式重点考查椭圆的综合问题，多与直线结合进行命题，难度较大 【典型高考试题变式】 （一）椭圆的标准方程 【例 1】【2016 天津卷】设椭圆 22 2 1(3) 3 xy a a 的右焦点为F,右顶点为A.已知 113 | e OFOAFA ， 其中O为原点，e为椭圆的离心率 （1）求椭圆的方程； （2）略 来源 学科网 ZXXK 【变式 1】 【变换条件求椭圆方程】在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 6 3 ，直线 1 : 3 lyx与椭圆E相交于,A B两点，2 10AB，则椭圆的标准方
3、程为_ 【变式2】 【变为利用点差法求椭圆标准方程】已知椭圆:E 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为3,0F， 过点F的直线交E于AB、两点若AB的中点坐标为 1, 1 ，则E的方程为（） A 22 1 4536 xy B 22 1 3627 xy C 22 1 2718 xy D 22 1 189 xy （二）椭圆的定义的应用 【例 2】 【2014全国大纲卷】 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (0)ab的左、右焦点为 1 F、 2 F，离心率为 3 3 ， 过 2 F的直线l交C于AB、两点，若 1 AF B的周长为4 3，则C的方程为（） A 22 1 32
4、xy B 2 2 1 3 x yC 22 1 128 xy D 22 1 124 xy 【变式 1】 【由利用定义根据周期求方程变为利用椭圆定义求周长】过椭圆 2 2 1 4 x y的左焦点 1 F作直线l 交椭圆于,A B两点， 2 F是椭圆右焦点，则 2 ABF的周长为（） A 8B4 2C4D2 2 【变式 2】 【变周长问题为面积问题】若椭圆 22 1 3616 xy 上一点P与椭圆的两个焦点 1 F、 2 F的连线互相垂 直，则 12 PF F的面积为（） A36 B16 C20 D24 （三）椭圆的几何性质 【例 3】 【2017全国新课标3 卷】 已知椭圆C： 22 22 10
5、xy ab ab 的左、右顶点分别为A1，A2，且 以线段 12 A A为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为（） A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 【变式 1】 【变题圆的位置与大小】设 12 ,F F分别是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点 ,与直线yb相 切的 2 F交椭圆于点E,且点E恰好是直线 1 EF与 2 F的切点 ,则椭圆的离心率为( ) A 3 2 B 2 3 C 5 3 D 5 4 【变式 2】 【变直线与圆相切为三角形外接圆】椭圆 2 2 2 1(01) y xb b 的左焦点为F，上顶点为A，右 顶点为B，若FAB的外
6、接圆圆心,P m n在直线yx的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （） A 2 ,1 2 B 1 ,1 2 C 2 0, 2 D 1 0, 2 （四）直线与椭圆的位置关系 【例4 】 【 2017全国新课标卷】已知椭圆C： 22 22 =10 xy ab ab（），四点 1 1,1P， 2 0,1P， 3 3 1, 2 P， 4 3 1, 2 P中恰有三点在椭圆 C上 （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为 1，证明：l 过定点 【变式 1】 【第（ 2）问变定点问题为定值问题】已知中心在坐标原点O，焦点在 x轴上，离心率为
7、3 2 的 椭圆 C 过点 2 2, 2 （1）求椭圆C 的方程； （2）设不过坐标原点O 的直线与椭圆C 交于 P ,Q 两点，若OPOQ,证明：点O 到直线PQ的距离为定 值 【变式 2】 【第（1）问变为求离心率；第（2）问变为求最值问题】已知椭圆:C 22 22 1 xy ab （0,0ab） 的两个顶点分别为,0Aa，,0B a，点P为椭圆上异于,A B的点， 设直线PA的斜率为 1 k，直线PB 的斜率为 2 k， 12 1 2 k k. （1）求椭圆C的离心率； （2）若1b，设直线l与x轴交于点1,0D，与椭圆交于,M N两点，求OMN的面积的最大值 【数学思想】 1函数思想的
8、渗透 由于椭圆问题中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关 系，从而可用函数的思想方法来解决，如求距离、面积、角度的最值及取值范围等 2方程思想的渗透 求椭圆的标准方程一般结合待定系数法，通过建立方程(组)来解决； 判断直线与椭圆的位置关系和求相关参 数的值常常须建立关于参数的方程来解决；解决直线与椭圆的位置关系问题往往须转化为二次方程来解决 3分类讨论思想的渗透 若题中的涉及到椭圆曲线类型或点、直线、曲线的相互间的位置变化不明确时，常常需要进行分类讨论解 答 4转化与化归思想 转化与化归思想在椭圆问题的解决中可谓无处不在，特别是利用定义转化焦半径、平面
9、几何知识的转化， 往往能使问题得到快速的解决 【处理集合问题注意点】 1椭圆的定义中易忽视 12 2|aF F这一条件； 2易忽略椭圆的标准方程 22 22 10 xy ab ab 中的 0ab 条件； 3求解 椭圆 方程方程中含有参数问题时，或根据条件无法确定焦点的位置时，注意不要忽视焦点的位置， 常常要通过分类讨论进行解答； 4求解与椭圆相关的最值或几何量的取值范围时，如果建立的函数的自变量是椭圆点的坐标，此时易忽视 椭圆方程中未知数的取值范围 5解答直线与椭圆位置关系综合题时，一般要注意直线与椭圆的位置关系的限制条件，直线的斜率是否存 在的讨论，也可能存在考虑问题不全面或不进行严密的推导
10、而导致错误 【典例试题演练】 1 【2017 届陕西黄陵中学高三下二模】已知椭圆的标准方程 2 2 1 10 y x，则椭圆的焦点坐标为（） A( 10,0)，(10,0)B(0, 10)，(0,10) 来源学科网 Z X X K C(0,3)，(0, 3)D (3,0)，( 3,0) 2 【2017河南息县第一高级中学次阶段测试二】已知圆 22 :4O xy（ O 为坐标原点）经过椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴端点和两个焦点，则椭圆 C 的标准方程为（） A 22 1 42 xy B 22 1 84 xy C 22 1 164 xy D 22 1 3216 xy 3
11、 【 2017 届安徽省淮北市高三上学期摸底】椭圆 22 1 43 xy 的右焦点到直线 3 3 yx的距离是 （） A 3 2 B 1 2 C1 D3 4【湖南省株洲市2017 届高三一模】 已知椭圆 22 22 1(0) yx ab ab ，为 左焦点，为右顶点 , 1 B, 2 B 分别为上、下顶点，若、 1 B、 2 B四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( ) A 31 2 B 51 2 C 2 2 D 3 2 5 【广东省韶关市2017 届高三 4 月高考模拟】在平面直角坐标系xOy 中,椭圆 C 的中心为原点 ,焦点 1 F, 2 F在x轴上,离心率为 1 2 ,点P为椭圆上一点
12、 ,且 12 PF F的周长为 12,那么 C 的方程为 ( ) A 2 2 1 25 x yB 22 1 164 xy C 22 1 2524 xy D 22 1 1612 xy 6 【 2018 福建省闽侯第六中学第一次月考】已知椭圆： 22 2 1(02) 4 xy b b ，左、右焦点分别为 12 ,F F， 过 1 F的直线l交椭圆于,A B两点，若 22 BFAF的最大值为5，则b的值是（） A1 B2C 3 2 D3 来源 学科网 ZXXK 7 【2017安徽省合肥市教学质量检测二】已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左，右焦点为 12 ,F F，离 心率为eP是
13、椭圆上一点， 满足 212 PFF F，点Q 在线段 1 PF上，且 1 2FQQP若 12 0FPF Q ， 则 2 e（） A21B2-2C2- 3D52 8 【2017 湖南省考前演练卷（三）】中心为原点O的椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P为椭圆上 一点， 0 90OPA，则该椭圆的离心率e的取值范围是（） A 1 ,1 2 B 2 ,1 2 C 16 , 23 D 2 0, 2 9【福建省泉州市2017 届高三高考考前适应性模拟】已知椭圆C： 22 22 1 xy ab 的左焦点为F， 若点F 关于直线 1 2 yx的对称点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（） A 1 2 B 2
14、 2 C 3 3 D 5 3 10 【2017 辽宁省沈阳市东北育才学校九模】椭圆 22 1 2516 xy 的左右焦点分别为 12 ,F F，弦AB过 1 F，若 2 ABF的内切圆周长为，,A B两点的坐标分别为 1122 ,x yxy，则 12 yy值为（） A 5 3 B 10 3 C 10 3 D 5 3 11 【福建省泉州市2017 届高三（ 5 月）第二次质量检查】已知椭圆 22 :1 43 xy C的左顶点、上顶点， 右焦点分别为,A B F，则AB AF_ 1 2 【河南省师范大学附属中学2018 届高三 8 月开学考试】椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左
15、焦点为 F，若F关于直线30xy的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为 _ 13 【2017 届广西南宁市高三上学期期末】定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形， 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为4 5，焦点三角形的周长为4 512，则椭圆C的方程是 _ 来源 学科网 ZXXK 14 【山西省运城市2017 届高三 4 月模拟调研】已知F是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ，的左焦点，A为 右顶点，P是椭圆上的一点，PFx轴，若 3 4 PFAF，则该椭圆的离心率是_ 15 【2017届河南省郑州市高三上学期月考】某同学的作业不小
16、心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下 两条有效信息： 题目：“在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 21xy的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2 的射线与椭圆交于B，C，” 解： “设AB的斜率为k，点B 2 22 122 (,) 1212 kk kk ， 5 (,0) 3 D，”据此，请你写出直线CD的斜率为 _ （用k表示） 16 【安徽省合肥市2018 届高三调研性检】已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 经过点 1 3, 2 P，左焦 点为3,0F （1）求椭圆E的方程； （2）若A是椭圆E的右顶点，过点F且斜率为 1 2 的直线交椭圆E于,M N两点，求AMN的面积
17、 17 【江西省新余市2017 届高三高考全真模拟】如图，已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右顶点分 别是2,0 ,2,0AB,离心率为 2 2 ,设 点,0P a tt,连接PA交椭圆于点C，坐标原点是O. （1）证明：OPBC； （2）若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求t的最小值 18 【河南省名校联盟2018 届高三第一次段考】椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的上下左右四个顶点分别 为A，B，C，D，x轴正半轴上的某点P满足2PAPD，4PC （1）求椭圆的标准方程以及点P的坐标； （2）过点C作倾斜角为锐角的直线 1 l交椭圆于点Q，过点
18、P作直线 2 l交椭圆于点M，N，且 12 ll，是 否存在这样的直线 1 l， 2 l使得CDQ，MNA，MND的面积相等？若存在，请求出直线的斜率； 若不存在，请说明理由 19 【江西省赣州市2017 届高三第二次模拟】如图，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 e， 顶点为 1212 AABB、，且 1112 3A BA B （ 1）求椭圆C的方程； （2）P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线 2 B P交x轴于点Q，直线 12 AB交 2 A P于点E设 2 A P的斜 率为k，EQ的斜率为 m，试问 2mk是否为定值？并说明理由 20 【2017 届黑龙江省哈尔滨市高三二模】椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，且 离心率为 1 2 ，点P为椭圆上一动点， 12 F PF内切圆面积的最大值为 3 （1）求椭圆的方程； 来源 :Zxxk.Com （2）设椭圆的左顶点为 1 A，过右焦点 2 F的直线 l 与椭圆相交于,A B 两点，连接 11 ,A A AB并延长分 别交直线4x于,P Q 两点，以 PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是， 请说明理由