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1、典型高考数学试题解读与变式2018版 考点十：导数的几何意义 【考纲要求】 （1）了解导数概念的实际背景. （2） 通过函数图像直观理解导数的几何意义. （3） 根据导数的定义求基本函数的导数. （4） 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的 复合函数（仅限于形如)(baxf的复合函数）的导数. 【命题规律】 导数的运算是导数应用的基础，一般较少直接考查，而导数的几何意义- 切线问题是高考考查的热点. 预计 2017 年的高考将会继续保持稳定，坚持考查导数的几何意义，命题形式会更加灵活、新颖 【典型高考试题变式】 （一）求函数的导函数 例 1.【20
2、17 浙江高考改编】已知函数 x 1 fxx-2x-1 ex 2 ，求fx的导函数 . 【答案】（I） 1212 1 () 2 21 x xxe fxx x ； 【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到：1.基本初等函数的导函数相当熟悉；2.导函数的四则运算要 熟练 .另外，在求导的过程中，要注意对原式进行变形，使得便于我们求导. 【变式1】 【函数中含有参数，利用某函数值的导数求参数的值】【2015天津卷（文） 】已知函数 ln ,0,fxaxx x， 其中a为实数 ,fx为fx的导函数 ,若13f,则a的值为 【答案】 3 【解析】因为1lnfxax,所以13fa. 【变式 2】 【赋值法在求
3、导得应用，题型变为填空题】【2017 江西太原高三模考一（文）改编题】已知 函数 2 10 2 x ff fxexx e ，则)(xf的最小值为 _. 【答案】 1 （二）导数的几何意义 例 2.【2017 天津卷（文）】已知aR，设函数( )lnf xaxx 的图像在点1,1f处的切线为l，则l 在y轴上的截距为 . 【答案】 1 【解析】(1)fa，切点为(1, )a， 1 ( )fxa x ，则切线的斜率为(1)1fa，切线方程为： (1)(1)yaax，令0x得出1y，l在y轴的截距为1. 【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数，倾斜值的正切值就是斜率. 【变式 1】【已知含
4、参函数的切线斜率，求参数的值（或取值范围） 】【2017 四川乐山第三次调研考试（理） 】 已知曲线 2 21 xx fxeeax存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是（） A. 3,B. 7 3, 2 C. 7 , 2 D. 0,3 【答案】 B 【解析】由题得 2 22 xx fxeea，则方程 2 223 xx eea有两个解，令 x te，且 2 223g ttta，则由图象可知，有0g t且0，即30a且4830a，解得 7 3 2 a，故选 B. 【变式2】 【函数的切线斜率与切线的倾斜角之间的关系】【2017安徽宣城六校联考改编题】过函数 32 1 3 fxxx图象上一个动
5、点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为 A. 3 0, 4 B. 3 0, 24 C. 3 , ) 4 D. 3 (, 24 【答案】 B 【解析】由题意得 2 2kfxxx= 2 111x,即tan1k,解得 0 2 或 3 4 .即切线倾斜角的范围为 3 0, 24 .故选 B. 【变式 3】 【两个函数的切线垂直求切点的取值范围】【2015 陕西卷（理）】设曲线 x ye在点（ 0,1） 处的切线与曲线 1 (0)yx x 上点处的切线垂直，则的坐标为 【答案】 1,1 【变式 4】【两个函数的切线平行求参数的值】【 2014 江苏】在平面直角坐标系中， 若曲线 （为常数）过点，且该曲线在
6、点处的切线与直线平行，则 . 【答案】 【解析】 曲线过点，则，又，所以，由 解得所以 （三）在一点处的切线方程 例 3.【2017 全国 1 卷（文） 】曲线 21 yx x 在点（ 1，2）处的切线方程为_. 【答案】1yx 【解析】设yfx，则 2 1 2fxx x ，所以1211f， 所以曲线 2 1 yx x 在点1,2处的切线方程为211yx，即1yx 【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率， 其求法为：设 00 ,P xy是曲线yfx上的一点，则以 P为切点的切线方程是 000 yyfxxx若曲线yfx在点00 ,P xfx处的切
7、线平行于y轴（即导数不存在）时， 由切线定义知，切线方程为 0 xx 【变式1 】 【例题中增加函数性质】【 2016全国3 卷（理） 】已知fx为偶函数，当0x时， ln3fxxx，则曲线yfx在点1, 3处的切线方程是_ 【答案】21yx 【变式 2】 【增加例题中函数的参数，求参数的取值】【2017 届衡水中学押题卷3（文）改编题】已知 函数1 e x fxbxa（a，Rb）.若曲线yfx在点0,0f处的切线方程为yx，求a， b的值分别为 _. 学-科网 【答案】2, 1 【解析】函数fx的定义域为R，e1 e xx fxbbx1 e x bxb. 因为曲线yfx在点0,0f处的切线方
8、程为yx，所以 00, 01, f f 得 10, 11, a b 解得 1, 2. a b （四）过一点的切线方程 例 4.【2015 全国 1 卷（理）改编题】已知函数， （1）当为何值时，轴为曲线的切线 . 【答案】（）； 【解析】（）设曲线与 轴相切于点，则，即， 解得.因此，当时，轴是曲线的切线 . 【方法技巧归纳】对于曲线)(xfy上“过”点),(nm的切线问题，一般要先设切点),( 00 yx，于是 切线为)( 0 mxxfny，再根据切点在曲线上得)( 00 xfy，切点在切线上得 )( 000 mxxfny.列方程组，可得切点的值. 【变式1】 【增加例题的难度，求切线的取值
9、范围】【2017甘肃第二次高考诊断考试（理）】若P是函 数 1 ln1fxxx 图象上的动点，点 1, 1A ，则直线AP斜率的取值范围为（） A. 1,B. 0,1C. 1, eeD. 1 ,e 【答案】 A 切线过点1, 1，则： 0000 11 ln1ln111xxxx， 解得： 0 0x，切线的斜率 0 ln11 1kx，学 -科网 综上可得：则直线AP斜率的取值范围为1, . （五）两曲线的公切线 例 5.【2016 全国 2 卷（理） 】若直线 ykxb是曲线ln2yx 的切线， 也是曲线 ln1yx 的切线， 则b 【答案】 1ln2 【解析】 ln2yx 的切点为11 ln+2
10、xx， ，则它的切线为 1 1 1 ln1yxx x . ln1yx 的切点为 22 ln+2xx， ，则它的切线为： 2 2 22 1 ln1 11 x yxx xx ，所以 12 2 12 2 11 1 ln1ln1 1 xx x xx x ，解得 1 1 2 x ， 2 1 2 x ，所以 1ln11ln 2bx 【方法技巧归纳】两曲线有公共切线，一般可以分别求出两曲线的切线，然后说明这两直线重合；或 者先求出其中一条曲线的切线，然后说明其也和另一曲线相切. 【变式1】 【例题中曲线添加参数，求参数的值】【2015全国 2 卷】已知曲线lnyxx在点)1 , 1(处 的切线与曲线1)2(
11、 2 xaaxy相切，则a= 【答案】 8 【解析】由 1 1y x 可得曲线lnyxx在点)1 , 1(处的切线斜率为2,故切线方程为21yx,与 1)2( 2 xaaxy联立得 2 20axax,显然0a,所以由 2 808aaa. 【变式 2】 【改编题目问法，两曲线存在公切线求参数范围】【2017 河南六市第二次联考（理）】若曲线 2 1: (0)Cyaxa与曲线 2: x Cye存在公共切线，则a的取值范围为_ 【答案】 2 , 4 e 【解析】由y=ax2(a0), 得y =2ax，由y=ex,得y=ex，曲线C1:y=ax2(a0) 与曲线C2:y=ex存在公共 切线， 设公切线
12、与曲线C1切于点 (x1,ax1 2),与曲线 C2切于点 2 2, x xe，则 2 2 2 1 1 21 2 x x eax axe xx ， 可得 2x2=x1+2 ， 1 1 2 1 2 x e a x ， 记 1 2 2 x e fx x ，则 1 2 2 2 4 x ex fx x ， 当x (0,2)时,f(x)0,f(x)递增 . 当x=2 时, 2 min 4 e fx. a的范围是 2 , 4 e . 【数学思想】 无限逼近的极限思想 （1）由 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fx x 可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化 率是平均变化率
13、的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量， 向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵. （2）曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点两公共点无限 接近两公共点重合(切点 )”“割线切线”.学科网 （3）在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线 方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P在不在曲线上，点P 不一定是切 点 【处理导数的几何意义问题注意点】 (1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求
14、导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计 算原则要熟练掌握 (2)对于已知的点， 应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P的切线方程” 与“该曲线在点P 处的切线方程”的两种情况，避免出错 .从历年高考题看， “该曲线在点P 处的切线方程” 问题的考查较为普遍. 【典例试题演练】 1 【2017 宁夏银川一中高三二模（文）】已知在平面直角坐标系中，曲线lnfxaxx在xa处 的切线过原点，则 a A. 1 B. eC. 1 e D. 0 【答案】 B 2【 2017 辽宁沈阳东北育才学校第九次模拟考试（理） 】 已知函数 x a fxxe(0)a， 且yf x
15、的图象在0x处的切线l与曲 x ye相切，符合情况的切线 A. 有0条B. 有1条C. 有2条D. 有3条 【答案】 A 【解析】函数f(x)= x a xe的导数为f(x)=1- 1 x a e a ，a0. 易知 ,曲线y=f(x)在x=0 处的切线l的斜率为1-1a,切点为(0,-1)， 可得切线的方程为y=(1- 1 a )x- 1. 假设l与曲线y=ex相切 ,设切点为 (x0,y0)， 即有e x0=1- 1 a =(1- 1 a )x0- 1， 消去a得e x0= e x0?x0- 1,设 h(x)=exx-ex- 1， 则h(x)=exx,令h(x)0 ，则x0 ， 所以h(x
16、)在 (- ,0)上单调递减,在 (0,+ ) 上单调递增， 当x - ,h(x) -1,x +,h(x) +， 所以h(x)在 (0,+ ) 有唯一解,则e x0 1 ， 而a0 时 ,1-1a1 矛盾，所以不存在 . 故选： A. 3 【2017 湖南长沙长郡中学高三5 月模考（理） 】设曲线 x fxex（e为自然对数的底数）上 任意一点的切线为 1 l，总存在曲线32cosg xaxx上某点处切线 2 l，使得 12 ll，则实数a的取值范围 为（） A. 1,2B. 3,C. 2 1 , 3 3 D. 1 2 , 3 3 【答案】 D 【解析】因为1,32sin x fxegxax，
17、所以直线12,l l的斜率分别为 1 120 1 ,32sin x kekax，则由题设可得 1 0 132sin1 x eax，即 1 0 1 32sin 1 x ax e ， 又因为对任意 1 x，都有 1 1 01 1 x e ，故存在 0 x使得 0 032sin1ax，即存在 0 x使得 00 2sin312sinxax，故1232a，即 12 33 a，应选答案D . 4 【2017 安徽蚌埠高三二质检（理）】已知函数 1 x fxx a e ，曲线 yfx 上存在两个不同 点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（） A. 2 ,eB. 2,0 eC. 2
18、1 , e D. 2 1 ,0 e 【答案】 D 【 解 析 】曲 线yfx上 存 在 不 同 的 两 点 ， 使 得 曲 线 在 这 两 点 处 的 切 线 都 与y轴 垂 直 ， 10 x fxaxe有两个不同的解，即得1 x ax e有两个不同的解，设1 x yx e，则 2,2, 0,2, 0 x yxexyxy ，1 x yx e在,2上递减，在2,上递增2x时， 函数取得极小值 2 ,e又因为当2x时总有10 x yx e，所以可得数a的取值范围是 2 1 ,0 e ， 故选 D. 5 【2017 四川绵阳高三月考（理）】过点2,1A作曲线 3 3fxxx的切线最多有（） A3条B
19、2条C1条D0条 【答案】 A 6 【2018 河北石家庄二中开学考试（理）】 已知函数 2 1 ,fxg xx x .若直线l与曲线,fxg x 都相切，则直线l的斜率为 _ 【答案】4 【解析】因为 21 ,fxg xx x ，所以 2 1 ,fx x 设曲线fx与l切于点 1 1 1 x x ，则切线斜 率 2 1 1 k x ， 故 切 线 方 程 为 1 2 11 11 yxx xx ， 即 2 11 12 yx xx ， 与 2 gxx联 立 得 ： 2 2 11 12 0xx xx ，因为直线l 与曲线g x相切，所以0 2 4 1 1 2 2 1 xx ，解得 1 1 2 x，
20、故斜率 2 1 1 k4 x . 故答案为：4 7 【2018 广东茂名高三五校联盟9 月联考（理）】若函数的图象在点 处的切线斜率为，则函数的极小值是 _ 【答案】 【 解 析 】 因 为， 所 以 由 导 数 的 几 何 意 义 可 得 切 线 的 斜 率 ， 故， 令可得， 则函数的极小值为， 应填答案. 8 【2017 河南新乡三模 （文） 】若2 f xfx 3 3xx对Rx恒成立， 则曲线yfx在 点2,2f处的切线方程为_ 【答案】1315yx（或13150xy） 【解析】 3 3 23,23fxfxxxfxfxxx 3 3 3233fxxxxx 32 1,31,213fxxxf
21、xxf 又211f，则曲线yfx在点2,2f处的切线方程为 11132yx，即1315yx 9 【2017 湖南郴州市高三第四次质量检测（文） 】若函数（）在区间 只有一个极值点，则曲线在点处切线的方程为_ 【答案】 【解析】 由题意可得，所以即在有唯 一奇次根 .根据根的存在性定理，即，又因为，所以 .,，,所以切线方程为.答案为： x-y+6=0. 10 【2018 河南周口市中英文学校开学考】曲线C:sin2 x fxxe在0x处的切线方程为_ 【答案】23yx 【解析】由sin2 x fxxe，得cos x fxxe，03f，切线的斜率为02kf， 故切线方程为23yx，故答案为23y
22、x. 11 【2018贵州贵阳高三8 月摸底考】已知函数 1*nn fxxxnN，曲线yfx在点 2,2f处的切线与y轴的交点的纵坐标为 n b，则数列 n b的前n项和为 _ 【答案】 1 2 n n 【解析】对函数求导可得： 1 1 nn fxnxnx， 则 11 221222 nnn fnnn， 且： 1 2222 nnn f， 曲线在2,2f处的切线方程为 1 2222 nn ynx， 令0x可得： 1 222 n yn， 即 1 222 n n bn， 错位相减可得其前n 项和为 1 2 n n. 12 【2017湖南省郴州市高三第四次质量检测（文）改编】已知函数（）与函数 有公共切
23、线 .则求的取值范围为 _. 学 -科网 【答案】 13 【2017 吉林实验中学八模（理）改编】已知函数ln a fxxaR x （）若函数fx在1x处的切线平行于直线20xy，求实数a的值 【答案】（1）1a 【解析】试题分析： （ 1）利用导数的几何意义，得12f，1a； 试题解析：（） 2 1 a fx xx ,函数fx在1x处的切线平行于直线 20xy.112,1faa. 14 【 2017 陕西省西安市西北工业大学附属中学第八次模拟（理）】已知函数 1 ln t x fxetx（常 数0t）. （）求函数 fx 的单调区间； （）若曲线yfx与直线ytx相切，证明：2t. 【答案】
24、 (1) fx的单增区间为1,，单减区间为0,1;(2) 见解析 . 【解析】试题分析：（）求出fx，0fx得增区间，0fx得减区间； （）设曲线 yfx与 直 线yt x的 切 点 为00,xfx， 由 00 0 1 1lntxtx x ， 可 得 0 000 1 ln x t xxx ， 1 ln x r x xxx ，其中 1 1,1x t ，利用导数研究函数的单调性可得12r xr，即2t. （）证明：设曲线 yfx 与直线ytx的切点为 00 ,xfx， 因为 11t x fxt e x ，所以 0 1 0 0 1t x fxt et x ，即 0 1 0 1 1 t x e x . 因为直线ytx经过切点 00 ,xfx，所以 0 1 000 ln t x fxetxtx， 于是，有 00 0 1 1lntxtx x ，即 0 000 1 ln x t xxx . 令 11 1 t x h xe x ，则 1 2 1 0 t x hxte x ，故h x单增， 又110h， 1 110 1 t he tt ， 所以h x有唯一零点 0 x，且 0 1 1,1x t . 再令 1 ln x r x xxx ，其中 1 1,1x t ， 则 2 2 2 3ln1 0 ln xxx rx xxx ，故r x单减， 所以12r xr，即2t.学- 科网