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1、典型高考数学试题解读与变式2018版 考点 48 正态分布 【考纲要求】 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【命题规律】 在选择题、填空题考查较多，属容易题，分值5 分，在解答题中结合其他知识考查属中等题. 【典型高考试题变式】 正态分布 例 1.【2017 课标 1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零 件的尺寸服从正态分布 2 ( ,)N （1）假 设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在 (3 ,3 )之外的零
2、件数， 求 (1)P X 及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3 ,3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx ， 1616 222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii
3、 sxxxx，其中 i x为抽取的第i 个零件的尺寸， 1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值 ?，用样本标准差s作为 的估 计值?，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ? ?(3 ,3 )之外的数据， 用剩下的 数据估计和（精确到0.01 ） 附：若随机变量Z服从正态分布 2 ( ,)N，则 (33 )0.997 4PZ ， 16 0.997 40.959 2，0.0080.09 【分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在(3 ,3 )之内的概率为0.9974 ，则零件的尺寸 在(3 ,3 )之外的概率为0.0026 ，而 (16,0.0026)XB，进而可以求出X的数
4、学期望 .（2） （i） 判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16 个零件中，出现尺寸在(3 ,3 )之 外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ ii ）根据题设条件算出的估计值和的估计值，剔除 ? ?(3 ,3 )之外的数据9.22 ，算出剩下数据的平均数，即为的估计值， 剔除? ?(3 ,3 )之外 的数据 9.22 ，剩下数据的样本方差，即为的估计值 . 【解析】 （ 1 ）抽取的一个零件的尺寸在(3 ,3 )之内的概率为0.9974 ，从而零件的尺寸在 (3 ,3 )之外的概率为0.0026 ，故 (16,0.0026)XB. 因此 16 (1)1(0)10.997
5、40.0408P XP X. X的数学期望为160.00260.0416EX. （2） （i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3 ,3 )之外的概率只有 0.0026 ，一天内抽取 的 16 个零件中，出现尺寸在(3 ,3 )之外的零件的概率只有0.0408 ，发生的概率很小.因此一旦 发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程 进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的. 来源 学科网 【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散 型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确
6、定离散型随机变量的所有取值，然 后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分 布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3原则 . 【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命 (单位：年 )服从正态分布，且使用寿命不少于2 年的概率为0.8， 使用寿命不少于6 年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4 年内这两个摄 像头都能正常工作的概率为_ 【答案】 1 4 【变式2】 【广西南宁2017 届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机 记录了该店1 月份中 5 天的日销售量y（单位：千克）与
7、该地当日最低气温x（单位：C）的数据，如 下表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （1）求出y与x的回归方程 ? ?ybxa； （2）判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地1 月份某天的最低气温为6 C，请用所求回归方程预测 该店当日的销售量；学科！网 （3）设该地 1 月份的日最低气温X 2 ,N，其中近似为样本平均数x， 2 近似为样本方差 2 s， 求(3.813.4)PX. 附：回归方程 ? ?ybxa中， 1 2 2 1 ? n ii i n i i x ynxy b xn x ， ? ?aybx. 103.2，3.21.8， 若X 2 ,N，则()0 . 6
8、 8PX， (22 )0.9544PX. 【解析】（1）因为令5n, 1 135 7 5 n i i xx n ， 1 145 9 5 n i i yy n , 来源 学科网 ZXXK 所以 1 28757 928 n ii i x ynxy， 2 22 1 2955750 n i i xn x 所以 28 0.56 50 ? b 所以90.56712. ? 92?aybx（或者： 323 25 ） 所以所求的回归方程是0.5612.?92yx 来源 学科网 【数学思想】 数形结合思想 转化与化归思想. 【温馨提示】 曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x 对称的区间上概
9、率相同 P(Xa)1P(Xa)，P(X a)P(X a) 【典例试题演练】 1.【2017 云南大理统测】2016 年 1 月某校高三年级1600 名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数 学考试成绩 2 100,XN（试卷满分为150 分） 统计结果显示数学考试成绩在80 分到 120 分之间的 人数约为总人数的 3 4 ，则此次统考中成绩不低于120 分的学生人数约为（） A80 B100 C120 D200 【答案】 D 【解析】正态曲线图象的对称轴为100X，根据其对称性可知，成绩不低于1200分的学生人数约为 31 16001200 42 人，故选D. 2.【2017 年第三次全国大
10、联考】已知某次数学考试的成绩服从正态分布 2 (102,4 )N，则 114 分以上的成绩 所占的百分比为（附：0.6826,220.9544PXPX,(3P 3 )0.9974X) A.0.3%B.0.23%C.1.3%D.0.13% 【答案】 D 【解析】由已知得(90114)330.9974PXPX，故(114)P X 10.9974 0.0013 2 0.13%，故选 D 3.【2017 山西晋城市模拟考试】已知 4 6 2 1 x x 展开式中的常数项为 a,且1,1XN ,则 3PXa （） (附：若随机变量 2 ,XN , 则 00 0068.26,2295.44PXPX , 0
11、 0 3399.74PX) A0.043B0.0215C0.3413D0.4772 【答案】 B 4.设随机变量服从正态分布N（ 3，7） ，若p（ a+2 ）=p（ a2） ，则a= （） A1 B2 C 3 D4 【答案】 C 【解析】由已知若p（ a+2 ）=p（ a2） ，则33 2 22 a aa 5.已知随机变量X 服从正态分布N （3， 1） ，且 P（ l X 5）=0 682 6 ，则(5)P X（） A0158 8 B0158 7 C0158 6 D0158 5 【答案】 B 【解析】依题意 10.6826 50.1587 2 P x，故选 B. 6.【2017河北五邑四模
12、】某校高考数学成绩近似地服从正态分布 2 100,5N，且(110)0.96P，则 (90100)P的值为（） A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0. 46 【答案】 D 【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知1101 0.960.04P，所以900.04P，则 2901001 20.040.92P，所以901000.46P，应选 D. 7. 【2017 荆、荆、襄、宜四地七校联考】设随机变量服从正态分布), 1( 2 N，若2.0) 1(P，则函 数 3221 ( ) 3 f xxxx没有极值点的概率是（） A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8 【答案】 C 【解
13、析】 由 22 ( )20fxxx无相异实根得 2 44011或，因此函数 ( )f x 没 有极值点的概率是 (1)(1)0.50.20.7PP ，选 C. 8. 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x) 1 8 e 8 )10( 2 x (xR)，则这个正态总体 的平均数与标准差分别是( ) A.10 与 8 B.10 与 2 C.8 与 10 D.2 与 10 【答案】 B 【解析】f(x) 1 2 2 e 2 2 22 )10( x ，所以 2， 10，即正态总体的平均数与标准差分别为10 与 2，故选 B. 9. 已知三个正态分布密度函数i(x) 1 2 i
14、e （xi） 2 2 2 i (xR，i1，2，3)的图象如图所示，则( ) A.123，123 B.123，123 C.123，1 23 D.123，123 【答案】 D 【解析】由正态曲线关于直线x对称，知 123；的大小决定曲线的形状，越大，总体分布越 分散，曲线越矮胖；越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则123.实际上，由1(1)2(2) 3(3)，则 1 2 1 1 2 2 1 2 3 ，即 123.故选 D. 10. (2017 石家庄模拟)设XN(1， 2)，其正态分布密度曲线如图所示，且 P(X 3) 0.022 8 ，那么向正方 形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴
15、影部分的点的个数的估计值为( ) 附：(随机变量 服从正态分布N(1， 2)，则 P( ) 0.682 6 ，P( 2 2 )0.954 4) A12 076 B13 174 C14 056 D 7 539 【答案】 B 11. 【2017 年原创押题预测卷02 （山东卷）】已知(,4)XN m，且(2)()P XmP Xm，则若 (2)0.72P X，则(12)PX. 【答案】0.22 【解析】因为(,4)XN m，故由(2)()P XmP Xm可得(2)2mmm，解得1m， 故(1,4)XN.由(2)0.72P X可得(2)10.720.28P X， 由正态曲线的对称性可知(1)0.5P
16、X， 所以(12)(1)(2)0.50.280.22PXP XP X. 12. 【 2017 四川资阳模拟】 已知随机变量X服从正态分布N(2 ， 2) ，且P(0 X 2) 0.3， 则P(X4)_ 【答案】 0.2 ； 【解析】由题意结合正态分布的性质可知：240.3Px， 则 10.32 (4)0.2 2 P X. 13. 【2017 湖北省黄石市调研】已知随机变量服从正态分布 2 0,N，且220.4P，则 2P_ 【答案】 0.3 【解析】2P 122 0.3. 2 P 14. 【2017广东省汕头市模拟】为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机 抽取 100
17、件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 /mm58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值. （ 1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等 式进行评判（P表示相应事件的概率） ；6826.0)(XP； 9544.0)22(XP；9974.0)33(XP. 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足 其中一个
18、，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级 . （ 2）将直径小于等于2或直径大于2的零件认为是次品. （）从设备M的生产流水线上随意抽取2 件零件，计算其中次品个数Y的数学期望)(YE； （）从样本中随意抽取2 件零件，计算其中次品个数Z的数学期望)(ZE. （2）由图表知道：直径小于或等于2的零件有2 件，大于2的零件有4 件共计 6 件 （i）从设备M的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为 50 3 100 6 ， 依题意) 50 3 ,2( BY，故 25 3 50 3 2)(YE. （ii）从 100 件样品中任意抽取2 件，次品数Z的可能取值为0，1，2 ,
19、1650 5 )2(, 1650 188 )1(, 1650 1457 )0( 2 100 0 94 2 6 2 100 1 94 1 6 2 100 2 94 0 6 C CC ZP C CC ZP C CC ZP 故 25 3 1650 198 1650 5 2 1650 188 1 1650 1457 0)(ZE. 15.(2014 新课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测 量结果得如下频率分布直方图：学#科网 (1) 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)； (2) 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N( ， 2)，其中 近似为样本平均数 x， 2 近似为样本方差s2. 利用该正态分布，求P(187.8Z212.2) ； 某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X表示这100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2) 的产品件数利用的结果，求EX.来源 学。科。网 附：150 12.2.学￥科网 若ZN( ， 2)，则 P( Z )0.682 6 ，P( 2 Z 2 )0.954 4.