小学数学解题策略(1)——观察法.pdf

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1、1 小学数学解题策略（1）观察法 在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解 决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观 察力作为开发与培养学生智力的第一步。 观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与 结论之间的关系， 题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的 数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。 观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想 出道理、找出规律。 *例 1（适于一年级程度） 此题是九年义务教育六年制小学教科书 数学 第二册，第 11 页中的一道思考题。书中除图1-1 的图形外没有 文字说明。这道题旨在引导儿童观

2、察、思考，初步培养他们的观察能 力。这时儿童已经学过20 以内的加减法，基于他们已有的知识，能 够判断本题的意思是： 在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使 大正方形中的每一横行， 每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和， 2 都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说 是一种方阵。 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中 行 10+6+=18 会想到，18-10-6=2 ，在横中行右面的小方格中应填入 2（图 1-2 ）。 从竖右列 7+2+=18（图 1-2）会想到， 18-7-2=9 ，在竖右列下 面的小方格中应填入9（图 1-3）。 从正方形对角线

3、上的9+6+=18（图 1-3）会想到， 18-9-6=3 ， 在大正方形左上角的小方格中应填入3（图 1-4）。 从正方形对角线上的7+6+=18（图 1-3）会想到， 18-7-6=5 ， 在大正方形左下角的小方格中应填入5（图 1-4）。 3 从横上行 3+7=18（图 1-4）会想到， 18-3-7=8 ，在横上行中 间的小方格中应填入8（图 1-5）。 又从横下行 5+9=18（图 1-4）会想到， 18-5-9=4 ，在横下行 中间的小方格中应填入4（图 1-5）。 图 1-5 是填完数字后的幻方。 例 2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于 二年级程度） 6、1

4、6、26、_、_、_、_。 9、18、27、_、_、_、_。 80、73、66、_、_、_、_。 解：观察 6、16、26 这三个数可发现， 6、16、26 的排列规律是： 16 比 6 大 10，26 比 16 大 10，即后面的每一个数都比它前面的那个 数大 10。 观察 9、18、27 这三个数可发现， 9、18、27 的排列规律是： 18 比 9 大 9， 27 比 18 大 9， 即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。 观察 80、73、66 这三个数可发现， 80、73、66 的排列规律是： 73 比 80 小 7，66 比 73 小 7，即后面的每一个数都比它前面的那个数 小

5、7。 4 这样可得到本题的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。 80、73、66、59、52、45、38。 例 3 将 19 这九个数字填入图1-6 的方框中，使图中所有的不 等号均成立。（适于三年级程度） 解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的 那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小 的数 1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数 大于相邻的两个方框中的数， 其它方框中的数都是一个比一个大，而 且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。 所以，在左下角的那个方框中应填9，在它右邻的方

6、框中应填2， 在 2 右面的方框中填 3，在 3 上面的方框中填4，以后依次填 5、6、 7、8。 图 1-7 是填完数字的图形。 5 例 4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？ （适于三 年级程度） 解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪 去一个角剩下三个角。” 我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么 剪？都是什么情况？ （1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角 （图 1-8）。 （2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个 角（图 1-9）。 （3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角， 6 剩下五个角（图 1-

7、10）。 例 5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。 这个三位数的每个数字都相同， 并且两人中一个人看到的这个数比另 一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？（适于三年级程度） 解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就 没法考虑了。 甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒 看都表示数。 在阿拉伯数字中， 只有 0、1、6、8、9 这五个数字正看、 倒看都表示数。 这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数 不能是 000，也不能是 111和 888，只可能是 666或 999。 如果这个数是 666，当其中一个人看到的是666时

8、，另一个人看 到的一定是 999，999-666=333，333正好是 666 的一半。所以这个数 是 666，也可以是 999。 7 *例 6 1966、1976、1986、1996、2006 这五个数的总和是多少？ （适于三年级程度） 解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出 正确答案，但因数字大，计算起来容易出错。 如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是 1966，第二个数比它 大 10， 第三个数比它大 20，第四个数比它大30， 第五个数比它大 40。 因此，这道题可以用下面的方法计算： 1966+1976+1986+1996+2006 =19665+10（1+2+3

9、+4） =9830+100 =9930 这五个数还有另一个特点：中间的数是1986，第一个数 1966 比 中间的数 1986小 20，最后一个数 2006比中间的数 1986 大 20，1966 和 2006 这两个数的平均数是1986。 1976和 1996的平均数也是 1986。 这样，中间的数 1986 是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用 下面的方法计算： 1966+1976+1986+1996+2006 =19865 8 =9930 例 7 你能从 40025=（4004）（254）=4004100=16 中得到启发，很快算出（ 1）60025（2）90025（3）140025

10、（4） 180025（5）725025 的得数吗？（适于四年级程度） 解：我们仔细观察一下算式： 40025=（4004）（254）=4004100=16 不难看出，原来的被除数和除数都乘以4，目的是将除数变成1 后面带有 0 的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相 同的数（零除外），商不变”。 进行这种变化的好处就是当除数变成了1 后面带有 0 的整百数以 后，就可以很快求出商。按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。 （1）60025（2）90025 =（6004）（254） =（9004）（254） =6004100=9004100 =24 =36 9 （3）140025（4）

11、180025 =（14004）（254） =（18004）（254） =14004100=18004100 =56 =72 （5）725025 =（72504）（254） =29000100 =290 *例 8 把 11000 的数字如图 1-11 那样排列，再如图中那样用一 个长方形框框出六个数， 这六个数的和是87。如果用同样的方法 （横 着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数都是多 少？（适于五年级程度） 解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大1，第 三个数比第一个数大2，第四个数比第一个数大7，第五个数比第一 个数大 8，第六个数比第一个数大9。 假定不

12、知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数 的和是 87，要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数： 10 （87-1-2-7-8-9）6 606 =10 求出第一个数是 10，往下的各数也就不难求了。 因为用同样的方法框出的六个数之和是837，这六个数之中后面 的五个数也一定分别比第一个数大1、2、7、8、9，所以，这六个数 中的第一个数是： （837-1-2-7-8-9）6 8106 =135 第二个数是： 135+1=136 第三个数是： 135+2=137 第四个数是： 135+7=142 11 第五个数是： 135+8=143 第六个数是： 135+9=144 答略。 （

13、2）观察框内的六个数可知：上、下两数之差都是7；方框 中间坚行的 11 和 18，分别是上横行与下横行三个数的中间数。 11=（10+11+12 ）3 18=（17+18+19 ）3 所以上横行与下横行两个中间数的和是： 87329 由此可得，和是 837 的六个数中，横向排列的上、下两行两个中 间数的和是： 8373279 因为上、下两个数之差是7，所以假定上面的数是x，则下面的 数是 x+7。 x+（x+7）=279 2x+7=279 12 2x=279-7 2x =272 x=2722 x =136 x+7=136+7 =143 因为上一横行中间的数是136，所以，第一个数是： 136-

14、1=135 第三个数是： 135+2=137 因为下一横行中间的数是143，所以， 第四个数是： 143-1=142 第六个数是： 142+2=144 答略。 *例 9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适 于五年级程度） 解：（ 1）锯去一个顶点（图1-12 ），因为正方体原来有8 个顶 点，锯去一个顶点后，增加了三个顶点，所以， 13 8-1+3=10 即锯去一个顶点后还有10个顶点。 （2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是 8-1+2=9（个）（图 1-13）。 （3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是 8-1+1=8（个）（图 1-14）

15、。 （4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是 8-1=7（个）（图 1-15）。 例 10 将高都是 1 米，底面半径分别是1.5 米、1 米和 0.5 米的 三个圆柱组成一个物体（图1-16），求这个物体的表面积S。（适于 六年级程度） 解：我们知道，底面半径为，高为 h 的圆柱体的表面积是 2 2+2h。 14 本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积， 再把三个圆柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积， 才能得 到这个物体的表面积， 这种计算方法很麻烦。 这是以一般的观察方法 去解题。 如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物 体，会看到

16、这个物体上面的面积就像图1-17 那样。这三个圆的面积， 就是底面半径是 1.5 米的那个圆柱的底面积。 所以，这个物体的表面 积，就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。 （21.5 2+21.51）+（211）+（20.51） =（4.5 +3）+2+ =7.5+3 =10.5 =10.53.14 =32.97（平方米） 答略。 15 *例 11 如图 1-18 所示， 某铸件的横截面是扇形， 半径是 15 厘米， 圆心角是 72，铸件长 20 厘米。求它的表面积和体积。（适于六年 级程度） 解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的 全面性，不可漏掉某一侧面。图1-18 表面积中的一个长方形和一个 扇形就容易被漏掉，因而在解题时要仔细。 求表面积的方法 1： 3.14452+600+120 3.14 =3.1490+3.14120+600 =3.14（90+120）+600 =659.4+600 16 =1259.4（平方厘米） 求表面积的方法 2： =3.14210+600 =659.4+600 =1259.4（平方厘米） 铸件的体积： =3.142254 =3.14900 =2826（立方厘米） 答略。