《2015年天津市高考数学试卷(文科)(含解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年天津市高考数学试卷(文科)(含解析版).pdf（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 2015 年天津市高考数学试卷（文科） 一、选择题：每题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=2，3，5，集合 B=1，3， 4，6，则集合 A?UB=（） A3B2，5C1 ，4，6D2 ，3，5 2 （5 分）若实数 x，y 满足条件，则 z=3x+y 的最大值为（） A7B8C9D14 3 （5 分）阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序， 则输出 i 的值为（） A2B3C4D5 4 （5 分）设 xR，则“1x2”是“ |x 2| 1”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D
2、既不充分也不必要条件 5 （5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为 F（2，0） ，且双 曲线的渐近线与圆（ x2） 2+y2=3相切，则双曲线的方程为（ ） A=1B=1Cy 2=1 Dx 2 =1 6 （5 分）如图，在圆 O中，M 、N是弦 AB的三等分点，弦 CD ，CE分别经过点 M ， 2 N，若 CM=2 ，MD=4 ，CN=3 ，则线段 NE的长为（） AB3CD 7 （5 分）已知定义在 R上的函数 f（x）=2 |x m|1 （m为实数）为偶函数， 记 a=f （log0.53） ，b=f（log25） ，c=f （2m ） ，则 a，b，c 的大小关系为（） A
3、abcBacbCcabDcba 8 （5 分）已知函数 f （x）=，函数 g（x）=3f （2x） ，则函 数 y=f （x）g（x）的零点个数为（） A2B3C4D5 二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 （5 分）i 是虚数单位，计算的结果为 10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ） ，则该几何体的体积为 m 3 11 （5 分）已知函数 f（x）=axlnx ，x（0，+） ，其中 a 为实数， f （x） 为 f （x）的导函数，若f （1）=3，则 a 的值为 12 （5 分）已知 a0，b0，ab=8，则当 a 的值为时，log2a? l
4、og2（2b） 取得最大值 3 13 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB DC ，AB=2 ，BC=1 ，ABC=60 ，点 E 和 F 分别在线段 BC和 DC上， 且=，=， 则?的值为 14 （5 分）已知函数 f （x）=sin x +cosx（ 0） ，xR，若函数 f （x）在 区间（，）内单调递增，且函数y=f （x）的图象关于直线 x= 对称， 则 的值为 三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 15 （13 分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先 采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6 名运
5、动员组队参加比赛 （）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； （）将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从 这 6 名运动员中随机抽取2 人参加双打比赛 （i ）用所给编号列出所有可能的结果； （ii ）设 A 为事件“编号为A5和 A6的两名运动员中至少有1 人被抽到”，求事 件 A发生的概率 4 16 （13 分）在 ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 ABC 的面积为 3，bc=2，cosA= （）求 a 和 sinC 的值； （）求 cos（2A+）的值 17 （13 分）如图，已知 AA1平面 ABC ，BB1AA
6、1，AB=AC=3 ，BC=2，AA1=， BB1=2，点 E和 F 分别为 BC和 A1C的中点 （）求证： EF平面 A1B1BA ； （）求证：平面AEA1平面 BCB1； （）求直线 A1B1与平面 BCB1所成角的大小 5 18 （13 分）已知an是各项均为正数的等比数列，bn 是等差数列，且 a1=b1=1， b2+b3=2a3，a53b2=7 （）求 an 和bn的通项公式； （）设 cn=anbn，nN * ，求数列 cn的前 n 项和 19 （14 分）已知椭圆+=1（ab0）的上顶点为 B，左焦点为 F，离心率 为 （）求直线 BF的斜率 （）设直线 BF与椭圆交于点 P
7、（P异于点 B） ，过点 B且垂直于 BP的直线与椭 圆交于点 Q （Q异于点 B） ，直线 PQ与 y 轴交于点 M ，|PM|=|MQ| （i ）求 的值 （ii ）若|PM|sin BQP=，求椭圆的方程 6 20 （14分）已知函数 f （x）=4xx 4，xR （）求 f （x）的单调区间； （）设曲线y=f （x）与 x 轴正半轴的交点为P，曲线在点 P 处的切线方程为 y=g（x） ，求证：对于任意的实数x，都有 f （x）g（x） ； （）若方程f （x）=a（a 为实数）有两个实数根x1，x2，且 x1x2，求证： x2 x1+4 7 2015 年天津市高考数学试卷（文科）
8、参考答案与试题解析 一、选择题：每题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=2，3，5，集合 B=1，3， 4，6，则集合 A?UB=（） A3B2，5C1 ，4，6D2 ，3，5 【考点】 1H ：交、并、补集的混合运算 【专题】 5J：集合 【分析】 求出集合 B的补集，然后求解交集即可 【解答】 解：全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 B=1，3，4，6 ，?UB=2，5， 又集合 A=2，3，5， 则集合 A?UB=2，5 故选： B 【点评】 本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查 2
9、 （5 分）若实数 x，y 满足条件，则 z=3x+y 的最大值为（） A7B8C9D14 【考点】 7C ：简单线性规划 【专题】 59：不等式的解法及应用 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 z=3x+y 得 y=3x+z， 平移直线 y=3x+z， 8 由图象可知当直线y=3x+z 经过点 A时，直线 y=3x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由，解得，即 A（2，3） ， 代入目标函数 z=3x+y 得 z=32+3=9 即目标函数 z=3x+y 的最大值为 9 故选： C 【点评】
10、本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义， 结合数形结 合的数学思想是解决此类问题的基本方法 3 （5 分）阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序， 则输出 i 的值为（） A2B3C4D5 9 【考点】 E7：循环结构 【专题】 27：图表型； 5K：算法和程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S的值，当 S=0时满 足条件 S1，退出循环，输出i 的值为 4 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 S=10，i=0 i=1 ，S=9 不满足条件 S1，i=2 ，S=7 不满足条件 S1，i=3 ，S=4 不满足条件 S1，i=4 ，S=0 满足条件 S
11、1，退出循环，输出i 的值为 4 故选： C 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i ，S 的值是解题的关键，属于基础题 4 （5 分）设 xR，则“1x2”是“ |x 2| 1”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件 【专题】 5L：简易逻辑 【分析】求解：|x 2| 1，得出“ 1x2”，根据充分必要条件的定义判断即 可 【解答】 解： |x 2| 1， 1x3， “1x2” 10 根据充分必要条件的定义可得出： “1x2”是“ |x 2| 1”的充分不必要 条件 故选： A
12、 【点评】 本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题 5 （5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为 F（2，0） ，且双 曲线的渐近线与圆（ x2） 2+y2=3相切，则双曲线的方程为（ ） A=1B=1Cy 2=1 Dx 2 =1 【考点】 KC ：双曲线的性质 【专题】 11：计算题； 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得 ，求出 a，b 的关系，结合焦点为F（2，0） ，求出 a，b 的值， 即可得到双曲线的方程 【解答】 解：双曲线的渐近线方程为bxay=0， 双曲线的渐近线与圆（x2）
13、2+y2=3相切， ， b=a， 焦点为 F（2，0） ， a 2+b2=4， a=1，b=， 11 双曲线的方程为x 2 =1 故选： D 【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程， 以及双曲线的简单 性质的应用，求出a，b 的值，是解题的关键 6 （5 分）如图，在圆 O中，M 、N是弦 AB的三等分点，弦 CD ，CE分别经过点 M ， N，若 CM=2 ，MD=4 ，CN=3 ，则线段 NE的长为（） AB3CD 【考点】 NC ：与圆有关的比例线段 【专题】 17：选作题； 5M ：推理和证明 【分析】 由相交弦定理求出 AM ，再利用相交弦定理求NE即可 【解答】 解：
14、由相交弦定理可得CM ? MD=AM? MB ， 24=AM ? 2AM ， AM=2 ， MN=NB=2， 又 CN ? NE=AN ? NB ， 3NE=4 2， NE= 故选： A 【点评】 本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础 7 （5 分）已知定义在 R上的函数 f（x）=2 |x m|1 （m为实数）为偶函数， 记 a=f （log0.53） ，b=f（log25） ，c=f （2m ） ，则 a，b，c 的大小关系为（） 12 AabcBacbCcabDcba 【考点】 3N ：奇偶性与单调性的综合 【专题】 51：函数的性质及应用 【分析】 根据 f （x）为偶函数
15、便可求出m=0 ，从而 f （x）=2 |x| 1，这样便知道 f （x）在0 ，+）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变 到区间 0 ，+）上： a=f（|log0.53| ） ，b=f （log25） ，c=f （0） ，然后再比较 自变量的值， 根据 f（x）在0 ，+）上的单调性即可比较出a，b，c 的大小 【解答】 解： f （x）为偶函数； f （x）=f（x） ； 2 | xm|1=2|x m|1； | xm|=|x m|； （xm ） 2=（xm ）2； mx=0 ； m=0 ； f （x）=2 |x| 1； f（x）在0 ，+）上单调递增，并且 a=f（|lo
16、g0.53| ）=f（log23） ，b=f（log25） ， c=f （0） ； 0log23log25； cab 故选： C 【点评】考查偶函数的定义， 指数函数的单调性， 对于偶函数比较函数值大小的 方法就是将自变量的值变到区间0 ，+）上，根据单调性去比较函数值大 小对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用 8 （5 分）已知函数 f （x）=，函数 g（x）=3f （2x） ，则函 数 y=f （x）g（x）的零点个数为（） A2B3C4D5 13 【考点】 53：函数的零点与方程根的关系 【专题】 26：开放型； 51：函数的性质及应用 【分析】 求出函数 y=
17、f （x）g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f （2 x） ，作出函数 h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解： g（x）=3f （2x） ， y=f （x）g（x）=f（x）3+f（2x） ， 由 f （x）3+f（2x）=0，得 f （x）+f（2x）=3， 设 h（x）=f（x）+f （2x） ， 若 x0，则x0，2x2， 则 h（x）=f（x）+f （2x）=2+x+x 2， 若 0x2，则2x0，02x2， 则 h（x）=f（x）+f （2x）=2x+2|2 x|=2 x+22+x=2， 若 x2，x0，2x0， 则 h（x）=f（x）+f （2x）=（
18、x2） 2+2|2 x|=x25x+8 即 h（x）=， 作出函数 h（x）的图象如图： 当 y=3 时，两个函数有 2 个交点， 故函数 y=f （x）g（x）的零点个数为 2 个， 故选： A 【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用 14 数形结合是解决本题的关键 二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 （5 分）i 是虚数单位，计算的结果为i 【考点】 A5：复数的运算 【专题】 5N ：数系的扩充和复数 【分析】 直接利用复数的除法运算法则化简求解即可 【解答】 解：i 是虚数单位， =i 故答案为： i 【点评】 本题考查复数的
19、乘除运算，基本知识的考查 10（5 分）一个几何体的三视图如图所示 （单位：m ） ， 则该几何体的体积为 m 3 【考点】 L! ：由三视图求面积、体积 【专题】 11：计算题； 5F：空间位置关系与距离 【分析】根据几何体的三视图， 得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合 图中数据求出它的体积 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体， 15 且圆柱底面圆的半径为1，高为 2，圆锥底面圆的半径为1，高为 1； 该几何体的体积为 V几何体=2? 1 21+? 12? 2 = 故答案为： 【点评】 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，
20、是基础题目 11 （5 分）已知函数 f（x）=axlnx ，x（0，+） ，其中 a 为实数， f （x） 为 f （x）的导函数，若f （1）=3，则 a 的值为3 【考点】 65：导数的乘法与除法法则 【专题】 53：导数的综合应用 【分析】 由题意求出 f （x） ，利用 f （1）=3，求 a 【解答】解：因为 f（x）=axlnx ，所以 f （x）=alnx+ax=alnx+a，又 f （1） =3，所以 a=3； 故答案为： 3 【点评】 本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键 12 （5 分）已知 a0，b0，ab=8，则当 a 的值为4 时，log2a? log2
21、（2b） 取得最大值 【考点】 3G ：复合函数的单调性 【专题】 51：函数的性质及应用 【分析】由条件可得 a1，再利用基本不等式， 求得当 a=4 时，log2a? log2（2b） 取得最大值，从而得出结论 【解答】 解：由题意可得当log2a? log2（2b）最大时， log2a 和 log2（2b）都是 正数， 故有 a1 16 再利用基本不等式可得log2a? log2（2b） =4， 当且仅当 a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a? log2（2b）取得最大值， 故答案为： 4 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的 使用条件，属于
22、中档题 13 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB DC ，AB=2 ，BC=1 ，ABC=60 ，点 E 和 F 分别在线段 BC和 DC上，且=，=， 则?的值为 【考点】 9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】 5A：平面向量及应用 【分析】 根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可 【解答】 解： AB=2 ，BC=1 ，ABC=60 ， BG=，CD=2 1=1，BCD=120 ， =，=， ?=（+）? （+）=（+）? （+） =?+?+?+? =21 cos60+ 21cos0+ 11 cos60+ 11 cos120 =1+=， 故答案为： 17 【点评
23、】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解 决本题的关键 14 （5 分）已知函数 f （x）=sin x +cosx（ 0） ，xR，若函数 f （x）在 区间（，）内单调递增，且函数y=f （x）的图象关于直线 x= 对称， 则 的值为 【考点】 HK ：由 y=Asin（x +）的部分图象确定其解析式 【专题】 26：开放型； 57：三角函数的图像与性质 【分析】 由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f （x）=sin （x +） ， 由 2kx +2k+，kZ 可解得函数 f（x）的单调递增区间， 结合已知可得： ，kZ，从而解得 k=0， 又由 x +=k+，可
24、解得函数 f （x）的对称轴为： x=，kZ， 结合已知可得： 2= ，从而可求 的值 【解答】 解： f （x）=sin x +cosx=sin （x +） ， 函数 f （x）在区间（，）内单调递增，0 2kx +2k+，kZ可解得函数 f （x）的单调递增区间为： ， ，kZ， 可得：，kZ， 解得： 0 2 且 0 22k ，kZ， 解得：，kZ， 可解得： k=0， 18 又由 x +=k+，可解得函数 f （x）的对称轴为： x=，kZ， 由函数 y=f（x）的图象关于直线 x= 对称，可得： 2= ，可解得：= 故答案为： 【点评】 本题主要考查了由y=Asin（x +）的部分图
25、象确定其解析式，考查 了正弦函数的图象和性质，正确确定k 的值是解题的关键，属于中档题 三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 15 （13 分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先 采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6 名运动员组队参加比赛 （）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； （）将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从 这 6 名运动员中随机抽取2 人参加双打比赛 （i ）用所给编号列出所有可能的结果； （ii ）设 A 为事件“编号为A5和 A6的两名运动员中至
26、少有1 人被抽到”，求事 件 A发生的概率 【考点】 CB ：古典概型及其概率计算公式 【专题】 5I ：概率与统计 【分析】 （）由题意可得抽取比例，可得相应的人数； （） （i ）列举可得从 6 名运动员中随机抽取2 名的所有结果共 15 种； （ii ）事件 A包含上述 9 个，由概率公式可得 【解答】 解： （）由题意可得抽取比例为=， 27=3，9=1，18=2， 应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2； （） （i ）从 6 名运动员中随机抽取2 名的所有结果为： （A1，A2） ， （A1，A3） ， （A1，A4） ， （A1，A5） ， （A1，A6） ，
27、19 （A2，A3） ， （A2，A4） ， （A2，A5） ， （A2，A6） ， （A3，A4） ， （A3，A5） ， （A3，A6） ， （A4，A5） ， （A4，A6） ， （A5，A6） ， 共 15 种； （ii ）设 A为事件“编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有1 人被抽到”， 则事件 A包含： （A1，A5） ， （A1，A6） ， （A2，A5） ， （A2，A6） ， （A3，A5） ， （A3，A6） ， （A4，A5） ， （A4，A6） ， （A5，A6）共 9 个基本事件， 事件 A发生的概率 P= 【点评】 本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属
28、基础题 16 （13 分）在 ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 ABC 的面积为 3，bc=2，cosA= （）求 a 和 sinC 的值； （）求 cos（2A+）的值 【考点】 HP ：正弦定理； HR ：余弦定理 【专题】 58：解三角形 【分析】 （）通过三角形的面积以及已知条件求出b， c， 利用正弦定理求解sinC 的值； （）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+） ，然后直接求解即可 【解答】 解： （）在三角形 ABC中，由 cosA=，可得 sinA=，ABC的 面积为 3，可得：， 可得 bc=24，又 bc=2，解得 b=6，c=4，由 a 2
29、=b2+c22bccosA，可得 a=8， ，解得 sinC=； （）cos（2A+）=cos2Acos sin2Asin= 【点评】 本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用， 20 考查计算能力 17 （13 分）如图，已知 AA1平面 ABC ，BB1AA1，AB=AC=3 ，BC=2，AA1=， BB1=2，点 E和 F 分别为 BC和 A1C的中点 （）求证： EF平面 A1B1BA ； （）求证：平面AEA1平面 BCB1； （）求直线 A1B1与平面 BCB1所成角的大小 【考点】LS：直线与平面平行； LY：平面与平面垂直； MI：直线与平面所成的角 【专题
30、】 5F：空间位置关系与距离 【分析】 （）连接 A1B，易证 EF A1B，由线面平行的判定定理可得； （）易证 AE BC ，BB1AE ，可证 AE 平面 BCB1，进而可得面面垂直； （）取 BB1中点 M和 B1C中点 N，连接 A1M ，A1N ，NE ，易证 A1B1N即为直线 A1B1 与平面 BCB1所成角，解三角形可得 【解答】 （）证明：连接A1B，在 A1BC中， E和 F分别是 BC和 A1C的中点， EFA1B， 又A1B? 平面 A1B1BA ，EF?平面 A1B1BA ， EF 平面 A1B1BA ； （）证明： AB=AC ，E为 BC中点， AE BC ，
31、AA1平面 ABC ，BB1AA1，BB1平面 ABC ， 21 BB1AE ，又 BC BB1=B，AE 平面 BCB1， 又AE ? 平面 AEA1，平面 AEA1平面 BCB1； （）取 BB1中点 M和 B1C中点 N，连接 A1M ，A1N，NE ， N和 E分别为 B1C和 BC的中点， NE平行且等于B1B， NE平行且等于 A1A，四边形 A1AEN是平行四边形， A1N平行且等于 AE ， 又AE 平面 BCB1，A1N平面 BCB1， A1B1N即为直线 A1B1与平面 BCB1所成角， 在ABC 中，可得 AE=2 ，A1N=AE=2 ， BM AA1，BM=AA 1，A
32、1M AB且 A1M=AB ， 又由 AB BB1，A1M BB1， 在 RT A1MB1中，A1B1=4， 在 RT A1NB1中，sin A1B1N=， A1B1N=30 ，即直线 A1B1与平面 BCB1所成角的大小为 30 【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角， 属中 档题 18 （13 分）已知an是各项均为正数的等比数列，bn 是等差数列，且 a1=b1=1， b2+b3=2a3，a53b2=7 （）求 an 和bn的通项公式； 22 （）设 cn=anbn，nN * ，求数列 cn的前 n 项和 【考点】 8M ：等差数列与等比数列的综合 【专题】 5
33、4：等差数列与等比数列 【分析】 （）设出数列 an的公比和数列 bn 的公差，由题意列出关于q，d 的 方程组，求解方程组得到 q，d 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求； （）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列cn 的前 n 项和 【解答】解： （）设数列 an的公比为 q，数列bn 的公差为 d，由题意， q0， 由已知有，消去 d 整理得： q 42q28=0 q0，解得 q=2，d=2， 数列 an 的通项公式为，nN * ； 数列bn的通项公式为 bn=2n1，nN * （）由（）有， 设cn 的前 n 项和为 Sn，则 ， ， 两式作差得：=2 n+13（2n1）2n=
34、（2n 3）2 n3 【点评】本题主要考查等差数列、 等比数列及其前 n 项和，考查数列求和的基本 方法和运算求解能力，是中档题 19 （14 分）已知椭圆+=1（ab0）的上顶点为 B，左焦点为 F，离心率 为 23 （）求直线 BF的斜率 （）设直线 BF与椭圆交于点 P（P异于点 B） ，过点 B且垂直于 BP的直线与椭 圆交于点 Q （Q异于点 B） ，直线 PQ与 y 轴交于点 M ，|PM|=|MQ| （i ）求 的值 （ii ）若|PM|sin BQP=，求椭圆的方程 【考点】 KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】 26：开放型； 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 （
35、）通过 e=、a 2=b2+c2、B（0，b） ，计算即得结论； （）设点P（xP，yP） ，Q （xQ，yQ） ，M （xM，yM） （i ）通过（ I ） ，联立直线BF 与椭圆方程，利用韦达定理可得xP=，利用 BQ BP ，联立直线 BQ与椭圆 方程，通过韦达定理得xQ=，计算即得结论； （ ii ）通过=可得 |PQ|=|PM| ，利用 |PM|sin BQP=，可得 |BP|=，通过yP=2xP+2c= c 计算可得 c=1，进而可得结论 【解答】 解： （）设左焦点 F（c，0） ， 离心率 e=，a 2=b2+c2，a= c，b=2c， 又B（0，b） ，直线 BF的斜率 k=
36、2； （）设点 P（xP，yP） ，Q （xQ，yQ） ，M （xM，yM） （i ）由（ I ）知 a=c，b=2c，kBF=2， 椭圆方程为+=1，直线 BF方程为 y=2x+2c， 联立直线 BF与椭圆方程，消去 y 并整理得： 3x 2+5cx=0，解得 x P=， BQ BP ，直线 BQ的方程为： y=x+2c， 联立直线 BQ与椭圆方程，消去 y 并整理得： 21x 240cx=0，解得 x Q=， 又=，及 xM=0，=； 24 （ii ）=，=，即|PQ|=|PM|， 又|PM|sin BQP=，|BP|=|PQ|sin BQP=|PM|sin BQP=， 又yP=2xP+2
37、c=c，|BP|=c， 因此=c，即 c=1， 椭圆的方程为：+=1 【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、 两条直线垂直等基 础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方 程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题 20 （14分）已知函数 f （x）=4xx 4，xR （）求 f （x）的单调区间； （）设曲线y=f （x）与 x 轴正半轴的交点为P，曲线在点 P 处的切线方程为 y=g（x） ，求证：对于任意的实数x，都有 f （x）g（x） ； （）若方程f （x）=a（a 为实数）有两个实数根x1，x2，且 x1x2，求证： x2 x1+4 【考
38、点】6E： 利用导数研究函数的最值； 6H ： 利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】 26：开放型； 53：导数的综合应用 【分析】 （）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段， 根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性； （）设出点p 的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f（ x0） （xx0） ，构 造辅助函数 F（x）=f（x）g（x） ，利用导数得到对于任意实数x， 有 F（x）F（x0）=0，即对任意实数 x，都有 f （x）g（x） ； （）由（）知，求出方程 g（x）=a 的根， 25 由 g（x）在（， +）上单调递减，得到x2x2 同理得到 x1
39、x1，则可证得 【解答】 （）解：由 f （x）=4xx 4，可得 f （x）=44x3 当 f （x）0，即 x1 时，函数 f （x）单调递增； 当 f （x）0，即 x1 时，函数 f （x）单调递减 f （x）的单调递增区间为（，1） ，单调递减区间为（ 1，+） （）证明：设点p 的坐标为（ x0，0） ，则，f （ x0）=12， 曲线 y=f （x）在点 P处的切线方程为y=f（ x0） （xx0） ，即 g（x）=f（x0） （xx0） ， 令函数 F（x）=f （x）g（x） ，即 F（x）=f（x）f （ x0） （xx0） ， 则 F（x）=f（x）f （ x0） F（x
40、0）=0，当 x（， x0）时，F（ x）0；当 x（x0，+）时， F（x）0， F（x）在（， x0）上单调递增，在（ x0，+）上单调递减， 对于任意实数 x，F（x）F（x0）=0，即对任意实数 x，都有 f（x）g（x） ； （）证明：由（）知，设方程 g（x）=a 的根为 x2， 可得 g （x）在（，+）上单调递减， 又由（）知 g （x2）f（x2）=a=g （x2） ， 因此 x2x2 类似地，设曲线 y=f （x）在原点处的切线方程为y=h（x） ，可得 h（x）=4x， 对于任意的 x（， +） ，有 f（x）h（x）=x 40，即 f （x）h（x） 设方程 h（x）=a 的根为 x1，可得， h（x）=4x在（， +）上单调递增，且h（x1）=a=f（x1）h（x1） ， 因此 x1x1， 由此可得 26 【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、 利用导数研究函数的性 质等基础知识考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的 能力，是压轴题