《2015年最新中考数学考点分类专题42存在性问题-(原卷版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年最新中考数学考点分类专题42存在性问题-(原卷版).pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 42 存在性问题 ? 解读考点 知识点 来源:Zxxk.Com名师点晴 抛物线 的存 在性 等腰、直角三角形 来源:Z|xx|k.Com 掌握等腰三角形与直角三角形的性质，并能求出相关的点的 存在性问题 来源 :Zxxk.Com 来源 学科网 ZXXK 平行四边形问题理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法 相似三角形理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法 等腰梯形、直角梯形理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法 线段最值掌握线段最大值或线段和的最小值的求法 面积最值问题解决相关的三角形或四边形的面积最大（小）值问题 ? 2 年中考 2014 年题组 1.（2014 年福建三明）如图，
2、在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4 与 x 轴的一个交点为A（ 2，0） ， 与 y 轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式； （2）经过 B，C 的直线 l 平移后与抛物线交于点M，与 x 轴交于点N，当以 B，C，M，N 为顶点的四边形 是平行四边形时，求出点M 的坐标； （3）若点 D 在 x 轴上，在抛物线上是否存在点P，使得 PBD PBC？若存在，直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由 2.（2014 年福建漳州）已知抛物线l：y=ax 2 +bx+c （a，b， c 均不为 0）的顶点为M，与 y 轴的交点为N， 我们称
3、以N 为顶点，对称轴是y 轴且过点M 的抛物线为抛物线l 的衍生抛物线，直线MN 为抛物线 l 的衍 生直线 （1）如图，抛物线y=x 22x3 的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ； （2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=2x2+1 和 y=2x+1，求这条抛物线的解析式； （3）如图，设（1）中的抛物线y=x 22x3 的顶点为 M，与 y 轴交点为 N，将它的衍生直线MN 先绕点 N 旋转到与x 轴平行， 再沿 y 轴向上平移1 个单位得直线n，P是直线 n 上的动点， 是否存在点P，使POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由 3（
4、2014 广东深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，以 A为顶点的抛 物线交直线AB于点 D，交 y 轴负半轴于点C（0， 4） （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与 y 轴的交点记为F， 求当 BEF与 BAO相似时， E点坐标； 记平移后抛物线与AB另一个交点为G， 则 SEFG与 SACD是否存在8 倍的关系？若有请直接写出F点的坐标 4 （ 2014 天津）已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过 A（3，0） 、B（0，3） 、C（1，0）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D的坐标为（
5、1，0） ，在直线AB上有一点P，使 ABO与 ADP相似，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E，使 ADE的面积等于四边形APCE的面积？ 如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由 5（ 2014 四川凉山）如图，在平面直角坐标中，点A的坐标为（ 1， 2），点 B的坐标为（ 3， 1）， 二次函数y= x 2 的图象为 l1 （1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B 满足此条件的函数解析式有个 写出向下平移且经点A的解析式 （2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B 两点，所得的抛物线l2，如图，求抛物线l2的函数
6、解 析式及顶点C的坐标， 并求 ABC的面积 （3）在 y 轴上是否存在点P，使 SABC=S ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 6（ 2014 海南）如图，对称轴为直线x=2 的抛物线经过点A（-1 ， 0） ，C（ 0，5）两点，与x 轴另一交点 为 B，已知 M （0， 1） ，E（a，0） ， F（a+1，0） ，点 P是第一象限内的抛物线上的动点 （1）求此抛物线的解析式； （2）当 a=1 时，求四边形MEFP 面积的最大值，并求此时点P的坐标； （3）若 PCM是以点 P为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由 2013 年题组
7、 1 （ 2013 年广西桂林）已知抛物线的顶点为（0，4）且与 x 轴交于（ 2，0） ， （2，0） （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图，将抛物线向右平移k 个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与 x 轴的交点为A 、B，与原抛物线 的交点为P 当直线OD与以 AB为直径的圆相切于E时，求此时k 的值； 是否存在这样的k 值，使得点O、P、D 三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k 值；若不存在，请说 明理由 2 （ 2013 年吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx2 与 x 轴交于点 A （ 1，0） 、B （4， 0） 点 M 、N在 x 轴上， 点 N在点
8、 M右侧， MN=2 以 MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN ，CMN=90 设 点 M的横坐标为m （1）求这条抛物线所对应的函数关系式 （2）求点 C在这条抛物线上时m的值 （3）将线段CN绕点 N逆时针旋转90后，得到对应线段DN 当点 D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标 以 DN为直角边作等腰直角三角形DNE ，当点 E 在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m 值 3 （ 2013 年辽宁锦州）如图，抛物线 21 yxmxn 8 经过 ABC的三个顶点，点A坐标为（ 0，3） ，点 B 坐标为（ 2， 3） ，点 C在 x 轴的正半轴上 （1）求该抛物线的函数关系
9、表达式及点C的坐标； （2）点 E 为线段 OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG ，当正方形的顶点F 恰好落在线段 AC上时，求线段OE的长； （3）将（ 2）中的正方形OEFG 沿 OC向右平移，记平移中的正方形OEFG 为正方形DEFG ，当点 E和点 C重合 时停止运动设平移的距离为t ，正方形DEFG 的边 EF与 AC交于点 M ，DG所在的直线与AC交于点 N，连接 DM ，是否存在这样的t ，使 DMN 是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与 ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S 与
10、平移距离t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；并求出当t 为何值时， S有最大值，最大值是多少？ 4 （ 2013 年湖南株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0） ，且过点（ 0， 1 4 ） 将抛物线C1向下平移h 个单 位（ h0）得到抛物线C2一条平行于x 轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图） ，且点 A、C 关于 y 轴对称，直线AB与 x 轴的距离是m 2（m 0） （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当 m=2时，求 h 的值； （3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点 E，与抛物线C2交于点 F求证： tan EDF tan ECP= 1 2 5 （
11、2013 年四川成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 1 yxbxc 2 （b， c 为常数）的顶点为P， 等腰直角三角形ABC的顶点 A的坐标为（ 0， 1） ，C的坐标为（ 4，3） ，直角顶点B在第四象限 （1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式； （2）平移（ 1）中的抛物线，使顶点P在直线 AC上滑动，且与AC交于另一点Q （i ）若点 M在直线 AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P、Q三点为顶点的三角形是等 腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标； （ii ）取 BC的中点 N，连接 NP ，BQ 试探究 PQ NPBQ 是否存在最大
12、值？若存在，求出该最大值； 若不存在， 请说明理由 6 （ 2013 年甘肃天水）如图1，已知抛物线y=ax 2+bx（a0）经过 A（ 3，0） 、 B（4，4）两点 （1）求抛物线的解析式； （2）将直线 OB向下平移m个单位长度后， 得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求 m的值及点D的坐标； （3）如图 2，若点 N在抛物线上，且NBO= ABO ，则在（ 2）的条件下，求出所有满足POD NOB的点 P坐标（点P、O 、 D分别与点N、O、B对应） 7 （ 2013 年山东日照）已知，如图(a) ，抛物线 2 yaxbxc经过点A(x 1， 0) ，B(x2，0) ，C(0， 2)，
13、 其顶点为D.以 AB为直径的 M交 y 轴于点 E、 F， 过点 E作 M的切线交x 轴于点 N。 ONE=30 ， 12 xx8。 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）连结 AD 、BD,在（ 1）中的抛物线上是否存在一点P，使得 ABP与 ADB相似？若存在，求出P 点的 坐标；若不存在，说明理由； （3）如图（ b）, 点 Q为EBF上的动点（ Q不与 E、F 重合），连结 AQ交 y 轴于点 H，问： AH AQ 是否为定 值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 ? 考点归纳 归纳 1：抛物线的存 在性问题 基础知识归纳：抛物线的存在性问题主要涉及等腰三角形、直角三
14、角形、相似三角形、等腰梯 形、直角梯形、线段的最值与面积的最值问题。 基本方法归纳： 等腰三角形要注意顶点问题的讨论、直角三角形主要讨论斜边、相似三角形的 涉及对应边问题、梯形的上底和下底互相平行、平行四边形的对边平行且相等、对角线互相平 分、线段的最值注意二次函数配方法的应用和对称问题。 注意问题归纳：点的存在性问题中，关键是点的找法，点不要漏找。 【例 1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 24 yxbxc 3 与 x 轴交于 A、D两点，与y 轴交于点B， 四边形 OBCD 是矩形，点A的坐标为（ 1，0） ，点 B的坐标为（ 0，4） ，已知点 E（m ，0）是线段 DO上的动点， 过
15、点 E作 PE x 轴交抛物线于点P，交 BC于点 G ，交 BD于点 H （1）求该抛物线的解析式； （2）当点 P在直线 BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度； （3）在（ 2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与DEH相似？若存在，求 出此时 m的值；若不存在，请说明理由 ? 1 年模拟 1 （2015 届湖北省黄石市第十六中学九年级10 月月考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 yxmxn经过点 A （ 3，0） 、 B （0， 3） ，点 P是直线 AB上的动点，过点P作 x 轴的垂线交抛物线于 点 M ，设点 P的横坐标为t （1）分别求
16、出直线AB和这条抛物线的解析式（4 分） （2）若点 P在第四象限，连接AM 、BM ，当线段 PM最长时，求ABM 的面积（4 分） （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M 、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由（4 分） 2 （ 2015 届福建省永定二中、三中九年级上学期期中联考数学试卷）如图，抛物线 2 yaxbxc交 x 轴 于点 A（ 3，0） ，点 B（ 1，0） ，交 y 轴于点 E（ 0， 3） 点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点F 是线段 BC 的中点，直线l 过点 F且与 y 轴平行直线yxm 过点 C，交 y
17、 轴于 D 点 （1）求抛物线的函数表达式；（3 分） （2）点 K 为线段 AB 上一动点，过点K 作 x 轴的垂线与直线CD 交于点 H，与抛物线交于点G，求线段 HG 长度的最大值； （4 分） （3）在直线 l 上取点 M，在抛物线上取点N，使以点 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标（7 分） 3 （ 2014 届辽宁省大石桥市金桥管理区初级中学中考模拟考试数学试卷）如图，抛物线y=x 2-2x-3 与 x 轴 交 A、 B两点（ A点在 B点左侧），直线 L 与抛物线交于A、 C两点，其中C点的横坐标为2 （1）求 A 、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
18、（2）P是线段 AC上的一个动点，过P点作 y 轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； （3）点 G抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、G这 样的四个点为顶点的四边形是平行四 边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由 4 （2015 届江苏省苏州市高新区九年级上学期期中联考数学试卷）如图，已知抛物线 2 yaxbxc与x 轴的一个交点为A（3，0） ，与y轴的交点为B（0，3） ，其顶点为C，对称轴为1x （1）求抛物线的解析式： （2）已知点M为 y 轴上的一个动点，当ABM 为等腰三角形时，求点M的坐标； （3）将 AOB沿 x
19、轴向右平移m个单位长度（ 0m3 ）得到另一个三角形，将所得的三角形与ABC重叠部 分的面积记为S，用 m的代数式表示S 5 （ 2015 届山东省章丘市第二实验中学九年级上学期期中考试数学试卷）如图，抛物线3 2 bxaxy经 过点 A（1，0）和 B （3，0） ，点 C（m ，15）在抛物线的对称轴上. （1）求抛物线的函数表达式. （2）求 证: ABC是等腰三角形 . （3）动点 P在线段 AC上，从点 A出发以每钞1 个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段 AB上，从 B出 发以每秒1 个单位的速度向A运动 . 当 Q到达点 A 时，两点同时停止运动. 设运动时间为t 秒，求当 t
20、 为何 值时， APQ与 ABC相似 . 6 （ 2014 届浙江省丽水市莲都区九年级第一次中考模拟数学试卷）如图1，抛物线y=x 22bxc（b0） 与 y 轴交于点C，点 P为抛物线顶点，分别作点P，C关于原点O的对称点P，C，顺次连接四点得四边 形 PC PC （1）当 b=c=1 时，求顶点P的坐标； （2）当 b=2，四边形PC PC为矩形时（如图2） ，求 c 的值； （3）请你探究：四边形PC PC能否成为正方形？若能，求出符合条件的b，c 的值；若不能，请说明理 由 7 （2015 届浙江省富阳市新登镇中学共同体九年级10 月月考数学试卷）如图所示， 在平面直角坐标系xOy 中
21、，矩形OABC 的边长 OA 、OC分别为 12cm 、 6cm ，点 A、 C分别在y轴的负半轴和 x轴的正半轴上，抛物线 cbxaxy 2 经过点 A、B，且 18a+c=0 （1）求抛物线的解析式； （2）如果点P由点 A开始沿 AB边以 1cm/s 的速度向终点B移动，同时点Q由点 B开始沿 BC边以 2cm/s 的 速度向终点C移动 移动开始后第t 秒时，设 PBQ的面积为S ，试写出S与 t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； 当 S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B 、 Q 、 R为顶点的四边形是平行四边形？如果 存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由
22、 8 （2015 届浙江省绍兴市六校九年级上学期第一次联考数学试卷）如图， 抛物线 )0( 2 acbxxy+= 与 x 轴交于 A （ 1，0） 、B（-4 ，0）两点。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设（ 1）中的抛物线交y 轴与 C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 QAC的周长最小？若 存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由 （3）设此抛物线与直线 = -yx 在第二象限交于点D，平行于 y 轴的直线 () 150xmm=- 与抛 物线交于点M ，与直线 yx= - 交于点 N，连接 BM 、CM 、NC 、NB ，是否存在 m的值，使四边形 BNCM 的面积 S最大？若存在，请求出 m的值，若不存在，请说明理由