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1、专题 10 圆锥曲线 【2015 年高 考考纲解读】 (1) 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B级要求； (2) 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A级要求； (3) 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求；曲线与方程，A级要求 . （4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题. 【重点、难点剖析】 1圆锥曲线的定义 (1) 椭圆： |MF1| |MF2| 2a(2a|F1F2|) ； (2) 双曲线： |MF1| |MF2| 2a(2ab0)( 焦点在x轴上 ) 或 y 2 a 2x 2 b 2 1(ab0)( 焦点在y轴上 )； (2) 双曲线
2、： x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)( 焦点在x轴 上) 或 y 2 a 2 x 2 b 21(a0，b0)( 焦点在y轴上 ) 3圆锥曲线的几何性质 (1) 椭圆：ec a 1b 2 a 2； (2) 双曲线：e c a 1 b 2 a 2. 渐近线方程：y b ax 或y a bx. 4求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1) 定义法 (2) 待定系数法 来源 :Zxxk.Com 来源: 学科网 ZXXK 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 22ax 或x 22ay( a0)，避开对焦点在哪个半轴 上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义； 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上
3、，椭圆方程可设为 x 2 m y 2 n 1(m0，n 0)； 双曲线方程可设为x 2 m y 2 n 1(mn 0) 这样可以避免讨论和繁琐的计算 5求轨迹方程的常用方法 (1) 直接法：将几何关系直接转化成代数方程； (2) 定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； (3) 代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系； 注意：建系要符合最优化原则；求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方 程则是代数表达式；化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等. 6有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义
4、的运用，以简化运算 (1) 斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) ，则所得弦长 |P1P2| 1k 2| x2x1| 或|P1P2| 1 1 k 2|y2y1|. (2) 弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算 7圆锥曲线中的最值 (1) 椭圆中的最值 F1，F2为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐 标原点，则有 |OP| b，a ； |PF1| ac，ac ； |PF1|2|PF2| b 2， a 2 ； F1PF2F1BF2. (2) 双曲线中的最值 F1
5、，F2为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b 0) 的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有 |OP| a； |PF1| ca. 来源:Z.xx.k.Com 8定点、定值问题 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、 数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要 求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式 的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量 9解决最值、范围问题的方法 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标
6、函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式 求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关 键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线 的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 【高频考点】 考点 1、圆锥曲线的定义与标准方程 来源:Zxxk.Com 【例 1】(1)(20142天津)已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲 线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为()来源 :Zxxk.Com A. x 2 5 y 2 201 B
7、. x 2 20 y 2 5 1 C. 3x 2 25 3y 2 1001 D. 3x 2 100 3y 2 25 1 (2)(20142 安徽) 设F1，F2分别是椭圆E：x 2y 2 b 21(0|F1F2| ，双曲线的定义中要求 |PF1| |PF2|0) 经过C，F两点，则 b a_. 【感悟提升】 1圆锥曲线的离心率 来源:Zxxk.Com 椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度和双曲线开口大小的一个量，其取值范围分别是01. 在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线 的几何特征，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式
8、求得离心率的值或范围 2双曲线的渐近线 (1) 求法：把双曲线标准方程等号的右边1 改为零，分解因式可得 (2) 用法： 可得 b a或 a b的值； 利用渐近线方程来求双曲线的方程 (3) 抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐 近线这里强调p的几何意义是焦点到准线的距离 (4) 要能灵活运用平时解题过程中推导出来的一些结论，如椭圆中焦点三角形的面积公式SF1PF2 b 2tan 2 ，双曲线中的SF1PF2 b 2 tan 2 ( 其中F1PF2) 等，可简化运算过程，节省时间( 上述结论可 结合正、余弦定理推导) 【变式探究】(20132浙
9、江卷改编) 如图，F1，F2是椭圆C1：x 2 4 y 21 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 _ 【规律方法】求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分 别求出a，c，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a，c的方程，多为二次齐次式， 然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数 【变式探究】 (1) 已知双曲线 x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y 22px( p0)的准线分别交 于A，B
10、两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为3，则p_. (2) 椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的焦距为2c，若直线y2x与椭圆的一个交点的横坐标为c，则椭 圆的离心 率为 _ 考点 3、求动点的轨迹方程 【例 3】 在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2分别为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21 的左、右 焦点已知F1PF2为等腰三角形 (1) 求椭圆的离心率e； (2) 设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点， 满足AM 2 BM 2，求点 M的轨迹方程 【规律方法】 (1) 求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知
11、，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可 考虑用定义法求解或用待定系数法求解 (2) 讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围 来源:Z 。xx。k.C om 【变式探究】(20132新课标全国卷) 已知圆M：(x 1) 2 y 21，圆 N：(x1) 2 y 29，动圆 P与 圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲 线C. (1) 求C的方程； (2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 【能力突破】 难点一、圆锥曲线的弦长问题 【例 1】 如图，F1，F2分别是椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)
12、的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线 AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260. (1) 求椭圆C的离心率； (2) 已知AF1B的面积为40 3，求a，b的值 【规律方法】在【解析】几何问题中，转化题目条件或者设参数解决问题时，根据题目条件，选择适 当的变量是解题的一个关键，能够起到简化运算的作用( 本例中可设 |AB| t) 【变式探究】设椭圆C：x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点， 直线l的倾斜角为60，AF 2F B. (1) 求椭圆C的离心率； (2) 如果 |AB| 15 4 ，求椭圆C的方程 难点二、定点、定值问
13、题 【 例 2】 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率为 3 2 ，以原点为圆 心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20 相切 (1) 求椭圆C的方程； (2) 已知点P(0,1) ，Q(0,2) ，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T. 求证：点T在椭圆C上 【规律方法】 (1) 定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解 决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的 (2) 解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值
14、，再视具体情况进行 研究 【变式探究】(20132安徽卷) 设椭圆E： x 2 a 2 y 2 1a 21 的焦点在x轴上 (1) 若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程； (2) 设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且 F1PF1Q. 证明：当a变化时，点P在某定直线上 难点三、最值、范围问题 【例 3】 (20132新课标全国卷) 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 右焦点的直线 xy30 交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 1 2. (1) 求M的方程； (2)C，D为M上的两点，
15、若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ABCD面积的最大值 【变式探究】已知椭圆C： x 2 m 2y 21( 常数 m1) ，P是曲线C上的动点，M是曲线C的右顶点，定点A 的坐标为 (2,0) (1) 若M与A重合，求曲线C的焦点坐标； (2) 若m 3，求PA的最大值与最小值； (3) 若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围 难点四、直线与圆锥曲线的位置关系 例 4、(20142辽宁)圆 x2y24 的切线与x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积 最小时，切点为P(如图 )双曲线C1： x 2 a 2 y 2 b 21 过点 P 且离心率为3. (1) 求 C1
16、的方程； (2) 椭圆 C2过点 P 且与 C1有相同的焦点，直线l 过 C2的右焦点且与C2交于 A，B 两点，若以线段AB为 直径的圆过点P，求 l 的方程 【感悟提升】 1直线与圆锥曲线的位置关系主要由联立方程后方程的解进行判断，一般不需要直接求出方程的解， 二次方程的判别式及根与系数的关系是解决这类问题最好的方法，因此，这种题目充分体现了函数与方程思 想的灵活运用而对于直线与双曲线或抛物线的位置关系的判断，联立方程后首先要看二次项系数是否为 0. 2对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使 用条件 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线
17、是否相交 3涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往 利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解 【高考预测】 1过 P(2,0)的直线 l 被圆 (x2) 2(y3)29 截得的线段长为 2时，直线l 的斜率为() A 2 4 B. 2 2 C 1 D. 3 3 2已知双曲线C1：x 2 a 2 y 2 b 21(a 0，b0)的焦距是实轴长的2 倍，若抛物线C2：x 22py(p0)的焦点 到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为() A x 28 3 3 yB.x 2163 3 y C
18、 x 2 8y D. x2 16y 3已知抛物线y 2 4x 的准线过双曲线x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的左焦点且与双曲线交于A，B 两点， O 为坐标原点，且AOB 的面积为 3 2，则双曲线的离心率为 () A. 3 2 B.4 C 3 D.2 4已知点A(2,3)在抛物线C：y 22px 的准线上，过点 A 的直线与C 在第一象限 相切于点B，记 C 的焦点为 F，则直线BF 的斜率为() A. 1 2 B. 2 3 来源 学科网 ZXXK C.3 4 D. 4 3 5若双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0，b0)与直线 y3x 无交点，则离心率e 的取值范
19、围是 A(1,2) B.(1,2 C(1，5) D.(1，5 6已知椭圆 x 2 4 y 2 b 21(0b2)，左、右焦点分别为F1，F2，过 F1的直线 l 交椭圆于A，B 两点，若 |BF2| |AF2|的 最大值为 5，则 b 的值是() A1B.2 C.3 2 D.3 7已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且F1PF2 3，则椭圆和双曲线 的离心率的倒数之和的最大值为() A. 43 3 B.2 3 3 C3 D.2 8设 P，Q 分别为圆x 2(y6)2 2 和椭圆x 2 10y 21 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 A52 B.462 C72
20、 D.62 9设点 M(x0,1)，若在圆O：x 2y21 上存在点 N，使得 OMN 45 ， 则 x0的取值范围是_ 10已知 P 为椭圆 x 2 25 y 2 16 1上的一点， M，N 分别为圆 (x3) 2y21 和圆 (x 3)2y24 上的点，则 |PM| |PN|的最小值为 _ 来源 学科网 11已知 F1，F2分别是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a 0，b0)的左、右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合， 过 F2作 F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若 |OA|b，则该双曲线的离心率为_ 12 已知 F1， F2是椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21
21、(a b0)的左、右焦点， 过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点若 |AB|BF2|AF2|34 5，则椭圆的离心率为_ 13如图，已知直线l：yk(x1)(k0)与抛物线C：y 24x 相交于 A，B 两点，且 A，B 两点在抛物 线 C 准线上的射影分别是M， N.且|AM|2|BN|，求 k 值 14已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于 1 2，它的一个顶点恰好是抛物线 x 28 3y 的焦点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P(2,3)，Q(2， 3)在椭圆上，点A，B 是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ BPQ，试 问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由