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1、专题 04 数列通项公式的求解策略 【高考地位】 在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴 题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式 也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、 灵活度大、技巧性强。 【方法点评】 方法一数学归纳法 来源 :Zxxk.Com 解题模板：第一步求出数 列的前几项，并猜想出数列的通项； 第二步使用数学归纳法证明通项公式是成立的. 例 1若数列 n a的前 n 项和为 n s，且方程 2 0 nn xa xa有一个根为
2、 n s1，n=1,2,3. (1) 求 12 ,a a； （2）猜想数列 n S的通项公式，并用数学归纳法证明 【变式演练1】已 知数列 n a满足 11 22 8(1)8 (21) (23)9 nn n aaa nn ，求数列 n a的通项公式。 方法二 n S法 来源:学_科 _ 网 Z_X_X_K 使用情景：已知 ()( ) nnn Sf aSf n或 解题模板：第一步利用 n S满足条件p，写出当2n时， 1n S 的表达式； 第二步利用 1( 2) nnn aSSn，求出 n a或者转化为 n a的递推公式的形式； 第三步根据 11 aS求出 1 a，并代入 n a的通项公式进行验
3、证，若成立，则合并；若不成立， 则写出分段形式或根据 1 a和 n a的递推公式求出 n a. 例 2 数列 n a 的前 n 项和为 n S， 1 a=1， 1 2 nn aS ( nN), 求 n a的通项 公式。 【变式演练2】在数列 n a中，1 1 a，)( 2 1 32 1321 Nna n naaaa nn （1）求数列 n a的通项na； （2）若存在 * nN，使得(1) n an成立，求实数的最小值 . 方法三累加法 使用情景：型如 1 ( ) nn aaf n或 1 ( ) nn aaf n 解题模板：第一步将递推公式写成 1 ( ) nn aaf n； 第二步依次写出
4、121 , nn aaaa，并将它们累加起来； 第三步得到 1n aa的值，解出 n a； 第四步检验 1 a是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例 3 在数列 n a中， 1 a=1， 1 1 nn aan (n =2、 3、4 ) ，求 n a的通项公式。 【变式演练3】已知数列 an 满足 a11 2，an 1an 1 n 2n，求 an. 方法四累乘法 使用情景：型如 1 ( ) n n a f n a 或 1 ( ) nn aaf n 解题模板：第一步将递推公式写成 1 ( ) n n a f n a ； 第二步依次写出 2 11 , n n aa aa
5、 ，并将它们累加起来； 第三步得到 1 n a a 的值，解出 n a； 第四步检验 1 a是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例 4 已知数列 n a满足 nnn aa n n aa求, 1 , 3 2 11 【变式演练4】已知 1 1a, 1 () nnn an aa * ()nN,求数列 n a通项公式 . 方法五构造法一 使用情景：型如 1nn apaq（其中,p q为常数，且(1)0,pq p） 解题模板：第一步假设将递推公式改写为an1 tp(ant)； 第二步由待定系数法，解得 1 q t p ； 第三步写出数列 1 n q a p 的通项公式； 第
6、四步写出数列 n a通项公式 . 例 5 已知数列 n a满足 1 a=1， 1n a =21 n a (nN) ，求数列 n a 的通项公式。 【变式演练5】已知数列 an 中， a11， an1 2an3，求 an. 方法六构造法二 使用情景：型如 1nn apaqnr（其中,p q为常数，且(1)0,pq p） 解题模板：第一步假设将递推公式改写为 1 (1)() nn ax nyp axny； 第二步由待定系数法，求出,x y的值； 第三步写出数列 n axny的通项公式； 第四步写出数列 n a通项公式 . 例 6 已知数列 n a满足 2 11 23451 nn aanna，求数列
7、 n a的通项公式。 【变式演练6】 设数列 an满足 a14，an3an12n1(n2)，求 an. 方法七构造法三 使用情景：型如 1 n nn apaq（其中,p q为常数，且(1)0,pq p） 来源: 学 # 科#网 解题模板：第一步在递推公式两边同除以 1n q ，得 1 1 1 nn nn aap qqqq ； 第二步利用方法五，求数列 n n a q 的通项公式； 第三步写出数列 n a通项公式 . 例 7 已知数列 n a满足 11 23 56 n nn aaa，求数列 n a的通项公式。 例 8 已知数列 n a满足 1 232 n nn aa， 1 2a，求数列 n a的
8、通项公式。 来源:学科网 ZXXK 【变 式演练 7】已知数列 an中， a1 5 6，an 1 1 3an 1 2 n1，求 a n. 方法八构造法四 使用情景：型如 11nnn apaqa（其中,p q为常数，且0,2pqn） 解题模板：第一步假设将递推公式改写成 11 () nnnn asat asa； 第二步利用待定系数法，求出, s t的值； 第三步求数列 1 nn asa的通项公式； 来源 学_ 科_网 Z_X_X_K 第四步根据数列 1 nn asa的通项公式，求出数列 n a通项公式 . 例 9 数列 n a中， nnn aaaaa 1221 23, 2, 1，求数列 n a的
9、通项公式。 【变式演练8】已知数列 n a满足 * 1221 1,4,43(). nnn aaaaanN （1）求 34 ,a a的值；（2 ）证明：数列 1nn aa是等比数列； （3）求数列 n a的通项公式； 方法九构造五 使用情景：型如 1 n n n pa a qar （其中, ,p q r为常数） 解题模板：第一步将递推公式两边取倒数得 1 11 nn rq ap ap ； 第二步利用方法五，求出数列 1 n a 的通项公式； 第三步求出数列 n a通项公式 . 例 10 已知数列 n a满足, 1, 13 1 1 1 a a a a n n n 求数列 n a的通项公式。 【变式
10、演练9】已知数列 an 的首项 a1 3 5，an 1 3an 2an1，n1,2,3，求 a n的通项公式 方法十构造六 使用情景：型如 1( 2,0) r nn apanp 解题模板：第一步对递推公式两边取对数转化为 1nn bpbq； 第二步利用方法五，求出数列 n b的通项公式； 第三步求出数列 n a通项公式 . 例 11若数列 n a中， 1 a=3 且 2 1nn aa （n 是正整数），求它的通项公式是 n a。 【变式演练10】已知数列 an中， a11，an1 1 a a 2 n(a0)，求数列 an的通项公式 【高考再现】 1. 【2013 年全国高考新课标I 理科】若数
11、列 an 的前 n 项和为 Sn 2 3an 1 3， 则数列 an的通项公式是 an=_. 2.【2014 高考重庆理22】设 2 11 1,22(*) nnn aaaab nN （）若1b，求 23 ,aa及数列 n a的通项公式； （）若1b，问：是否存在实数c使得 221nn aca对所有*nN成立？证明你的结论. 3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 设数列 n a的前n项和为 n S.已知 1 1a， 2 1 212 33 n n S ann n ， * nN. () 求 2 a的值； () 求数列 n a的通项公式； () 证明 :对一切正整数n，有 12
12、 1117 4 n aaa . 4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）】设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S，满 足 2 1 441, nn SannN且 2514 ,aa a构成等比数列 (1) 证明： 21 45aa； (2) 求数列 n a的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n，有 12231 1111 2 nn a aa aa a 【反馈练习】 1. 已知数列 n a的首项 1 2a，其前 n 项和为 n S若 1 21 nn SS，则 n a 2. 设 n a是首项为1 的正项数列，且 22 11 (1)0() nnnn nanaaanN，则 n a
13、 . 33.。已知数列 n a的前n项和为 n S，且3 1 nSa nn ，Nn ，2 1 a. 则 n a . 4.已知数列 n a中，1 1 a,2 2 a, nnn aaa 3 1 3 2 12 ，求 n a. 5已知数列 an满足： a11，(n1)ann2 na n1(nN，n 2)，则数列 an的通项公式为_ 6.【成都七中高2014 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）】(本小题满分12 分) 设函数 21 ( )(0) 3 f xx x ，数列 n a满足 * 1 1 1 1,(),2. n n aafnNn a 且 （）求数列 n a的通项公式； （）对 * nN，设 12
14、23341 111 n nn S a aa aa aa a ，若 3 4 n t S n 恒成立，求实数t的取值范围 7.已知数列 n a的前n项和为3 n n S，数列 n b满足： 1 1,b * 1 (21)() nn bbnnN。 （1）求数 列 n a的通项公式 n a； （2）求数列 n b的通项公式 n b； （3） 若 nn n ab c n ，求数列 n c的前n项和 n T. 8. 已知数列 n a的前n项和为 n S，且344 nn Sa （）求数列 n a的通项公式； （）设 21222 logloglog nn caaa， 12 111 n n T ccc ，求使 2 (29) 1 n n n knT n 恒成 立的实数k的取值范围 9. 设数列的前项和为, 已知， NnaS n nn ,623 2 1 () 求的值； ( ) 求数列的通项 公式 . ( ) 证明：对一切正整数n，有 . 10.【江苏省南通第一中学20142015 学年度第一学期期中考试，理24】若数列 n a的前 n 项和为 n s，且 方程 2 0 nn xa xa有一个根为 n s1，n=1,2,3 (2) 求 12 ,a a； （2）猜想数列 n s的通项公式，并用数学归纳法证明