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1、专题 06 轨迹方程求解方法 【高考地位】 求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类 题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容 之一。 【方法点评】 方法一直接法 使用情景：可以直接列出等量关系式 解题步骤：第一步根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公 式等。） 第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。 例 1 已知定点BA,且02ccAB，如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值0aa， 求点P的轨迹方程，并说明方程表示的轨迹。
2、来源 学科网 ZXXK 【变式演练1】 已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦 点的距离分别为7和 1. （1）求椭圆 C的方程； （2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上一点， OM OP ,求点M的轨迹方程，并 说明轨迹是什么曲线。 例 2 设直线l垂直于x轴，且于椭圆 22 24xy交于,BA两点，P是l上满足PA PB的点，求点的轨迹 方程。 【变式演练2】已知定点 6,0 ,2,0AB ，O为原点， 动点P与线段,AO BO所张的角相等， 求动点P的 轨迹方程。 方法二定义法 使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义 解题步骤：第
3、一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双 曲线、抛物线等） 第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程。 例 1 已知椭圆的焦点是PFF， 21 是椭圆上的一个动点，如果延长QPF到 1 ， 使得 2 PFPQ那么动点Q 的轨迹是（） A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线 【变式演练1】 已知点 0 , 4 1 F， 直线 4 1 : xl， 点B是直线l上动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（） A、双曲线B、抛物线C、椭圆D、圆 例 2 已知动圆M与圆 1 C:24 2 2 yx外切，与圆24: 2 2 2 yxC内切，求动圆
4、圆心M的轨迹 方程。 【变式演练2】已知 0 2 1 ，A,B是圆 4 2 1 : 2 2 yxF（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分 线交BF于点P，则动点P的轨迹方程是。 方法三相关点法（代入法） 使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动 解题步骤：第一步判断动点,P x y随着已知曲线上的一个动点 ,Q xy的运动而运动 第二步求出关系式 ,xfx yyg x y 第 三步将Q点的坐标表达式代入已知曲线方程 例 1 定点03，A为圆1 22 yx外一定点，P为圆上任一点，POA的平分线交PA于点Q的轨迹方程。 【变式演练1】已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点
5、，左焦点为0 ,3-F，且右顶 点为02，D.设点A的坐标是 2 1 1 ，。 （1）求该椭圆的标准方程； （2）若P是椭圆上的动点，求线段 PA的中点M 的轨迹方程。 例 2 设0，点A的坐标为1 ,1，点B在抛物线 2 xy上运动，点Q满足QABQ,经过点Q与x轴 垂直的直线交抛物线于点M,点P满足 MPQM,求点P的轨迹方程。 【变式演练2】4101，BA,在平面上动点Q满足4 QBQA,点P是点Q关于直线42 xy的对 称点，求动点P的轨迹方程。 方法四参数法 使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时 解题步骤：第一步引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标, x y； 第二步消去参数
6、，得到关于, x y的方程，即为所求轨迹方程。 例 1、已知线段 AB的长为a，P点分AB为 12:：PBAP两部分，当A在y轴 正半轴运动时，B在x轴 正半轴上运动，求动点P的轨迹方法。 来源 学#科# 网 【变式演练1】椭圆的准线垂直于 x轴，离心率为 1 2 ，并且经过点 1,1 ,2,2AB 。求椭圆中心的轨迹方 程。 例 2 过定点baA,任作互相垂直的两条直线 21 ll 与，且 1 l与x轴交于M， 2 l与y轴交于N，求线段MN 中点P的轨迹方程。 【变式演练2】过点1,0A，斜率为k的直线l与抛物线 2 :y4Cx交于,P Q两点。若曲线C的焦点F 与,P Q R三点按如图所
7、示的顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。 方法五交规法 使用情景：涉及到两曲线的交点轨迹问题 解题步骤：第一步解两曲线方程组得到,xftyg t 第二步消去动曲线中的参数。 例 1、已知双曲线1 2 2 2 y x 的左右顶点分别为 21 AA，点 2211 ,yxQyxP是双曲线上不同的两个动 点，求直线 QAPA 21 与 交点的轨迹 E的方程。 【变式演练1】设抛物线02 2 ppxy的准线为l，焦点为F，顶点为PO,为抛物线上任意一点， QlPQ于，求OPQF与的交点M的轨迹方程。 【高考再现】 1、 【 2012.高考湖北理第21 题】 （本小题满分13 分） 来源 :Z&
8、xx&k.Com 设A是单位圆 22 1xy上的任意一点，l 是过点A与 x 轴垂直的直线，D是直线 l 与 x 轴的交点， 点M在 直线 l 上，且满足| (0,1)DMm DAmm且. 当点A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C （）求曲线 C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q 两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直 线 QN 交曲线C于另一点 H. 是否存在 m ，使得对任意的 0k，都有 PQPH ？若存在，求m 的值；若不 存在，请说明理由. 2 、【 2012辽 宁 高 考 理 科 第20题 】 椭 圆 0 C
9、：为常数baba b y a x ,01 2 2 2 2 ， 动 圆 1 C： atbtyx 1 2 122 ,，点 21 AA，分别为 0 C的左右顶点， 1 C和 0 C相交于DCBA,四点。 （1）求直线 1 AA 与直线 2 A B交点M的轨迹方程； （ 2）设动圆 222 22 :+=C xyt与 0 C相交于, , , A B C D四点，其中 2 b ta， 12 tt.若矩形ABCD与矩形 AB CD的面积相等，证明： 22 12 +tt为定值 , 3、 【 2012 四川高考理科第21 题】 (本小题 满分 12 分)如图，动点QR、M到两定点( 1,0)A、(2,0)B构
10、成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C。 （）求轨迹C的方程； （）设直线2yxm与y轴交于点P，与轨迹C相交于点，且| |PQPR，求 | | PR PQ 的取值范围。 y xBA O M 4、(2011 年湖北高考理科第19 题).（本小题满分13 分） 如图， 在以点O为圆心，| 4AB为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，30POB， 曲线C是满足|MAMB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P. （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （）设过点D的直线 l 与曲线C相交于不同的两点E、F.，若OEF的面积不小于 2 2，求直线l斜 率的取值范围 5、【20
11、14 高考湖北理第21 题】 在平面直角坐标系xOy中，点M到点 1,0F 的距离比它到 y轴的距离多 1， 记点M的轨迹为C. （1）求轨迹为C的方程； （2）设斜率为k的直线l过定点2,1p，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共 点时k的相应取值范围. 【反馈练习】 1、 【安徽三校2014 届 12 月联考】长为10mm的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑 动，点M是线段AB上一点，且AMmMB。 求点M的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线； 设过点 1 ,0 2 Q 且斜率 部位 0 的直线交轨迹于,C D两点。 试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分 C
12、PD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。 2、 【黑龙江双鸭山一中2014 届 12 月月考】设,A B分别是直线 2 5 5 yx和 2 5 5 yx上的两个动点， 并且20AB，动点满足 OPOAOB，记动点P的轨迹为C。 求曲线C的方程 若点D的坐标为0,16，,M N是曲线C上的两个动点，并且DMDN，求实数的取值范围。 3、 【安徽三校2014 届联考】动圆M过定点A且与定圆O相切，那么动圆的圆心M的轨迹是（） A、圆或椭圆 B、圆或双曲线 C、椭圆或双曲线或直线 D、圆或椭圆或双曲线或直线 来源 :Zxxk.Com 4、 【河南安阳2014 届上学期第一次调研】已知圆 2
13、 2 1 625 :, 28 Cxy 圆 2 2 2 61 : 28 Cxy ， 动圆P与已知两圆都外切。 求动圆的圆心P的轨迹E的方程 直线:1lykx与点P的轨迹E交于不同的两个点,A B，AB的中垂线与y轴交于点N，求点N的纵 坐标的取值范围。 5.【山东济宁鱼台二中2014 届 3 月质量检测】 已知,A B为平面内两定点， 过该平面内动点M做直线AB的 垂线，垂足为N。若 2 MNAN NB，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是（） A、圆B、椭圆、抛物线、双曲线 来源:Zxxk.Com 6.【河北衡水中学届下学期期中】双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 实轴的两个顶点,A B为，点P 为双曲线M上除,A B外的一个动点，若QAPA且QBPB，则动点Q的运动轨迹是（） 、圆B 、椭圆、双曲线、抛物线