2015高考理科数学热点题型专题45空间中的垂直关系.pdf

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1、【高频考点解读】 1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定 定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题 【热点题型】 题型一垂直关系的基本问题 例 1、(1)设 a，b 是夹角为30 的异面直线，则满足条件“ a? ， b? ，且 ” 的平面 ， () A不存在B有且只有一对 C有且只有两对D有无数对 (2)已知直线 l平面 ，直线 m?平面 ，有下列命题： ? lm； ? lm； lm? ； lm? . 其中，正确的命题序号有_ 【提分秘籍】 解决垂直关系的基本问题要注意 (1)紧扣垂直关系的判定定理与性质定理 (2

2、)借助于图形去判断 (3)举反例排除去判断 【举一反三】 设 ， 为不重合的平面，m，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是() A若 ， n，mn，则 m B若 m? ，n? ， m n，则 n C若 n ，n ，m ，则 m D若 m ，n ，mn，则 【热点题型】 题型二直线与平面垂直的判定与性质 例 2、 (2013 年高考重庆卷 )如图，四棱锥PABCD 中， PA底面 ABCD，PA23，BCCD2， ACB ACD 3. (1)求证： BD 平面 PAC； (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF7FC，求三棱锥PBDF 的体积 【提分秘籍】 证明直线和平面垂直的常用方法有 (

3、1)利用判定定理； (2)利用判定定理的推论(ab，a ? b )； (3)利用面面平行的性质(a ， ? a )； (4)利用面面垂直的性质 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 【举一反三】 如图，在直棱柱ABCA1B1C1中， BAC 90 ，ABAC2，AA13， D 是 BC 的中点，点E 在棱 BB1上运动 (1)求证： ADC1E； (2)当异面直线AC， C1E 所成的角为60 时，求三棱锥C1A1B1E 的体积 【热点题型】 题型三平面与平面垂直的判定与性质 例 3、如图，在平行四边形ABCD 中， AB2BC4， ABC120 ，E，M 分别为 A

4、B，DE 的中点， 将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A DE，F 为 A C 的中点， AC4. (1)求证：平面A DE平面 BCD； (2)求证： FB平面 ADE. 【提分秘籍】 1判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定理(a ，a? ? ) 2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 【举一反三】 如图，在四棱锥PABCD 中，平面 P AD平面 ABCD，ABAD，BAD60 ，E，F 分别是 AP，AD 的中点 求证： (1)直线 EF平面 PCD； (2)平面 BEF平面 PAD.

5、 【热点题型】 题型四平行与垂直的综合问题 例 4、(2013 年高考北京卷)(本题满分14 分 )如图，在四棱锥PABCD 中， ABCD，ABAD，CD 2AB，平面 PAD底面 ABCD，PA AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点求证： (1)PA底面 ABCD； (2)BE平面 PAD； (3)平面 BEF平面 PCD. 【提分秘籍】 空间线面平行，垂直的综合问题一直是命题的热点，多以解答题形式考查，此类题目重点考查了线、 面、平行，垂直的判定与性质，解答时易忽视平行垂直判定与性质定理中满足条件 【高考风向标】 1 （2014福建卷）在平面四边形ABCD 中， ABBD C

6、D1，AB BD，CDBD.将 ABD 沿 BD 折 起，使得平面ABD平面 BCD，如图 1-5 所示 (1)求证： ABCD； (2)若 M 为 AD 中点，求直线AD 与平面 MBC 所成角的正弦值 图 1-5 来源 :Z,xx,k.Com 2 （2014湖南卷） 如图 1-6 所示，四棱柱 ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等， AC BDO，A1C1B1D1 O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形 (1)证明： O1O底面 ABCD； 来源 学科网 (2)若 CBA60，求二面角C1- OB1- D 的余弦值 图 1-6 3 （2014江西卷）如图1-6，四棱锥

7、P - ABCD 中， ABCD 为矩形，平面PAD平面 ABCD. 图 1-6 (1)求证： ABPD . (2)若 BPC90， PB2，PC2，问 AB 为何值时，四棱锥P - ABCD 的体积最大？并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值 5 （2014辽宁卷）如图1-5 所示， ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且ABBCBD2， ABC DBC 120， E，F 分别为 AC，DC 的中点 (1)求证： EFBC； (2)求二面角E-BF-C 的正弦值 图 1-5 6 （2014新课标全国卷）如图1-5，三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， AB

8、B1C. 图 1-5 (1)证明： ACAB1； (2)若 ACAB1， CBB160， ABBC，求二面角 A -A1B1 - C1的余弦值 7 （2014四川卷）三棱锥A - BCD 及其侧视图、俯视图如图1-4 所示设M，N 分别为线段AD， AB 的中点， P 为线段 BC 上的点，且MNNP. (1)证明： P 是线段 BC 的中点； (2)求二面角A - NP - M 的余弦值 图 1-4 8 （2014天津卷）如图1-4 所示，在四棱锥P - ABCD 中， PA底面 ABCD, ADAB，ABDC，AD DC AP2，AB1，点 E 为棱 PC 的中点 (1)证明： BEDC；

9、 (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； (3)若 F 为棱 PC 上一点，满足BFAC，求二面角F - AB - P 的余弦值 图 1-4 9 （2014浙江卷）如图1-5，在四棱锥A -BCDE 中，平面 ABC平面 BCDE ， CDE BED 90， ABCD 2，DEBE 1，AC2. (1)证明： DE平面 ACD； (2)求二面角B - AD - E 的大小 图 1-5 10 （2014重庆卷 如图 1-3 所示，四棱锥P- ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO底面 ABCD， AB2， BAD 3 ，M 为 BC 上一点，且BM 1 2，MPAP. (1)

10、求 PO 的长； (2)求二面角A-PM-C 的正弦值 图 1-3 【随堂巩固】 1已知两条直线m， n，两个平面 ， .给出下面四个命题： mn，m ? n ； ，m? ，n? ? mn； mn，m ? n ； ，mn，m ? n .来源 学科网 其中正确命题的序号是() AB CD 2用 m，n 表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的是() A若 mn，n? ，则 m B若 m ，n? ，则 mn C若 mn，n? ，则 m D若 m ，n? ，则 m n 3a，b 表示直线， 、 、 表示平面 来源 学科网 ZXXK 若 a，b? ，ab，则 ； 若 a? ，a 垂直于 内任意一

11、条直线，则 ； 若 ， a， b，则 ab； 若 a 不垂直平面 ，则 a 不可能垂直于平面内的无数条直线； 若 a ，b ，ab，则 . 上述五个命题中，正确命题的序号是() AB CD 4.如图，在四面体D ABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列正确的是() 来源 学科网 Z XXK A平面 ABC 平面 ABD B平面 ABD平面 BDC C平面 ABC平面 BDE，且平面ADC平面 BDE D平面 ABC平面 ADC，且平面ADC平面 BDE 5已知 ，是两个不同的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是() A若 m ， n，则 mn B若 m

12、 ，mn，则 n C若 m ，n ， ，则 mn D若 ， n，mn，则 m 6.如图，正方体AC1的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为 H，则以下命题中，错误的命题 是() A点 H 是 A1BD 的垂心 B AH 垂直于平面CB1D1 C AH 的延长线经过点C1 D直线 AH 和 BB1所成角为 45 7设 ， 是空间内两个不同的平面，m，n 是平面 及 外的两条不同直线从“ mn； ； n ； m ” 中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_ (用序 号表示 ) 8.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以 A

13、BC 为直角的等腰直角三角形， AC2a，BB13a，D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，当 AF _时， CF 平面 B1DF. 9.如图，已知六棱锥PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，PA 2AB，则下列结论中： PBAE；平面ABC平面 PBC；直线BC平面 PAE； PDA45 . 其中正确的有_(把所有正确的序号都填上) 10.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD平面 BCE，BEEC. (1)求证：平面AEC平面 ABE； (2)点 F 在 BE 上，若 DE平面 ACF，求 BF BE的值 11.如图所示，已知四棱锥的侧棱PD平面 ABCD，且

14、底面ABCD 是直角梯形，ADCD，ABCD， ABAD 1 2CD2，点 M 在侧棱 PC 上 (1)求证： BC平面 BDP； (2)若 tanPCD 1 2，点 M 是侧棱 PC 的中点，求三棱锥 MBDP 的体积 12如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，AB AC2AA1 2， BAC120 ，D， D1分别是线段 BC，B1C1的中点， P 是线段 AD 上异于端点的点 (1)在平面 ABC 内，试作出过点P 与平面 A1BC 平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面 ADD1A1； (2)设 (1)中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥A1QC1D 的体积 (锥体体积公式：V 1 3Sh，其中 S为底 面面积， h 为高 )