2017年上海市高考数学试卷(含解析版).pdf

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1、1 2017 年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每 题 5 分） 1 （4 分）已知集合 A=1，2，3，4，集合 B=3，4，5 ，则 AB= 2 （4 分）若排列数=654，则 m= 3 （4 分）不等式1 的解集为 4 （4 分）已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于 5 （4 分）已知复数 z 满足 z+=0，则|z|= 6 （4 分）设双曲线=1 （b0）的焦点为 F1、F2，P为该双曲线上的一点， 若|PF1|=5 ，则|PF2|= 7 （5 分）如图，以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D为坐标原点

2、，过D的三条棱 所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（ 4，3，2） ， 则的坐标是 8 （5 分）定义在（ 0，+）上的函数 y=f（x）的反函数为 y=f 1 （x） ，若 g（x） =为奇函数，则 f 1（x）=2的解为 9 （5 分）已知四个函数： y=x，y=，y=x 3，y=x ，从中任选 2 个，则事件“所选2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 10 （5 分）已知数列 an 和bn ，其中 an=n 2，nN*，b n 的项是互不相等的正整 数 ， 若 对 于 任 意n N * ， bn 的 第an项 等 于 an 的 第bn项 ， 则 2 = 11 （5

3、 分）设 a1、a2R ，且，则| 10a1a2| 的最 小值等于 12 （5 分）如图，用35 个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四 个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合= P1，P2，P3，P4 ，点 P ，过 P作直线 lP，使得不在 lP上的“”的点分布在lP的两侧用 D1（lP） 和 D2（lP）分别表示 lP一侧和另一侧的“”的点到lP的距离之和若过P 的直线 lP中有且只有一条满足D1（lP） =D2（lP） ， 则 中所有这样的 P为 二、选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20分） 13 （5 分）关于 x、y 的二元一次方程组的系数行列式 D为

4、（） ABCD 14 （5 分）在数列 an中，an=（） n，nN* ，则an（） A等于B等于 0C等于D不存在 15 （5 分）已知 a、b、c 为实常数， 数列xn 的通项 xn=an 2+bn+c，nN* ，则“存 在 kN * ，使得 x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（） Aa0Bb0Cc=0Da2b+c=0 16 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 C1：=1和 C2：x 2+ =1P 为 C1上的动点， Q为 C2上的动点， w 是的最大值记= （P，Q ）|P 在 C1上，Q在 C2上，且=w，则 中元素个数为（） 3 A2 个B

5、4 个C8 个D无穷个 三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分） 17 （14 分）如图，直三棱柱ABC A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和 AC的长分别为 4和 2，侧棱 AA1的长为 5 （1）求三棱柱 ABC A1B1C1的体积； （2）设 M是 BC中点，求直线 A1M与平面 ABC 所成角的大小 18 （14分）已知函数 f （x）=cos 2xsin2x+ ，x（0，） （1）求 f （x）的单调递增区间； （2）设 ABC为锐角三角形，角A所对边 a=，角 B所对边 b=5，若 f （A） =0，求 ABC的面积 4 19 （14分）根据

6、预测，某地第n（nN * ）个月共享单车的投放量和损失量分别 为 an和 bn（单位：辆），其中 an=，bn=n+5，第 n 个月底 的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差 （1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量Sn=4（n46） 2+8800 （单位：辆）设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出 了此时停放点的单车容纳量？ 20 （16 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ：=1，A为 的上 顶点， P为 上异于上、下顶点的动点，M为 x 正半轴上的动点 （1）若 P在第一象限，且 |OP

7、|=，求 P的坐标； （2）设 P（） ，若以 A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐 标； （3）若|MA|=|MP| ，直线 AQ与 交于另一点 C，且，求直线 AQ的方程 5 21 （18 分）设定义在R上的函数 f （x）满足：对于任意的x1、x2R ，当 x1 x2时，都有 f （x1）f （x2） （1）若 f （x）=ax 3+1，求 a 的取值范围； （2）若 f （x）是周期函数，证明： f （x）是常值函数； （3）设 f （x）恒大于零， g（x）是定义在 R上的、恒大于零的周期函数，M是 g（x）的最大值函数h（x）=f （x）g（x） 证明：“ h（x）是周

8、期函数” 的充要条件是“ f （x）是常值函数” 6 2017 年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共12题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每 题 5 分） 1 （4 分）已知集合 A=1，2，3，4，集合 B=3，4，5，则 AB= 3，4 【考点】 1E：交集及其运算 【专题】 11：计算题； 37：集合思想； 4O ：定义法； 5J：集合 【分析】 利用交集定义直接求解 【解答】 解：集合 A=1，2，3，4 ，集合 B=3，4，5， AB=3，4 故答案为： 3，4 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的

9、 合理运用 2 （4 分）若排列数=654，则 m= 3 【考点】 D4 ：排列及排列数公式 【专题】 11：计算题； 38：对应思想； 4O ：定义法； 5I ：概率与统计 【分析】 利用排列数公式直接求解 【解答】 解：排列数=654， 由排列数公式得， m=3 故答案为： m=3 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公 式的合理运用 7 3 （4 分）不等式1 的解集为（， 0） 【考点】 7E：其他不等式的解法 【专题】 35：转化思想； 4R ：转化法； 59：不等式的解法及应用 【分析】 根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可 【解答】 解：由1

10、得： ， 故不等式的解集为：（， 0） ， 故答案为：（， 0） 【点评】 本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题 4 （4 分）已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于9 【考点】 L7：简单空间图形的三视图 【专题】 31：数形结合； 48：分析法； 5U ：球 【分析】 由球的体积公式，可得半径R=3 ，再由主视图为圆，可得面积 【解答】 解：球的体积为 36， 设球的半径为 R，可得R 3=36， 可得 R=3 ， 该球主视图为半径为3 的圆， 可得面积为 R 2=9 故答案为： 9 【点评】本题考查球的体积公式， 以及主视图的形状和面积求法， 考查运算能力， 8 属于基

11、础题 5 （4 分）已知复数 z 满足 z+=0，则|z|= 【考点】 A5：复数的运算 【专题】 38：对应思想； 4A：数学模型法； 5N：数系的扩充和复数 【分析】 设 z=a+bi （a，bR） ，代入 z 2=3，由复数相等的条件列式求得 a，b 的值得答案 【解答】 解：由 z+=0， 得 z 2=3， 设 z=a+bi （a，bR） ， 由 z 2=3，得（ a+bi）2=a2b2+2abi=3， 即，解得： 则|z|= 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模 的求法，是基础题 6 （4 分）设双曲线=1 （b0）的焦点为 F1、F2，

12、P为该双曲线上的一点， 若|PF1|=5 ，则|PF2|= 11 【考点】 KC ：双曲线的性质 【专题】 11：计算题； 34：方程思想； 4O ：定义法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质 与方程 【分析】 根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得|PF1| |PF2|=6 ，解可得 |PF2| 的值，即可得答案 9 【解答】 解：根据题意，双曲线的方程为：=1， 其中 a=3， 则有|PF1| |PF2|=6 ， 又由|PF1|=5 ， 解可得 |PF2|=11 或1（舍） 故|PF2|=11 ， 故答案为： 11 【点评】 本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义

13、 7 （5 分）如图，以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D为坐标原点，过D的三条棱 所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（ 4，3，2） ， 则的坐标是（4，3，2） 【考点】 JH：空间中的点的坐标 【专题】 11：计算题； 31：数形结合； 44：数形结合法； 5H ：空间向量及应用 【分析】由的坐标为（4，3，2） ，分别求出 A和 C1的坐标，由此能求出结果 【解答】 解：如图，以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D为坐标原点， 过 D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 的坐标为（ 4，3，2） ，A（4，0，0） ，C1（0，3，2） ， 故

14、答案为：（4，3，2） 10 【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考 查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 8 （5 分）定义在（ 0，+）上的函数 y=f（x）的反函数为 y=f 1 （x） ，若 g（x） =为奇函数，则 f 1（x）=2的解为 【考点】 4R ：反函数 【专题】 35：转化思想； 48：分析法； 51：函数的性质及应用 【分析】 由奇函数的定义，当x0 时， x0，代入已知解析式，即可得到所 求 x0 的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得 到所求值 【解答】 解：若 g（x）=为奇函数， 可得当 x0 时，x0

15、，即有 g（x）=3 x1， 由 g（x）为奇函数，可得g（x）=g（x） ， 则 g（x）=f（x）=13 x ，x0， 由定义在（ 0，+）上的函数 y=f （x）的反函数为 y=f 1（x） ， 且 f 1（x）=2， 可由 f （2）=13 2= ， 可得 f 1（x）=2的解为 x= 故答案为： 【点评】本题考查函数的奇偶性和运用， 考查互为反函数的自变量和函数值的关 系，考查运算能力，属于基础题 11 9 （5 分）已知四个函数： y=x，y=，y=x 3，y=x ，从中任选 2 个，则事件“所选2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；

16、CC ：列举法计算基本事件数及事件发生 的概率 【专题】 11：计算题； 33：函数思想； 4O ：定义法； 5I ：概率与统计 【分析】 从四个函数中任选 2 个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事 件 A：“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数， 由此能求出事件 A：“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率 【解答】 解：给出四个函数： y=x，y=，y=x 3，y=x ， 从四个函数中任选2 个，基本事件总数n=， 有两个公共点（ 0，0） ， （1，1） 事件 A：“所选 2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ，共 2 个， 事件

17、A：“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A）= 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合 理运用 10 （5 分）已知数列 an 和bn ，其中 an=n 2，nN*，b n 的项是互不相等的正整 数，若对于任意 nN * ， bn的第 an项等于 an 的第 bn项，则= 2 【考点】 8H ：数列递推式 12 【专题】 34：方程思想； 4R ：转化法； 51：函数的性质及应用； 54：等差数列与 等比数列 【分析】 an=n 2，nN*，若对于一切 nN * ，bn中的第 an项恒等于 an中的第 bn 项， 可得= 于是

18、b1=a1=1，=b4，=b9，=b16 即 可得出 【解答】 解： an=n 2，nN*，若对于一切 nN * ，bn中的第 an项恒等于 an中 的第 bn项， = b1=a1=1，=b4，=b9，=b16 b1b4b9b16= =2 故答案为： 2 【点评】本题考查了数列递推关系、 对数的运算性质， 考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 11 （5 分）设 a1、a2R ，且，则| 10a1a2| 的最 小值等于 【考点】 GF ：三角函数的恒等变换及化简求值 【专题】 35：转化思想； 4R ：转化法 【分析】 由题意，要使+=2，可得 sin 1=1，sin2 2= 1求出 1和

19、2，即可求出 | 1012| 的最小值 【解答】 解：根据三角函数的性质，可知sin 1，sin2 2的范围在 1，1 ， 要使+=2， sin 1=1，sin2 2=1 13 则：，k1Z ，即，k2Z 那么：1+2=（2k1+k2），k1、k2Z | 1012|=| 10（2k1+k2） | 的最小值为 故答案为： 【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用， 属于基本知识 的考查 12 （5 分）如图，用35 个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四 个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合= P1，P2，P3，P4 ，点 P ，过 P作直线 lP，使得不在

20、 lP上的“”的点分布在lP的两侧用 D1（lP） 和 D2（lP）分别表示 lP一侧和另一侧的“”的点到lP的距离之和若过P 的直线 lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP） ，则 中所有这样的 P为P1、 P3、P4 【考点】 F4：进行简单的合情推理 【专题】 35：转化思想； 44：数形结合法； 5M ：推理和证明 【分析】 根据任意四边形 ABCD 两组对边中点的连线交于一点， 过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧， 则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论 14 【解答】 解： 建立平面直角坐标系，如图所示； 则记为“”的四个点是A（0，3

21、） ，B（1，0） ，C（7，1） ，D （4，4） ， 线段 AB ，BC ，CD ，DA的中点分别为 E，F，G ，H ， 易知 EFGH 为平行四边形，如图所示； 设四边形重心为 M （x，y） ， 则+= ， 由此求得 M （3，2） ，即为平行四边形EFGH 的对角线交于点 P2， 则符合条件的直线lP一定经过点 P2， 且过点 P2的直线有无数条； 由过点 P1和 P2的直线有且仅有1 条， 过点 P3和 P2的直线有且仅有1 条， 过点 P4和 P2的直线有且仅有1 条， 所以符合条件的点是P1、P3、P4 故答案为： P1、P3、P4 【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用

22、问题，也考查了对基本问题的阅 读理解和应用转化能力 二、选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20分） 13 （5 分）关于 x、y 的二元一次方程组的系数行列式 D为（） ABCD 【考点】 O1 ：二阶矩阵 【专题】 11：计算题； 38：对应思想； 4O ：定义法； 5R：矩阵和变换 15 【分析】 利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解 【解答】 解：关于 x、y 的二元一次方程组的系数行列式： D= 故选： C 【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题， 解题时要认真审 题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用 14 （5 分）在数列 an中，an=（） n

23、，nN* ，则an（） A等于B等于 0C等于D不存在 【考点】 6F：极限及其运算 【专题】 38：对应思想； 4O ：定义法； 55：点列、递归数列与数学归纳法 【分析】 根据极限的定义，求出an=的值 【解答】 解：数列 an 中，an=（） n，nN*， 则an=0 故选： B 【点评】 本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题 15 （5 分）已知 a、b、c 为实常数， 数列xn 的通项 xn=an 2+bn+c，nN* ，则“存 在 kN * ，使得 x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（） Aa0Bb0Cc=0Da2b+c=0 【考点】 29：充

24、分条件、必要条件、充要条件 【专题】 34：方程思想； 54：等差数列与等比数列； 5L：简易逻辑 【分析】 由 x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得： 2x200+k=x100+kx300+k，代入化简即可 得出 16 【解答】解：存在 kN * ，使得 x100+k、x200+k、x300+k成等差数列， 可得：2a（200+k） 2+b（200+k）+c=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化 为：a=0 使得 x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a0 故选： A 【点评】本题考查了等差数列的通

25、项公式、简易逻辑的判定方法， 考查了推理能 力与计算能力，属于基础题 16 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 C1：=1和 C2：x 2+ =1P 为 C1上的动点， Q为 C2上的动点， w 是的最大值记= （P，Q ）|P 在 C1上，Q在 C2上，且=w，则 中元素个数为（） A2 个B4 个C8 个D无穷个 【考点】 K4：椭圆的性质 【专题】 34：方程思想； 48：分析法； 57：三角函数的图像与性质； 5D ：圆锥曲 线的定义、性质与方程 【分析】 设出 P（6cos，2sin ） ，Q （cos，3sin ） ，0 2，由 向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余

26、弦函数的值域，可得最大值 及取得的条件，即可判断所求元素的个数 【解答】 解：椭圆 C1：=1和 C2：x 2+ =1P为 C1上的动点， Q为 C2上的 动点， 可设 P（6cos，2sin ） ，Q （cos，3sin ） ，0 2， 则=6coscos+6sin sin =6cos（）， 当 =2k， kZ 时，w取得最大值 6， 则 = （P，Q ）|P 在 C1上，Q在 C2上，且=w中的元素有无穷多对 另解：令 P（m ，n） ，Q （u，v） ，则 m 2+9n2=36，9u2+v2=9， 17 由柯西不等式（ m 2+9n2） （9u2+v2）=324（3mu+3nv ）2，

27、当且仅当 mv=9nu ，取得最大值 6， 显然，满足条件的P、Q有无穷多对， D项正确 故选： D 【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函 数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题 三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分） 17 （14 分）如图，直三棱柱ABC A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和 AC的长分别为 4和 2，侧棱 AA1的长为 5 （1）求三棱柱 ABC A1B1C1的体积； （2）设 M是 BC中点，求直线 A1M与平面 ABC 所成角的大小 【考点】 LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM ：异面直线及

28、其所成的角 【专题】 11：计算题； 31：数形结合； 44：数形结合法； 5F：空间位置关系与距 离；5G ：空间角 【分析】 （1）三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V=SABCAA1=，由此能 求出结果 （2）连结 AM ，A1MA是直线 A1M与平面 ABC所成角，由此能求出直线A1M与平 面 ABC所成角的大小 【解答】 解： （1）直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形， 两直角边 AB和 AC的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5 三棱柱 ABC A1B1C1的体积： V=SABCAA1 18 = =20 （2）连结 AM ， 直三棱柱 ABC A1B1C1的

29、底面为直角三角形， 两直角边 AB和 AC的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5，M是 BC中点， AA1底面 ABC ，AM=， A1MA是直线 A1M与平面 ABC 所成角， tan A1MA=， 直线 A1M与平面 ABC 所成角的大小为arctan 【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法， 考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解 能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思 想，是中档题 18 （14分）已知函数 f （x）=cos 2xsin2x+ ，x（0，） （1）求 f （x）的单调递增区

30、间； （2）设 ABC为锐角三角形，角A所对边 a=，角 B所对边 b=5，若 f （A） =0，求 ABC的面积 【考点】 HT ：三角形中的几何计算 【专题】 35：转化思想； 48：分析法； 57：三角函数的图像与性质； 58：解三角 形 19 【分析】 （1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增 区间； （2）由 f （A）=0，解得 A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公 式，计算即可得到所求值 【解答】 解： （1）函数 f （x）=cos 2xsin2x+ =cos2x+，x（0，） ， 由 2k 2x2k，解得 kxk，kZ， k=1 时，x，

31、可得 f （x）的增区间为 ，） ； （2）设 ABC 为锐角三角形， 角 A所对边 a=，角 B所对边 b=5， 若 f （A）=0，即有 cos2A+ =0， 解得 2A= ，即 A= ， 由余弦定理可得 a 2=b2+c22bccosA， 化为 c 25c+6=0， 解得 c=2 或 3， 若 c=2，则 cosB=0， 即有 B为钝角， c=2不成立， 则 c=3， ABC 的面积为 S= bcsinA=53= 【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定 理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题 19 （14分）根据预测，某地第n（nN * ）个月共享单

32、车的投放量和损失量分别 为 an和 bn（单位：辆），其中 an=，bn=n+5，第 n 个月底 20 的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差 （1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量Sn=4（n46） 2+8800 （单位：辆）设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出 了此时停放点的单车容纳量？ 【考点】 5C ：根据实际问题选择函数类型 【专题】 38：对应思想； 49：综合法； 54：等差数列与等比数列 【分析】 （1）计算出 an和bn 的前 4 项和的差即可得出答案； （2） 令 anbn

33、得出 n42，再计算第 42 个月底的保有量和容纳量即可得出结论 【解答】 解： （1）an=，bn=n+5 a1=51 4+15=20 a2=52 4+15=95 a3=53 4+15=420 a4=104+470=430 b1=1+5=6 b2=2+5=7 b3=3+5=8 b4=4+5=9 前 4 个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965 ， 前 4 个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30 ， 该地区第 4 个月底的共享单车的保有量为96530=935 （2）令 anbn，显然 n3 时恒成立， 当 n4 时，有 10n+470n+

34、5，解得 n， 第 42 个月底，保有量达到最大 当 n4，an为公差为 10等差数列，而 bn 为等差为 1 的等差数列， 到第42 个月底，单车保有量为39+53542= 21 39+53542=8782 S42=416+8800=8736 87828736， 第 42 个月底单车保有量超过了容纳量 【点评】 本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题 20 （16 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ：=1，A为 的上 顶点， P为 上异于上、下顶点的动点，M为 x 正半轴上的动点 （1）若 P在第一象限，且 |OP|=，求 P的坐标； （2）设 P（） ，若以 A、P

35、、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐 标； （3）若|MA|=|MP| ，直线 AQ与 交于另一点 C，且，求直线 AQ的方程 【考点】 KL：直线与椭圆的综合 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 5E：圆锥曲线中的最值与范 围问题 【分析】 （1）设 P（x，y） （x0，y0） ，联立，能求出 P点坐标 （2）设 M （x0，0） ，A （0，1） ，P （） ，由P=90 ，求出 x0=；由M=90 ， 求出 x0=1或 x0=；由A=90 ，则 M点在 x 轴负半轴，不合题意由此能求 出点 M的横坐标 （3）设 C（2cos，sin ） ，推导出 Q （4

36、cos，2sin 1） ，设 P（2cos， sin ） ，M （x0，0）推导出 x0=cos，从而4cos2cos=5cos，且 2sin sin 1=4sin ，cos=cos，且 sin =（12sin ） ， 由此能求出直线 AQ 22 【解答】 解： （1）设 P（x，y） （x0，y0） ， 椭圆 ：=1，A为 的上顶点， P为 上异于上、下顶点的动点， P在第一象限，且 |OP|=， 联立， 解得 P（，） （2）设 M （x0，0） ，A（0，1） ， P（） ， 若P=90 ，则?，即（ x0，）? （，）=0， （）x0+=0，解得 x0= 如图，若 M=90 ，则?=0

37、，即（ x0，1）? （x0，）=0， =0，解得 x0=1 或 x0= ， 若A=90 ，则 M点在 x 轴负半轴，不合题意 点 M的横坐标为，或 1，或 （3）设 C（2cos，sin ） ， ，A（0，1） ， Q （4cos，2sin 1） ， 又设 P（2cos，sin ） ，M （x0，0） ， |MA|=|MP| ，x0 2+1=（2cos x 0） 2+（sin ）2， 整理得： x0=cos， =（4cos2cos，2sin sin 1） ，=（cos，sin ）， ， 4cos2cos=5cos， 且 2sin sin 1=4sin ， 23 cos=cos，且 sin =

38、（12sin ） ， 以上两式平方相加，整理得3（sin ） 2+sin 2=0，sin = ，或 sin = 1（舍去） ， 此时，直线 AC的斜率 kAC=（负值已舍去），如图 直线 AQ为 y=x+1 【点评】本题考查点的坐标的求法， 考查直线方程的求法， 考查椭圆、直线方程、 三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化 思想、函数与方思想，是中档题 21 （18 分）设定义在R上的函数 f （x）满足：对于任意的x1、x2R ，当 x1 x2时，都有 f （x1）f （x2） （1）若 f （x）=ax 3+1，求 a 的取值范围； （2）若 f （x）是周期函

39、数，证明： f （x）是常值函数； 24 （3）设 f （x）恒大于零， g（x）是定义在 R上的、恒大于零的周期函数，M是 g（x）的最大值函数h（x）=f （x）g（x） 证明：“ h（x）是周期函数” 的充要条件是“ f （x）是常值函数” 【考点】 3Q ：函数的周期性 【专题】 35：转化思想； 49：综合法； 51：函数的性质及应用 【分析】 （1）直接由 f （x1）f （x2）0 求得 a 的取值范围； （2）若 f（x）是周期函数， 记其周期为 Tk，任取 x0R ，则有 f（x0）=f（x0+Tk） ， 证明对任意 xx0， x0+Tk ， f（x0） f（x） f（x0+

40、Tk） ， 可得 f（x0） =f（x0+nTk） ， nZ，再由 x03Tk，x02Tk x02Tk，x0Tk x0Tk，x0 x0， x0+Tk x0+Tk，x0+2Tk =R ，可得对任意xR ，f （x）=f （x0）=C，为常 数； （3）分充分性及必要性证明类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证 明 【解答】 （1）解：由 f （x1）f （x2） ，得 f （x1）f （x2）=a（x1 3x 2 3）0， x1x2，x1 3x 2 30，得 a0 故 a 的范围是 0 ，+） ； （2）证明：若 f （x）是周期函数，记其周期为Tk，任取 x0R，则有 f （x0）=f（

41、x0+Tk） ， 由题意，对任意 xx0，x0+Tk ，f （x0）f （x）f （x0+Tk） ， f （x0）=f（x）=f （x0+Tk） 又f （x0）=f（x0+nTk） ，nZ，并且 x03Tk，x02Tk x02Tk，x0Tk x0Tk，x0 x0，x0+Tk x0+Tk， x0+2Tk =R ， 对任意 xR ，f （x）=f（x0）=C ，为常数； （3）证明：充分性：若f （x）是常值函数，记f （x）=c1，设 g（x）的一个周 期为 Tg，则 h（x）=c1? g（x） ，则对任意 x0R ， h（x0+Tg）=c1? g（x0+Tg）=c1? g（x0）=h（x0）

42、， 25 故 h（x）是周期函数； 必要性：若 h（x）是周期函数，记其一个周期为Th 若存在 x1，x2，使得 f （x1）0，且 f （x2）0，则由题意可知， x1x2，那么必然存在正整数N1，使得 x2+N1Tkx1， f （x2+N1Tk）f （x1）0，且 h（x2+N1Tk）=h（x2） 又 h（x2）=g（x2）f （x2）0，而 h（x2+N1Tk）=g（x2+N1Tk）f （x2+N1Tk）0h（x2） ，矛盾 综上， f （x）0恒成立 由 f （x）0 恒成立， 任取 x0A，则必存在 N2N，使得 x0N2Thx0Tg， 即x0Tg，x0 ? x0N2Th，x0 ，

43、x03Tk，x02Tk x02Tk，x0Tk x0Tk，x0 x0，x0+Tk x0+Tk， x0+2Tk =R ， x02N2Th，x0N2Th x0N2Th，x0 x0，x0+N2Th x0+N2Th，x0+2N2Th =R h（x0）=g（x0）? f （x0）=h（x0N2Th）=g（x0N2Th）? f （x0N2Th） ， g（x0）=M g（x0N2Th）0，f （x0）f （x0N2Th）0 因此若 h（x0）=h（x0N2Th） ，必有 g（x0）=M=g （x0N2Th） ，且 f （x0）=f（x0 N2Th）=c 而由（ 2）证明可知，对任意xR，f （x）=f（x0）=C ，为常数 综上，必要性得证 【点评】本题考查抽象函数及其应用， 考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分 类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大