2018届高三3月高考适应性调研考试数学(理)试卷.pdf

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1、一、选择题：本大题共12 小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 设集合，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】， ，所以正确的是C. 2. 已知复数满足，若 的虚部为1，则 在复平面内对应的点在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 A 【解析】,虚部为, 即, 故对应点在第一象限 . 3. 在等比数列中，则（） A. 14 B. 28 C. 32 D. 64 【答案】 C 【解析】，所以，所以。 故选 C。 4. 设且，则“”是“”的（） A. 充分不

2、必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 D 【解析】当时，所以； 当时，所以。 所以是必要不充分条件，故选B。 5. 我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人， 他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14 ， 如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的值为 _（参考数据： ，） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】 D 故选 D。 6. 若两个非零向量， 满足，则向量与 的夹角为（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由，得，

3、所以如图， 令，则， 则与 的夹角即，由条件可知， 故选 A。 7. 在的展开式中，含项的系数为（） A. 25 B. C. D. 【答案】 C 【解析】的展开式中含项的系数为选 B. 8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的体积为（） A. B. C. 3 D. 8 【答案】 B 【解析】如图， 所以体积为，故选 B。 点睛：本题考查三视图还原求体积，关键是正确得到立体图形。本题利用正方体得到目标的 立体图形，这也是三视图还原的一种主要方法。一般的，我们还可以通过俯视图还原来得到 立体图形。 9. 某学校、 两个班的数学兴趣小组在一次数学

4、对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶 图比较两班数学兴趣小组成绩的平均值及方差 班数学兴趣小组的平均成绩高于班的平均成绩 班数学兴趣小组的平均成绩高于班的平均成绩 班数学兴趣小组成绩的标准差大于班成绩的标准差 班数学兴趣小组成绩的标准差大于班成绩的标准差 其中正确结论的编号为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 A班： 53,63,64,76,74,78,78,76,81,85,86,88,82,92,95； B班： 45,48,51,53,56,62,64,65,73,73,74,70,83,82,91， 所以 A班平均数为78， B班平均数为66，则 A班平均成绩高于B班

5、平均成绩； 由茎叶图可知， A班成绩相对集中，B班成绩相对分散，所以 B班的标准差大于A班的标准差。 所以正确，故选B。 10. 已知函数，的部分图像如图所示，已知点，若 将它的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数图像的一条对称轴方程为 （） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】，所以， 所以，移动后得， 所以对称轴满足，解得， 所以满足条件的一条对称轴方程为。故选 A。 11. 倾斜角为的直线经过椭圆右焦点， 与椭圆交于、 两点，且， 则该椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】设到右准线距离为，因为，所以到右准线距离为，从而 倾斜角为，选 B.

6、 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不 等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利 用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12. 已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且（为函数 的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】令 取，则 B,D 错； 因为，所以，所以 C正确 . 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要 构造 . 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造 ，构造，构造等 二、填空题（每题5 分，满分20 分，

7、将答案填在答题纸上） 13. 用组成无重复数字的五位数，若用分别表示五位数的万位、千位、百 位、十位、个位，则出现特征的五位数的概率为_ 【答案】 【解析】基本事件的总数为. 中间最大 , 只能放, 即,其它位置的方法数为 种, 故概率为. 14. 设变量满足约束条件，则的最大值为 _ 【答案】 3 15. 已知数列的前 项和，如果存在正整数，使得成立，则实 数的取值范围是 _ 【答案】 【解析】由题意，且， 所以的取值范围是。 点睛：本题考查数列求通项。本题中考查公式的应用，所以由题意可知 ；由恒成立的条件，得到，所以观察数列特征，得到 答案。 16. 在内切圆圆心为的中，在平面内，过点作动

8、直 线 ，现将沿动直线翻折， 使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在 直线 上的射影为，则的最小值为 _ 【答案】 【解析】画出图象如下图所示. 由于, 所以平面, 所以三点共线 . 以 分别为轴建立平面直角坐标系, 则, 设直线 的方程为, 则直线的方程为. 令求得,而. 联立解得 . 由点到直线的距离公式可计算得, 所以 . 即最小值为. 【点睛】本小题主要考查空间点线面的位置关系, 考查线面垂直的证明,考查三点共线的证明, 考查利用坐标法解决有关线段长度比值的问题, 是一个综合性很强的题目. 首先考虑折叠问题, 折叠后根据线线垂直关系推出三点共线 , 将问题转化为平面问题来解决, 设

9、好坐标系后写 出直线 的方程即直线的方程 , 根据点到直线距离公式写出比值并求出最值. 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. 已知的内角的对边长分别为，且. （1）求角的大小； （2）设为边上的高，求的范围 . 【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析： （1）先根据正弦定理化边角关系为角的关系，再根据三角形内角关系以 及诱导公式化简得，即得角的大小，（2）根据三角形面积关系得，再根据 余弦定理得范围，即得的范围 . 试题解析：（1）在中， 即： 则： （2）， 由余弦定理得： （当且仅当时等号成立） 18. 随着网络的发展，网上购

10、物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策 略越来越多样化，促销费用也不断增加. 下表是某购物网站2017 年 1-8 月促销费用（万元） 和产品销量（万件）的具体数据. （1）根据数据可知与 具有线性相关关系，请建立关于的回归方程（系数精确 到） ； （2）已知 6 月份该购物网站为庆祝成立1 周年，特制定奖励制度：以（单位：件）表示日销 量，则每位员工每日奖励100 元；，则每位员工每日奖励150 元；，则每位员工每日奖励200 元. 现已知该网站6月份日销量服从正态分布 ，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元.（当月奖励金额总数精确到百 分位） 参考数据：，其中，分别为

11、第个月的促销费用和产品销量， . 参考公式： （1）对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二 乘估计分别为，. （2）若随机变量服从正态分布，则，. 【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析： （1）先求均值，再代入公式求以及，即得回归方程， （2）先根据正态 分布计算各区间概率，再根据概率乘以总数得频数，最后将频数与对应奖励相乘求和得结果. 试题解析：（1）由题可知， 将数据代入得 所以关于 的回归方程 （2）由题 6 月份日销量服从正态分布，则 日销量在的概率为， 日销量在的概率为， 日销量的概率为， 所以每位员工当月的奖励金额总数为 元. 19. 如图，三棱柱中，侧面为的菱形，.

12、（1）证明：平面平面. （2）若，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正 弦值 . 【答案】 (1) 见解析 (2) 【解析】【试题分析】(1) 连接交于，连接, 根据菱形的几何性质与等腰三角形的 几何性质可知, 由此证得平面, 故平面平面 .(2) 以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系, 通过计算直线 的方向向量与平面的法向量 , 来求得直线与平面所成角的正弦值. 【试题解析】 （1）连接交于，连接 侧面为菱形， ，为的中点， 又，平面 平面平面平面. （2）由，平面，平面 从而，两两互相垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空 间直角坐标系 直线与平面所成的角

13、为， 设，则，又，是边长为2 的等边三角形 ， 设是平面的法向量，则即 令则 设直线与平面所成的角为 则 直线与平面所成角的正弦值为. 20. 已知圆的圆心在抛物线上，圆过原点且与抛物线的准 线相切 . （1）求该抛物线的方程. （2） 过抛物线焦点的直线 交抛物线于两点，分别在点处作抛物线的两条切线交于点， 求三角形面积的最小值及此时直线的方程 . 【答案】 (1) (2) 三角形面积最小值为4，此时直线的方程为 【解析】【试题分析】(1) 写出圆心 / 半径 , 焦点坐标和准线方程,根据原点在圆上及圆心到抛物 线的距离建立方程, 解方程组求得的值 , 由此得到抛物线方程.(2) 设出直线的

14、方程 , 联立直 线的方程和抛物线线的方程, 写出韦达定理, 利用导数求出切线的方程, 求出交点的坐标 , 利 用弦长公式和点到直线距离公式写出三角形面积的表达式, 并由此求得最小值. 【试题解析】 （1）由已知可得圆心，半径，焦点，准线 因为圆 C与抛物线F 的准线相切，所以， 且圆 C过焦点 F， 又因为圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上， 即 所以，即，抛物线F的方程为 （2）易得焦点，直线 L 的斜率必存在，设为k，即直线方程为 设 得， 对求导得，即 直线 AP的方程为，即， 同理直线BP方程为 设， 联立 AP与 BP直线方程解得，即 所以，点 P到直线 AB的距离

15、所以三角形PAB面积，当仅当时取等号 综上：三角形PAB面积最小值为4，此时直线L 的方程为. 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系. 直线与圆锥曲线 位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的 考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的 关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.涉及弦长的 问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根 与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解 21.

16、 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数存在极大值，且极大值点为1，证明：. 【答案】 (1) 见解析 (2) 见解析 【解析】试题分析： （1）先求导数，再根据a 讨论导函数符号以及零点，根据导函数符号确 定单调性，（2）由极值定义求a，再作差函数：，对函数二次求导得差 函数存在最小值，转化证明最小值非负即可. 试题解析：（1）由题意， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数单调递增， ，故当时，当 时，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增； 当，函数单调递减，故当 时，当时，所以函数在上单调递 增，函数在上单调递减 . （2）由得，令，则 当时， 所以与矛盾； 当时， 所以与矛盾

17、； 当时， 得，故成立， 得，所以，即. 点睛： 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数. 根据差函数导 函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2）根据条件， 寻找目标函数. 一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等 量代换将多元函数转化为一元函数. 请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线、的极坐标方程； （2）射线与曲线、分别

18、交于点（且均异于原点） ，当时， 求的最小值 . 【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析： （ 1）由极坐标的转化方法易知，曲线的极坐标方程为，的极 坐标方程为； （2）联立方程得 。 试题解析： （1）曲线的普通方程为，的极坐标方程为， 的极坐标方程为 （2）联立与的极坐标方程得， 联立与的极坐标方程得， 则 . （当且仅当时取等号）， 所以的最小值为. 23. 选修 4-5 ：不等式选讲 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若，当，且时，求实数的取值范围 . 【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析： （1）分段得到分段函数，分别求解不等式，得； （2）整理得 ，所以，解得取值范围为. 试题解析： （1）当时， 当时，无解； 当时，的解为； 当时，无解； 当时， 所以可化为 又的最大值必为、之一 即即. 又所以. 所以取值范围为.