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1、绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1已知集合 2 1,0,1,21ABx x，则 AB A1,0,1B0,1C1,1D0,1,2 2若 (1i)2iz ，则 z= A
2、 1i B 1+i C1 i D1+i 3两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 4西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典 小说四大名著 .某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅 读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅 读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该校阅读过西游记的学生 人数与该校学生总数比值的估计值为 A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 5函数( )2sinsin2f xxx在0，2 的零点个数为 A2 B3
3、C4 D5 6已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3= A 16 B 8 C4 D 2 7已知曲线eln x yaxx在点（ 1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 Aa=e，b=-1 Ba=e，b=1 Ca=e-1，b=1 Da=e-1，1b 8如图，点 N 为正方形 ABCD的中心， ECD为正三角形，平面ECD 平面 ABCD ，M 是线 段 ED的中点，则 ABM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 BBM EN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线 DBM EN，且直线 BM，EN 是异面直
4、线 9执行下边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出 s的值等于 A. 4 1 2 2 B. 5 1 2 2 C. 6 1 2 2 D. 7 1 2 2 10已知 F是双曲线 C ： 22 1 45 xy 的一个焦点，点 P在 C上，O为坐标原点，若=OPOF ， 则OPF的面积为 A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 11记不等式组 6, 20 xy xy 表示的平面区域为 D.命题: ( , ),29px yDxy；命题 :( , ),212qx yDxy,.下面给出了四个命题 pq pq pqpq 这四个命题中，所有真命题的编号是 ABCD 12设 fx 是定义域为 R的偶
5、函数，且在 0,单调递减，则 Af（log3 1 4 ）f（ 3 2 2） f（ 2 3 2） Bf（log3 1 4 ）f（ 2 3 2）f（ 3 2 2） Cf（ 3 2 2） f（ 2 3 2） f（log3 1 4 ） Df（ 2 3 2）f（ 3 2 2）f（log3 1 4 ） 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量(2,2),( 8,6)ab，则cos,a b_. 14记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 37 5,13aa，则 10 S_. 15设 12 FF，为椭圆 C : 22 +1 3620 xy 的两个焦点， M 为 C上一点且在
6、第一象限 .若 12 MF F为等 腰三角形，则 M 的坐标为 _. 16 学生到工厂劳动实践， 利用 3D 打印技术制作模型 .如图， 该模型为长方体 1111 ABCDA B C D 挖去四棱锥 O- EFGH后所得的几何体，其中O 为长方体的中心， E ，F，G，H分别为所在 棱的中点， 1 6cm4cmAB = BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印 损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
7、 （一）必考题：共60 分。 17（12 分） 为了解甲、 乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验： 将200只小鼠随机分成 A， B两组，每组 100只，其中 A组小鼠给服甲离子溶液， B组小鼠给服乙离子溶液 .每只小鼠给 服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠 体内离子的百分比 .根据试验数据分别得到如下直方图： 记C 为事件： “ 乙离子残留在体内的百分比不低于5.5” ，根据直方图得到 P（C）的估计值 为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为
8、代表） . 18（12 分） ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知sinsin 2 AC abA （1）求 B； （2）若 ABC为锐角三角形，且c=1，求 ABC面积的取值范围 19（12 分） 图 1 是由矩形 ADEB 、RtABC和菱形 BFGC 组成的一个平面图形， 其中 AB=1，BE =BF =2， FBC =60 .将其沿 AB，BC折起使得 BE与 BF重合，连结 DG ，如图 2. （1）证明图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面ABC 平面 BCGE ； （2）求图 2 中的四边形 ACGD的面积 . 20（12 分） 已知函数 32 ( )22
9、f xxax. （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）当00，则当(,0), 3 a x时， ( )0fx；当0, 3 a x时， ( )0fx故( )f x在 (,0), 3 a 单调递增，在0, 3 a 单调递减； 若 a=0，( )f x在(,)单调递增； 若 a0，则当,(0,) 3 a x时， ( )0fx；当,0 3 a x时， ( )0fx故( )f x在 ,(0,) 3 a 单调递增，在,0 3 a 单调递减 . （2）当 03a时，由（1）知， ( )f x在0, 3 a 单调递减，在,1 3 a 单调递增，所以( )f x 在0,1的最小值为 3 2 327 aa f
10、，最大值为 (0)=2f或(1)=4fa.于是 3 2 27 a m， 4,02, 2,23. aa M a 所以 3 3 2,02, 27 ,23. 27 a aa Mm a a 当 02a时，可知 3 2 27 a a单调递减，所以 Mm的取值范围是 8 ,2 27 . 当 23a时， 3 27 a 单调递减，所以 Mm的取值范围是 8 ,1) 27 . 综上， Mm的取值范围是 8 ,2) 27 . 21解：（ 1）设 11 1 , 2 D tA xy，则 2 11 2xy. 由于yx，所以切线 DA的斜率为 1 x，故 1 1 1 1 2 y x xt . 整理得 11 22 +1=0
11、. txy 设 22,B xy ，同理可得 22 22 +1=0txy. 故直线 AB的方程为2210txy. 所以直线 AB过定点 1 (0,) 2 . （2）由（ 1）得直线 AB的方程为 1 2 ytx. 由 2 1 2 2 ytx x y ，可得 2 210xtx. 于是 2 121212 2 ,121xxt yyt xxt. 设M为线段 AB的中点，则 21 , 2 Mt t. 由于EMAB，而 2 ,2EMt t，AB与向量(1, ) t平行，所以 2 20ttt.解得t=0 或1t. 当 t=0时，|EM=2，所求圆的方程为 2 2 5 4 2 xy； 当1t时，| |2EM ，
12、所求圆的方程为 2 2 5 2 2 xy. 22.解：（1）由题设可得，弧,AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin， 2cos. 所以 1 M的极坐标方程为 2cos0 4 ， 2 M的极坐标方程为 3 2sin 44 ， 3 M的极坐标方程为 3 2cos 4 . （2）设( ,)P，由题设及（ 1）知 若 0 4 ，则2cos3，解得 6 ； 若 3 44 ，则2sin3，解得 3 或 2 3 ； 若 3 4 ，则2cos3，解得 5 6 . 综上， P的极坐标为 3, 6 或 3, 3 或 2 3, 3 或 5 3, 6 . 23解：（ 1）由于 2 (1)(1)(1
13、)xyz 222 (1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx 222 3 (1)(1)(1)xyz， 故由已知得 2224 (1)(1)(1) 3 xyz， 当且仅当 x= 5 3 ， 1 3 y， 1 3 z时等号成立 所以 222 (1)(1)(1)xyz的最小值为 4 3 . （2）由于 2 (2)(1)()xyza 222 (2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)xyzaxyyzazax 222 3 (2)(1)()xyza， 故由已知 2 222 (2) (2)(1)() 3 a xyza， 当且仅当 4 3 a x ， 1 3 a y ， 22 3 a z 时等号成立 因此 222 (2)(1)()xyza的最小值为 2 (2) 3 a 由题设知 2 (2)1 33 a ，解得3a或1a