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1、输出p 1kk pp k kN 开始 1,1kp 输入N 结束 否 是 第3题 普通高等学校招生全国统一考试全真模拟试卷 理科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案用黑色签字笔写在答题卡上，写在试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1已知集合1Mx x， 2 0Nx xx，则（ ） AMNBNMC 1M
2、Nx xD0MNx x 2设2 i 3i35 ixy（i 为虚数单位），其中x，y是实数，则ixy 等于（ ）A5 B13C 2 2D2 3执行右面的程序框图()NN，那么输出的p是（ ） A. 3 3 A N N B. 2 2 A N N C. 1 1 A N N D.A N N 4若 31 cos 23 ，且 2 2 ，则sin 2a的值为（） A 4 2 9 B 22 9 C 2 2 9 D 42 9 5 5 2 1 11x x 的展开式中 2 x 的系数为（） A15 B15C5 D5 6已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的离心率为5，左焦点为F，过点F 与x轴垂直的
3、直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M，N，若OMN的 面积为 20，其中O是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（） A 22 1 28 xy B 22 1 48 xy C 22 1 82 xy D 22 1 84 xy 7某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A42B26C4D 24 8现有 5 人参加抽奖活动， 每人依次从装有 5 张奖票 (其中 3 张为中奖票 )的箱子中不放回地随机 抽取一张，直到 3 张中奖票都被抽出时活动结束， 则活动恰好在第 4 人抽完后结束的概率为 （） A 1 10 B 1 5 C 3 10 D 2 5 9已知函数 2 4sin2sin20 284
4、 x fxx的图象关于点 3 ,0 4 对称且 fx 在区间 2 0, 3 上单调，则的值为（）A2 B 10 3 C 2 3 D 3 8 10在正三棱柱 111 ABCA BC ( 底面是正三角形 , 侧棱垂直于底面的棱柱)中，所有棱长之和为定 值 a. 若正三棱柱 111 ABCA BC 的顶点都在球O的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时， 该球的表面积为（） A 4 3 B 32 3 C12 D 64 3 11已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的短轴长为 2，上顶点为A，左顶点为B， 1 F ， 2 F 分别是椭圆 的左、右焦点，且 1 F AB的面积为 23 2 ，
5、点P为椭圆上的任意一点，则 12 11 PFPF 的取值范围 为（）A 12，B23，C2 4，D 14， 12已知对任意 2 1 e e x ，不等式 2 e x a x 恒成立 ( 其中e271828是自然对数的底数），则实数 a的取值范围是（）A e 0 2 ，B 0e，C 2e，D 2 4 e ， 第卷：本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。 13若两个非零向量 a 、b满足2ababb ，则向量a b与 a的夹角为 _ 14已知实数x，y满足条
6、件 40 220 00 xy xy xy， ，若z axy的最小值为8，则实数a _ 15 若函数fx是偶函数0x时，lg1fxx， 则满足211fx的实数x取值范围是 _ 16 如图， 在 ABC中，2, 3 BCABC，AC的垂直平分线DE与,AB AC 分别交于DE，两点，且 6 2 DE，则A=_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知数列 n a的前n项和 n S 满足： 11nn a aS S . （）求数列 n a的通项公式；（）若0 n a，数列 2 log 32 n a 的前 n项和为 n T ，试问当 n为何 值时， n T 最小？ 18 （12 分
7、）如图，在三棱柱 111 ABCABC 中， 11 B BB AABBC ， 1 90B BC，D为AC的中点， 1 ABB D。 （）求证：平面 11 ABB A平面ABC； （）在线段 1 CC （不含端点） 上，是否存在点E，使得二面角 1 EB DB 的余弦值为 7 14 ？若存在，求出 1 | | CE CC 的值，若不存在，说明理由。 19 （12 分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机 抽取了 100 人的身高数据进行统计分析 经数据处理后， 得到了如下图 1 所示的频事分布直方图， 并发现这 100 名学生中，身不低于1.69 米的学生只有
8、 16 名，其身高茎叶图如下图2 所示，用样 本的身高频率估计该市高一学生的身高概率 （1）求该市高一学生身高高于1.70 米的概率，并求图 1 中a、b、c的值 （2）若从该市高一学生中随机选取3 名学生，记为身高在 1 50,1 70的学生人数，求的分布 列和数学期望； （3） 若变量S满足0 6826PS.且220 9544PS， 则称变量S满 足近似于正态分布 2 ,N的概率分布如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布 1.6,0.01N的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的试判断该市高一学生的 身高发育总体是否正常，并说明理由 20 （12 分）设抛物线的顶点为坐标原点
9、，焦点F在y轴的正半轴上，点A是抛物线上的一点，以 A为圆心， 2 为半径的圆与y轴相切，切点为F （1）求抛物线的标准方程： （2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连 接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程 21 （12 分）已知函数 1 ln 1 m x fxx x ， 2 ln1,g xxxn xm nR （ 1）若函数fx，g x在区间0,1上均单调且单调性相反，求 m，n的取值范围； （ 2）若0ab，证明： lnln2 abab ab ab 请考生在22、23 题中任选一题作答, 如果多做 , 则按所做的第一题计分。 22
10、 （10分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sincos，点P的曲线C上运动 （1）若点Q在射线OP上，且4OPOQ，求点Q的轨迹的直角坐标方程； （2）设 3 4 4 M，求MOP面积的最大值 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】设0a，0b，且 22 2a bab，求证： （1） 33 2ab； （2） 55 4abab 理科数学答案 1B 2A 3C 4A 5C 6 A 7 D 【解析】 由三视图可得，该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体(如图所 示） ，其体积2 212
11、24V 8 【答案】 C9 【答案】 C10 【答案】 D11 【答案】 D12 【答案】 A 【解 析 】 由 2 e x a x 得2ln x x a 在 2 1 e e x ，上 恒 成 立 ， 即 12 l n x ax 在 2 1 e e x ，上恒成立令 2ln x fx x ， 2 1 e e x ，则 2 2 1ln x fx x ， 当 1 e e x ，时，0fx， fx 单调递增，当 2 eex，时，0fx， fx 单调递减 max 2 e e fxf， 12 e e f a ， e 0 2 a故实数a的取值范围是 e 0 2 ，选 A 13 【答案】 6 14【答案】2
12、15 【答案】5 4，16 4 A 17 （）02 n nn aa或（）因为0 n a，故2 n n a.设2log 32 n n a b，则5 n bn，显然 n b 是等差数列，由 50n 解得 5n ，当 4n 或 5n ， n T 最小， 最小值为 45 540 10 2 TT. 18解： （）取AB中点为O，连接OD， 1 OB ， 因为 11 B BB A，所以 1 OBAB，又 1 ABB D， 111 OBB DB ， 所 以AB平 面 1 B O D ， 因 为OD平 面 1 B O D ， 所 以 A BO D，2 分 由已知， 1 BCBB ，又ODBC，所以 1 ODB
13、B ，因为 1 ABBBB ， 所以OD平面 11 ABBA ，又OD平面ABC，所以平面 11 ABB A平面ABC；5 分 （）由（）知OB，OD， 1 OB 两两垂直，以O为坐标原点， OB的方向为 x轴的方向， |OB 为 单位长度 1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz。 由题设知， 1(0,0, 3)B，(1,0,0)B，(0,1,0)D，( 1,0,0)A，(1,2,0)C， 1(0,2, 3)C， 1 (0,1,3)B D， 1 (1,0,3)B B， 设 1 CECC(01)，则 11 (1,2,3(1)B EBCCE，7 分 设平面 1 BB D 的法向量 111 (,)
14、mx y z ， 则 1 1 0 0 m B D m B B ，得 11 11 30 30 yz xz ，令 1 1z，则 11 3xy，( 3, 3,1)m， 同理，设平面 1 B DE 的法向量 222 (,)nxyz， 则 1 1 0 0 n B D n B E ，得 22 222 30 (1)23(1)0 yz xyz ， 令 2 1z，则 2 1 3 1 x， 2 3y， 1 (3,3,1) 1 n9 分 设二面角 1 EB DB的大小为， 则 2 33 3 1 7 1 cos |14 1 7 34 1 m n m n 解得 1 3 ，11 分 所以在线段 1 CC 上，存在点E，使
15、得二面角 1 EB DB的余弦值为 7 14 ，此时 1 |1 |3 CE CC 12分 19 【解析】 （1）由图 2 可知， 100 名样本学生中身高高于1.70米共有 15 名，以样本的频率估计 总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为 0.15 记 X 为学生的身高，结合图1 可得： 2 1.301.401.801.900.02 100 fXfX， 13 1.401.501.701.800.13 100 fXfX， 1 1.501.601.601.70120.022 0.130.35 2 fXfX， 又由于组距为 0.1，所以0 2a.，1 3b.，3 5c. （2）以样本
16、的频率估计总体的概率，可知从这批学生中随机选取1 名，身高在 1.50,1.70 的概率 为 1.501.701.501.601.601.700.7PXfXfX ， 因为从这批学生中随机选取3 名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量服从二项分布3,0.7B，故 的分布列为： 3 3 C0.30.70,1,2,3 nnn Pnn， 0 1 2 3 P0.027 0.189 0.441 0.343 00027 1 018920 441 3 0 34321E. （或30 721E ） （3）由 1.6,0.01N ，取 1 60. ，0 1 .， 由（2）可知，X1 501 700 70 682
17、6PPX， 又结合（ 1） ，可得：2X21.401.80PPX， 21.70X1.801.501.70)0.960.544fPX（，所以这批学生的身高满足近似于正态分 布1.6,0.01N的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的 20 【解析】 （1） 2 4xy （2）由题知直线m的斜率存在，设其方程为6ykx， 由 2 6 4 ykx xy 消去y整 理 得 2 4240xkx ，显 然 2 16960k 设11P xy，22Q xy，则 12 12 4 ?24 xxk xx 抛物线在点 2 1 1 4 x P x，处的切线方程为 2 11 1 42 xx yxx， 令1y
18、，得 2 1 1 4 2 x x x ，可得点 2 1 1 4 1 2 x R x ， 由Q，F，R三点共线得 QFFR kk， 2 2 2 12 1 1 11 4 4 2 x xx x ，即 22 121 2 44160xxx x， 整理得 2 2 12121 212 ()4216160x xxxx xx x， 22 24442241616240k，解得 2 1 4 k，即 1 2 k， 所求直线m的方程为 1 6 2 yx或 1 6 2 yx 21 【解析】 （1） 2 22 221 12 11 xm x m fx x xx x ， 令 2 221h xxm x，010h，又函数 fx 在
19、 0,1 上单调，所以 fx 在 0,1 上单调 递增， 1 022h xmx x ，而 1 2x x ，所以222m，即2m， 所以 g x 在 0,1 上单调递减所以ln120gxxnx在 0,1 上恒成立， 即 ln1 2 x n x ，令 ln1 ( )0,1 x xx x ， 2 ln 0 x x x ， 所以x 在 0,1 上单调递增，11x，所以2 1n ，即 1 2 n （2）在（ 1）中，令2m， 21 ln 1 x fxx x 在 0,1 上单调递增， 21 ln10 1 x fxxf x ，即 21 ln 1 x x x ， 令0,1 a x b ，得 21 2 ln 1
20、 a aba b a bab b ，ln0 a b ， lnln2 abab ab ， 在（1）中，令 1 2 n，由 g x 在 0,1 上单调递减得10g xg， 所以 21 ln10 2 xxx即 11 ln 2 xx x ，取0,1 a x b 得， 1 ln 2 aab bba ， 即lnln ab ab ab ，由lnln0ab得： lnln ab ab ab ， 综上所述， lnln2 abab ab ab 22 【解析】 （1）设,Q，则 11 0,0P，又4OPOQ， 1 4， 1 4 ， 4 sincos，cossin4将cosx，siny代入上式可得点Q的直角坐标方程 为4xy（ 2 ） 设,0P， 则c o ss i n， 3 4 4 M， ， MOP 的 面 积 1322 4sin2cossin 2422 S 2 2c o ss i n21s i n 222， 当且仅当sin 21，即 4 时等号成立MOP面积的最大值为2 2(用直角坐标方程求解， 参照给分）