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1、一、选择题 ( 本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1若复数z(1i)(3ai)(其中 i 为虚数单位 ) 为纯虚数，则实数a( ) A3 B 3 C2 D 2 解析：选B.z(1 i)(3ai) 33i ai a 3a(3 a)i ，z为纯虚数， a 30， 3a0， a 3. 2已知集合M0 ，1，3， 5，7 ，N2 ， 3，4，5 ，PMN，则集合P的子集个数 为( ) A4 B 3 C2 D 1 解析：选 A.PMN3，5 ，其子集个数为4. 3已知函数f(x) cos x 3 图象的一条对称轴为直线x 6 ，则实数
2、的值不可 能是 ( ) A 2 B 4 C12 D 16 解析：选C.由题可得 6 3 k，kZ，得 26k，kZ，故令 2， 得k0；令 4，得k 1；令 16，得k3；令 12，得k 7 3?Z，故 12. 故选 C. 4某啤酒厂搞促销活动，在100 000 听啤酒 ( 编号为 1100 000) 中，采用系统抽样的 方法抽出5% 的啤酒，并在它们盖内侧写上中奖字样，若样本中的最大编号是99 996 ，则样 本中的最小编号是( ) A13 B 14 C15 D 16 解析：选 D. 由题意得，采用系统抽样的方法在100 000 听啤酒中抽取5% 的啤酒，间隔 为 20，而最大编号为99 9
3、96 ，比 100 000 少 4，故样本中的最小编号为20416. 5已知函数f(x) x 4 x 2，函数 g(x) 是定义在 R上且周期为2 的奇函数，则 ( ) Af(g(x) 是偶函数，不是周期函数 Bf(g(x) 是偶函数，且是周期函数 Cf(g(x) 是奇函数，不是周期函数 Df(g(x) 是奇函数，且是周期函数 通解：选 B.函数f(x) x 4 x 2 是偶函数， f( x) f(x) 令h(x) f(g(x) ，则h( x) f(g( x) f( g(x) f(g(x) h(x) ，h(x) 是偶 函数，g(x2) g(x) ， f(g(x2) f(g(x) ，f(g(x)
4、 是周期函数，选B. 优解： 函数g(x) 是定义在 R上且周期为2的奇函数，不妨设g(x) sin x， 则f(g(x) (sin x) 4(sin x)2， f(g(x) 是偶函数，f(g(x2) sin (x2) 4sin ( x 2) 2 (sin x) 4(sin x) 2f (g(x) ， f(g(x) 是周期函数 6已知等比数列an满足an0，a1a2 1 3， a3a43，则a5a6( ) A9 B 27 C81 D 243 解析：选 B. 由等比数列的性质可知(a3a4) 2 ( a1a2)(a5a6) ，a5a627. 7如图为一多面体的三视图，则此多面体的表面积是( )
5、A222 B 232 C22 22 D 2322 解析：选A.根据题中三视图知，该多面体是从一个棱长为2 的正方体的左上角截去一 个直三棱柱后剩余的部分，因此表面积为62 2112 21 222. 8已知F1，F2是双曲线E： x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0) 的左、右焦点，P是直线x a 2 上一 点，F1PF2是顶角为 的等腰三角形，若cos 5 8，则双曲线 E的离心率为 ( ) A. 3 2 B 2 C. 5 2 D 3 解析：选B.由题意知PF1F2 或PF2F1 ，设直线xa 2与 x轴的交点为D，则 D a 2，0 ，因为 F1PF2是顶角为 的等腰三角形，cos 5
6、 8，若 PF1F2，则有 |F1F2| |PF1| 2c，在 RtPDF1中， |DF1| |PF1|cos ，即c a 22c 5 8，所以离心率 ec a 2； 若PF2F1， 则有 |F1F2| |PF2| 2c， 在 RtPDF2中， |DF2| |PF2|cos ， 即c a 22c 5 8， 不合题意综上，双曲线E的离心率为2. 9若侧面积为8 的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积 为( ) A12B 13 C10D 14 解析：选A.由球的对称性可知，圆柱的高即球心到两底面圆心的距离之和，设圆柱的 底面半径是r，球心到底面的距离是d，外接球O的半径为R，由
7、球心到底面的距离、截面 圆的半径、球半径之间构成直角三角形，可知r 2 d 2R2. 由题设可得 2r2d 8?rd 2?d 2 r ，则R 2 r 2 d 2 r 24 r 22 r 24 r 24，当且仅当r2时取等号，此时d2. 故圆柱的表面积S表S侧S底82r 282 ( 2) 212. 10已知实数x，y满足 x2y0， xy0， 0ym， 且zxy的最大值为6，则z 2xy的最小 值为 ( ) A 12 B 9 C0 D 9 解析：选 B. 画出不等式组 x2y0， xy0， 0ym 所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由题意可知，目标函数zxy在直线yx和ym的交点A(m，m)
8、 处取得最大值，所 以 2m6，m3. 在直线x2y0 和y3 的交点B( 6， 3) 处，z 2xy取得最小值9， 故答案选B. 11已知M，N是双曲线 x 2 4 y 21 上关于坐标原点 O对称的点，P为双曲线上异于M，N 的点，若直线PM的斜率的取值范围是 1 2，2 ，则直线 PN的斜率的取值范围是( ) A. 1 8， 1 2 B. 1 2， 1 8 C. 1 8， 1 2 D. 1 2， 1 8 1 8， 1 2 解析：选 A. 设M(x0，y0) ，N( x0，y0) ，P(m，n)(mx0，ny0) ，则kPMn y0 mx0， kPN ny0 mx0. 又 P，M，N均在双
9、曲线 x 2 4 y 2 1 上，则 m 2 4 n 2 1， x 2 0 4 y 2 0 1，两式相减得 （mx0）（mx0） 4 (ny0)(ny0) 0， ny0 mx0 ny0 mx0 1 4，即 kPMkPN1 4，又 1 2 kPM2， 即1 2 1 4kPN 2，解得 1 8 kPN1 2. 故选 A. 12若函数f(x) mx 22ln x在 1 e 2，e 上有两个不同的零点，则实数 m的取值范围 为( ) A(1， e 2 2 B 4 1 e 4，e 22 C. 1，4 1 e 4D 1 ，) 解析：选 C. 令f(x) mx 22ln x0，则mx 22ln x. 令g(
10、x) x 2 2ln x，则g(x) 2x 2 x 2（x1）（x 1） x ， g(x) 在 1 e 2，1 上单调递减，在(1 ，e 上单调递增， g(x)ming(1) 1，又g 1 e 24 1 e 4，g(e) e 22，41 e 4 5，e 222.7225， g 1 e 2g(e) ，数形结合知，若函数f(x) 在 1 e 2，e 上有两个不同的零点，则实数m的取值范 围为 1，4 1 e 4，故答案选C. 二、填空题 ( 本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分 ) 13已知平面向量a (x1，y1) ，b(x2，y2) ，若|a| 3，|b| 4，ab 12，则 x1y1
11、 x2y2 _ 解析： 因为 |a| 3，|b| 4，ab 12，所以向量a，b的夹角为180， 即a 3 4b， 又a(x1，y1) ，b(x2，y2)，x1 3 4x 2，y1 3 4y 2. 所以 x1y1 x2y2 3 4. 答案： 3 4 14某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前 5 个月的微信推广费用 x与利润额y( 单位：百万元) 进行了初步统计，得到下列表格中的数据： x 24568 y 304060p 70 经计算，月微信推广费用x与月利润额y满足线性回归方程y 6.5x 17.5 ，则p的值 为_ 解析：x 2 4568 5 5， y 30 4060p70
12、5 40 p 5， 代入回归直线方程40 p 56.5 5 17.5 ， 解得p50. 答案： 50 15 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2 的大正方形， 若直角三角形中较小的锐角 6 ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖 落在小正方形内的概率是_ 解析：易知小正方形的边长为31，故小正方形的面积为S1(31) 242 3， 大正方形的面积为S22 4，故飞镖落在小正方形内的概率P S 1 S 4 23 4 23 2 1 3 2 . 答案： 1 3 2 16在ABC中，A 3 ，BC 3，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是 _ 解析：如图所示，以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，不妨令D 1 2，0 . 设 ABC的外接圆圆心为 M，半径为R，则 2R 3 sin 3 ，R3. |MA| |MB| |MC| R，M0， 3 2 ，点A在圆x 2 y 3 2 2 3 上， |AD|max|MD| R 1 2 2 3 2 2 3 13，故AD的最大值是31. 答案：31