APOS理论下的数学归纳法概念教学设计.pdf

《APOS理论下的数学归纳法概念教学设计.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《APOS理论下的数学归纳法概念教学设计.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、- 1 - APOS 理论下的数学归纳法概念教学设计 摘要： APOS理论是在建构主义理论基础上的一种数学概念教学理论。在美国，它广泛地应用于 高等数学的各个学科，并得到实验论证，而其他国家以及国内各学者也对其进行了一定的研究。 本文旨在学者研究的基础上，给出高中阶段数学归纳法的图式，并分析总结学生理解数学归纳法 的认知障碍，最后，以数学归纳法这一内容为例，在APOS理论指导下进行教学设计，为APOS 理论的具体应用以及概念教学方法提供参考。 关键字： APOS 理论概念教学数学归纳法 一、问题的提出 数学归纳法是一种重要的证明方法，它在数学研究乃至科学研究中都有广泛的 应用。在高中阶段，数学

2、归纳法是证明数列、不等式等相关问题的有力工具之一。 但由于教师对概念教学的轻视、忽视，对概念常常是“蜻蜓点水”， “一语带过”，或 者直接给出定义，然后就匆匆进入解题环节，希望在解题训练中得到概念的掌握。 这样，学生往往能用数学归纳法证明一些命题，也”掌握”了一些证明题目的技巧， 但对数学归纳法的原理以及合理性并不理解，只是按照数学归纳法证明的两个步骤 机械硬套进行证明。学生非但没有领悟到数学归纳法的精妙之处，在解题中更出现 了五花八门的概念性错误，得不偿失。 新课标提出， 数学教学中“要强调对数学本质的认识” ， “高中数学课程应该返璞归 真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，

3、要“通过典型例子的分析 和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其 中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受 的教育形态”。那么，在新课程标准下，概念教学应该如何进行呢？ 二、APOS 理论 数学学习是一个复杂的过程，当前影响力较大的数学认知理论是由著名学者 Piaget提出的建构主义理论。他认为1， “认识起因于主客体之间的相互作用，这种 作用发生在主体与客体之间的中途，因而同时既包含着主体又包含着客体”。 “数学 的认识是一种活动和反省抽象的过程”。 “认识的获得是从一个较初级的机构过渡到 一个不那么初级的（或较复杂的）结构，这

4、里所指的结构，除了我们平时理解的知 识点及其网络外，首先是指形成各知识点的稳定的关系模式，即图式”。 20 世纪八十年代，数学教育学家杜宾斯基等在建构主义的基础上，发展了一门 新的数学概念教学理论APOS 理论。他们认为，数学的认识是需要心理建构的， - 2 - 而这一建构的过程需要经历四个阶段2：操作（ action） 、过程（ processes ） 、对象 （object） 、图式（ schemas ） 。具体来说： “操作”是指对感知到的对象进行心理转换3，让学生亲身感受概念的直观背 景和概念间的关系。这里的对象实质上是一种外部刺激，它可以是具体的操作、运 算或者学习者的简单思维操作；

5、 反复进行操作，并让学生对操作的过程进行反思，完成对操作的心理建构。学 生已不需借助具体的外部刺激，而能够在心中准确地描绘出操作的过程，并能指出 过程中的关键之处，此时，便完成了“过程”阶段；实际上，“操作”阶段与“过程” 阶段是存在一定交叉的，它们是密不可分的； 通过教师对概念的内涵相关问题提出设问，将操作以一种顺其自然的逻辑的方 式引向所学的数学概念，当学生能够将过程看成一个整体，认识到它能够作为一个 独立的个体与其他知识进行运算、推理、证明，学生便获得了一个数学“|对象” ；此 时，也可认为学生获得了单个“图式” ； 经过提炼和拓展， Ed Dubinsky 提出“图式”的形成要经历三个

6、阶段3：单个 图式、多个图式、图式的迁移。单个图式阶段的特点就是只注意离散的操作、过程 和对象，而把具有类似性质的其他知识点隔离开来；整体图式阶段就是注意了各个 图式中蕴涵的知识点之间的关系和衔接，这时个体就能把这些知识点组成一个整体； 然后只有到了迁移阶段，个体才能彻底搞清楚在上一个阶段中提到的相关知识点之 间的相互关系，并建构出这些点之间内部结构，形成一个大的图式，并最终能判断 哪些问题存在于这个图式，哪些问题超出这个图式的范围。 在美国，APOS 理论广泛地应用于高等数学的各个学科，并得到实验论证。 它的 科学性得到了美国同行的肯定。在其他国家，学者们也研究如何运用APOS 理论。 在国

7、内，福建师大郑秀云4、华中师范大学硕士生兰冲5 等人均对 APOS 理论在 教学的指导作用作了探讨与研究，特别是华东师大的张伟平博士6，以抛物线为实 例做了实证研究，论证了APOS 理论的有效性。 本文旨在学者研究的基础上，以数学归纳法这一内容为例，在APOS 理论指导 下进行教学设计，为APOS 理论的具体应用以及概念教学方法提供参考。 三、APOS 理论下的数学归纳法图式 在皮亚杰认知发展理论中，图式是指相对稳定以动作为主的认知结构组织，这里 的动作既包括实际动作， 也包括了抽象化了的在思想上展开的动作 1 。 而张奠宙指出， 图式的实质是“除了我们平时理解的知识点及其网络外，首先是指形成

8、各知识点的 稳定的关系模式 1 ” 。而 Ed Dubinsky 提出“图式”的形成要经历三个阶段：单个图 式、多个图式、图式的迁移 3 。 - 3 - 正确的图式是学生学习概念的目标之一，也是后续学习的基础，同时更是教师 在课堂外首先必须掌握的内容之一。但由于图式是学习者的 “认知结构” 或者是“知 识点之间的关系模式” ，它是属于个人的，每个人所认知的同一个数学概念在头脑的 反映往往是不同的，因此本文仅试图给出在高中阶段，数学归纳法的单个图式应该 包含的内容，具体如下： 1、数学归纳法的中心思想是通过有限次的验证和一个递推的证明，来完成非常多次 或无限次的验证， 也即“奠基成立 +递推关系

9、无穷成立” ；证命题( )P n对从 0 n 开 始的所有正整数 n成立成立的示意图是： 0 ()P n成立，其中 0 n 可以为： 0，1，2； 0 0 () (1) ( )(1) P n P n P kP k ； 0 0 (1) (2) ( )(1) P n P n P kP k 推至 n为很大或无限的情况； 2、数学归纳法有两个步骤：（1） （归纳奠基）证明当 0101 , ,nnn n n n（均为自然数）时 命题成立； （2） （归纳递推） 假设 1 (,)nk kn kN时命题成立， 证明当1nk 时命题也成立。 完成此两个步骤， 即可断定命题对从 0 n 开始的所有正整数 n成立

10、； 使用数学归纳法时，这两个步骤缺一不可； 3、第二个步骤的目的既不是要证明命题( )P k成立，也不是要证明命题(1)P k成立， 而是要证明“递推关系( )(1)P kP k”成立，即是要证明“当( )P k成立时，则 (1)P k成立”这一命题；在证明过程中，并不关心命题( )P k是否成立； 4、证明命题( )P n对所有正整数 n成立，可分两部分证明： （1） 证明( )P n对 0101 , ,nnn nn n（均为自然数）成立（代入验证）； （2） 证明( )P n对 n均成立（使用数学归纳法） 。 5、数学归纳法是证明与整数有关的命题的一种方法，往往由不完全归纳法猜想出问 题的

11、结果，然后使用数学归纳法进行证明；它可以解决数列、等式、不等式、几 何证明等问题。 四、学生的认知障碍分析 在学习数学归纳法之前，学生已具备数学归纳法的萌芽与相关经验，例如：小 学的数数、找一列数的规律等；他们也具备了利用代表性元素来代表任意多的、无 - 4 - 穷多的元素的经验，如在线面垂直的判定定理，即用“垂直面内两条相交直线”来 代替“垂直面内所有直线”，但学生在学习过程中， 仍会产生各种问题与困惑。 那么， 在进行教学设计前，要先对学生数学归纳法的认知障碍进行分析。 通过文献 78910 的阅读，发现学生的错误主要呈现在以下几个方面： 1、没有明确第一步的“奠基基础”作用，验证时出现两

12、个极端：一种是总感势 单力薄不保险，想多验几个数值；一种是认为，证明的主要部分在第二步，因此第 一步验证引不起重视，出现不认真演算，初值验证不当甚至不进行验证的问题；有 时题目中要求奠基条件有多个，但仅机械地验证了一个初值；或认为验证的初值始 终是“(1)P” ； 2、 对第二步的证明充满疑惑， 不清楚要证明的是一个递推关系 “( )(1)P kP k” 成立，而认为要证的结论怎能当条件使用，以致于无从下手；或表面套用数学归纳 法的框架，但把“( )(1)P kP k”的蕴含关系的论证，理解为“(1)P k为真”这 一结论的证明，导致在证明过程中没有使用归纳假设而出错； 3、学生数学知识欠缺，

13、具体操作困难；数学归纳法所解决的问题有等式、不等 式、三角、数列及几何等问题，要求学生具有相关的知识储备，特别是第二步证明 要用到其它方法，需要学生一定的运算变形，解题技巧等相关的能力，否则第二步 的证明将难以实现，例如学生常弄错从k到1k项数的跨度； 4、学生的逻辑推理能力较弱，在证明过程中使用未经假设或不成立的条件，或 者归纳理由不充分而导致出错。 五、APOS 理论下的数学归纳法概念教学设计 1、操作阶段 问题 1 等式 2222 (1)(21) 123() 6 n nn nnN成立吗？如果成立，请给出 证明；如果不成立，请举出反例。 要看其是否成立，不妨先代入几个数尝试一下。 教师与学

14、生共同代入简单的数，如1,2,3n，发现结论成立， 由此猜想命题可能 成立。教师提出问题：一一验证的方法是不可行的，那要怎样证明此命题成立呢？ 设计意图对于此类问题，学生之前已有接触，其本质是要求数列 2 n的前 n项和， 看似简单，但在学生现有知识的基础上，要运用综合法或分析法证明较为困难。这 样，便有利于将学生的思维推向“寻求新方法来解决旧问题”，激起了学生学习新知 识的欲望。 问题 2 如图，有(100)n n个相同的骨牌如下图所示排成一排，要用尽量少次的操 作使骨牌全部倒下，应该如何摆放骨牌？ - 5 - 由学生说出或教师引导指出，在不考虑其他因素影响的情况下，摆放骨牌，使 得每两个骨

15、牌的间距小于骨牌的高度，则只需要操作一次（将第一个骨牌或将最后 一个骨牌推倒），即可将骨牌全部推倒。 进而向学生设问： 你如何向别人证明 （表述） 你的游戏一定能够成功（所有的骨牌均能倒下）？ 学生通常的回答是：第一块被外力推倒，第一块倒下时能压倒第二块，第二块 倒下时能压倒第三块，如此一直下去，(100)n n个骨牌便全部倒下，继而顺 势提出问题 3。 问题 3 保证骨牌能够“一直倒下去”的原因是什么呢？ 引发学生的思考，并让学生说出原因是：前一块骨牌倒下，则可让后一块骨牌 倒下。师生共同总结能够一次推倒骨牌的条件：（1）第一张牌倒下；（2）前一张牌 倒下，可推出后一张牌倒下；教师指出，第二

16、个条件实际上是一个递推关系，并板 书如下： 设计意图数学归纳法是一种抽象度较高的方法，学生在第一次接触时不容易接受， 因此，通过直观简单的思维操作，让学生感受数学归纳法的思维特点，同时不断抛 出问题，促进学生不断反思，让学生自己寻找概念与直观操作的契合点，建构属于 自己的直观感知。 2、过程阶段 问 题4 沿 着 问 题2解 决 的 思 路 ， 重 新 思 考 问 题1 ， 如 何 证 明 等 式 2222(1)(21) 123() 6 n nn nnN成立？是否可以将等式本身看作是一系 列“骨牌”，如 21 23 1 = 6 ， 22235 1 +2 = 6 ， 222347 1 +2 +3

17、 = 6 分别对应第一块牌， 第二块牌，第三块牌 ? 顺应问题 3 中得出的结论，师生共同得出证明此等式的思路：（1）证明第一个 等式成立；（2）证明若前一个等式成立，则后一个等式成立。同时教师强调，第二 第二张牌倒 前牌倒后牌倒 第三张牌倒 前牌倒后牌倒 第一张牌倒 前牌倒后牌倒 - 6 - 步的证明是要证明一个递推关系的成立。 问题 5 第一步的证明很容易，但第二步的证明应该如何表述？ 教师通过以下问题来引导学生思考：第二步实际上是一个命题，它的前提是什 么？结论是什么？“前” 、 “后”等式应该如何表示？ 得出：第二步实际上是要证明“若某个等式（假设为第k个等式）成立，则下 一个等式（即

18、第1k个等式）成立”。 师生共同完成等式 2222(1)(21) 123() 6 n nn nnN的证明，教师板 演证明过程，并指出，这样的证明方法称为数学归纳法，引入数学归纳法的证明步 骤。 设计意图将直观感知的操作与抽象的等式证明联系起来，通过不断提出问题，实 现认知上直观到抽象的转换，引导学生将“奠基+递推无穷成立”的思想用在抽象 的数学证明中，逐步领会数学归纳法的思维方式与证明框架。 3、对象阶段 问题 6 通过刚刚的研究，你对数学归纳法有何体会？用数学归纳法证明一个命题成 立有哪几个步骤？ 教师引导学生总结数学归纳法的证明步骤： （1） （归纳奠基）证明 n取第一个值 0 n 时命题

19、成立； （2） （归纳递推）假设 0 (,)nk kn kN时命题成立，证明当1nk时命题也成 立。 完成此两个步骤，即可断定命题对从 0 n 开始的所有正整数 n成立。 由此建立起数学归纳法这一概念，并强调： 1、数学归纳法的中心思想是通过有限次的验证和一个递推的证明，来完成非常 多次或无限次的验证， 也即 “奠基成立 +递推关系无穷成立” ； 证明命题( )P n 对从 0 n 开始的所有正整数 n 成立成立的原理示意图是： 0 ()P n成立，其中 0 n 可以为： 0，1，2； 0 0 () (1) ( )(1) P n P n P kP k ； 0 0 (1) (2) ( )(1)

20、P n P n P kP k 推至 n为很大或无限的情况； 2、第二个步骤的目的既不是要证明命题( )P k成立，也不是要证明命题(1)P k 成立，而是要证明“递推关系( )(1)P kP k”成立，即要证明“当( )P k成 - 7 - 立时，则(1)P k成立”这一命题；在证明过程中，并不关心命题( )P k是否 成立； 3、数学归纳法是证明与整数有关的命题的一种方法；往往由不完全归纳法猜想 出问题的结果，然后使用数学归纳法进行证明；它可以解决数列、等式、不 等式、几何证明等问题。 设计意图新获得概念后，马上对概念的原理进行总结概括，并对学生可能的认知 难点进行剖析强调，有利于学生形成正

21、确的“图式”，获得新的数学“对象” |。 问题 7 用数学归纳法证明：当n为正整数时， 2 135(21)nn 。 变式 7.1 判断用数学归纳法证明上述问题的过程是否正确： 证明： （1）当1n时，左边 =1，右边 = 2 1=1，等式成立； （2）假设nk时，等式成立，即有 2 135(21)kk 则1nk时，135(21)2(1)1kk 12 (1 )1 (1 ) 2 kk 2 ( 22 ) (1 ) (1 ) 2 kk k 即1nk时等式也成立； 由（1） （2）可知等式对任何nN等式均成立。 变式 7.2 用数学归纳法证明： 1111 122334(1)1 n n nn 。 设计意图

22、学生刚学习数学归纳法证明题目时，容易将此方法与一般的演绎证明方 法混淆，常出现证明过程看似天衣无缝，实则只是套用形式的现象。通过这一题， 让学生对数学归纳法的原理更加深刻：第二步实质上要证明的是“递推关系 ( )(1)P kP k” ，因此证明过程中要注意使用归纳假设。 问题 8 81 用数学归纳法证明“ 2 21 n n对 0 nn 的正整数 n都成立”时，第一步证明中 的起始值应取 _。 82 用数学归纳法证明“当n是正奇数时， nn xy 能被xy整除”时，下列过程中 正确的是 _。 验证1n时成立，由“nk（k为正奇数）时命题成立”推出“1nk时命题 成立” ； 验证1n时成立，由“n

23、k（k为正奇数）时命题成立”推出“2nk时命题 - 8 - 成立” ； 验证1n时成立，由“21nk（k为正整数）时命题成立”推出“21nk时 命题成立”； 验证3n时成立，由“21nk（k为正整数）时命题成立”推出“23nk时 命题成立”； 设计意图题 8.1 可让学生重视初值的验证， 并清楚初值不仅限于1；通过 8.2 题让学 生对数学归纳法的原理“奠基成立+递推关系无穷成立”理解更深一层，突出其中 的“递推关系”本质是前一项成立后一项成立，而不是符号上的( )(1)P kP k。 4、图式阶段 问题 9 用数学归纳法证明等式： 11111111 1() 234212122 nN nnnn

24、n 设计意图学生在前面几题中已具备使用数学归纳法证明的经验，但对于初学者， “项”的正确变化是第二个步骤中的一个难点，学生在证明本题第二步时易误写为： 当1nk时， 11111111 1 22122112221kkkkkkk ，则 1nk时命题成立。 通过本题，提醒学生关注项数的变化，培养观察项数的能力。 问题10 用数学归纳法证明：首项是 1 a ，公比是q的等比数列的通项公式是 1 1 n n aa q，前 n项和的公式是 1(1 ) (1) 1 n n aq Sq q 。 问题 11 已知 n个圆中每两个圆都相交于两点，且无三个圆过同一点，用数学归纳法 证明：这 n个圆将平面划分成 2

25、2nn块区域。 问题 12 用数学归纳法证明 3 5 ()nn nN能被 6 整除。 问题 13 用数学归纳法证明不等式 2 (1) 1 22 3(1)() 2 n n nnN。 问题 14 数列 n a中，已知 1 1a，当2n时， n a ， n S ， 1 2 n S成等比数列， 求 n a的 通项。 设计意图问题 1914 分别代表了数学归纳法适用的几类问题：等式问题、几何问 题（与正整数有关）、整除问题、不等式问题、数列通项或求和问题。通过上述题目 的求解，将数学归纳法与其他相关知识点联系起来，帮助学生构建整体“图式”。 六、反思与不足 本文仅从 APOS 理论的角度进行数学归纳法概

26、念的教学分析，在实践中运用的 - 9 - 效果如何，并不清楚。如有可能，可选取广州多所普通高中学生作为调查对象，收 集传统教学与APOS 理论下教学学生对数学归纳法掌握情况的数据，并利用统计软 件 SPSS或 SAS 进行比较分析，进行实证研究，为APOS 理论的适用范围提供依据。 七、参考文献 1 李士锜。 PME ：数学教育心理M 。上海：华东师范大学出版社。2001 年： 4-7 。 2Ed Dubinsky ， Kirk Weller ， Michael A。 Mcdonald ， Anne Brown。 Some Historical Issues and Paradoxes Reg

27、arding the Concept of Infinity： an APOS-based Analysis： Part 1J。 Educational Studies in Mathematics。2005。58： 335 359。 3 乔连全。 APOS ： 一种建构主义的数学学习理论J 。全球教育展望。2001。3（3） ：16：18。 4 郑秀云。 APOS理论指导下的高中函数概念教学D 。福州：福建师大，2003。 5 兰冲。 APOS 理论下的函数概念认知及教学启示D 。武汉：华中师大，2006 6 张伟平。基于APOS 理论的数学概念教学探究J 。数学通讯，2006，15(1) ：1-4 。 7 刘婷。高中生数学归纳法学习中的错误及教学策略J 。新疆师范大学学报( 自然科学版 ) 。 2008， 37(3) ： 116-119 。 8 李昌官。”数学归纳法”教学设计J 。中小学教学。2009(10) ：37-39 。 9 胡彬。使用数学归纳法的易错点J 。考试（高考文科版） 。2010(10) ：55-57 。 10 武瑞雪。数学归纳法应用技巧及常见误区剖析J 。语数外学习。2007(11) ：35-38 。