三年高考文科数学真题分类专题14-与数列相关的综合问题.pdf

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1、考纲解读明方向 考点内容解读要求常考题型预测热度 1. 数列求和 掌握非等差、等比数列求和的几种常 见方法 掌握解答题 2. 数列的综合应用 能在具体的问题情境中识别数列的等 差关系或等比关系, 抽象出数列的模 型 , 并能用有关知识解决相应的问题 掌握 选择题 解答题 分析解读1. 会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列 的和 .2. 能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3. 数列递推关系、非等差、等比 数列的求和是高考热点, 特别是错位相减法和裂项相消法求和. 分值约为12 分, 难度中等 . 2018 年高考全景展示 1 【2018 年

2、浙江卷】已知成等比数列，且若， 则 A. B. C. D. 【答案】 B 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法. 如 2. 【2018 年浙江卷】已知集合，将的所有元素 从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前n项和，则使得成立的n的最 小值为 _ 【答案】 27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不 等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求 和的常见类型主要有分段型（如） ， 符号型（如） ， 周期型（如） . 3. 【2018

3、年浙江卷】已知等比数列an的公比q1，且a3+a4+a5=28，a4+2 是a3，a5的等差中项数列 bn 满足b1=1，数列 （bn+1-bn）an 的前n项和为 2n 2+n （）求q的值； （）求数列bn 的通项公式 【答案】（）（） 【解析】分析:（）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，（）先根 据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求. 详解： （）由是的等差中项得，所以， 解得. 由得，因为，所以. （）设，数列前n项和为. 由解得. 由（）可知，所以，故， . 设 ， 所以，因此 ， 又，所以. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1) 要

4、善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情 形； (2) 在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “”的表达式； (3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1 和 不等于 1 两种情况求解. 4 【2018 年天津卷文】设an 是等差数列，其前n项和为Sn（nN *） ； bn 是等比数列，公比大于0， 其前n项和为Tn（nN * ） 已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6 （）求Sn和Tn； （）若Sn+（T1+T2+Tn）=an+4bn，求正整数n的值 【答案】 ( )，；( )4. 【解析】分析：

5、 （I ）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则. 结合题意可 得等差数列的首项和公差为，则其前n项和.（II ）由（ I ） ，知 据此可得解得（舍） ，或. 则n的值为 4. 点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识. 考查数列求和的 基本方法和运算求解能力. 5. 【2018 年江苏卷】设，对 1，2，n的一个排列，如果当st时，有， 则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对1，2， 3 的一个排列231，只有两个逆序(2 ，1) ，(3 ，1) ，则排列 231 的逆序数为2记为 1，2， n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数

6、 （1）求的值； （2）求的表达式 ( 用n表示 ) 【答案】（1） 2 5 2）n5 时， 【解析】分析： （1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为2 的个数，再利用枚 举法确定含四个元素的集合中逆序数为2 的个数；（2）先寻求含n个元素的集合中逆序数为2 与含 n+1 个元素的集合中逆序数为2 的个数之间的关系，再根据叠加法求得结果. 点睛：探求数列通项公式的方法有观察( 观察规律 ) 、比较 ( 比较已知数列 ) 、归纳、转化 ( 转化为特殊 数列 ) 、联想 ( 联想常见的数列) 等方法 . 寻求相邻项之间的递推关系，是求数列通项公式的一个有效 的方法 . 6 【201

7、8 年江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数 列 （1）设，若对均成立，求d的取值范围； （2）若，证明：存在，使得对均成立， 并求的取值范围（用表示） 【答案】（1）d的取值范围为 （2）d的取值范围为，证明见解析。 【解析】分析： （1）根据题意结合并分别令n=1，2，3，4 列出不等式组，即可解得公 差d的取值范围；（2）先根据绝对值定义将不等式转化为，根据条件易得左 边不等式恒成立，再利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差d的取值范 围. 详解：解：（1）由条件知：因为对n=1，2，3，4 均成立， 即对n=1，2，3， 4均成立，即11

8、，1d3，3 2d5，7 3d9，得 因此，d的取值范围为 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是 含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条 件. 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通 过两个函数图像确定条件. 2017 年高考全景展示 1. 【2017 课标 3，文 17】设数列 n a满足 12 3(21)2 n aanan. （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 21 n a n 的前 n 项和 . 【答案】（1） 12 2 n an ；

9、（2） 12 2 n n 【解析】试题分析：（1）先由题意得2n时，) 1(2)32(3 121 nanaa n ，再作差得 12 2 n an ，验证1n时也满足（ 2）由于 12 1 12 1 ) 12)(12( 2 12nnnnn an ，所以利用 裂项相消法求和. 【考点】数列通项公式，裂项法求和 【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间 若干项的方法， 裂项相消法适用于形如 1nn c a a ( 其中 n a是各项均不为零的等差数列，c 为常数 ) 的数列 . 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和( 如本例 ) ，还有一类隔一项的

10、裂项求和， 如 1 (1)(3)nn 或 1 (2)n n . 2. 【2017 山东，文 19】 （本小题满分12 分）已知 an是各项均为正数的等比数列, 且 12123 6,aaa aa. (I) 求数列 an 通项公式； (II)bn 为各项非零的等差数列, 其前n项和Sn, 已知 211nnn Sb b,求数列 n n b a 的前n项和 n T. 【答案】 (I)2 n n a；(II) 25 5 2 nn n T 【解析】 试题分析： (I) 列出关于 1, a d的方程组 , 解方程组求基本量；(II)用错位相减法求和. (II)由题意知 121 211 (21)() (21)

11、 2 n nn nbb Snb 2111 ,0, nnnn Sb bb, 所以21 n bn, 令. n n n b c a , 则 21 2 nn n c 因此 12 231 3572121 22222 nn nn Tccc nn , 又 2351 13572121 222222 n nn nn T, 两式相减得 211 1311121 222222 nnn n T 所以 25 5 2 nn n T. 【考点】等差数列的通项, 错位相减法求和. 【名师点睛】 (1) 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d, 然后由通项公式或前n项和公 式转化为方程(组) 求解等差数列的通项公式及前

12、n项和公式 , 共涉及五个量a1,an,d,n,Sn, 知其中三 个就能求另外两个, 体现了方程的思想(2) 用错位相减法求和时, 应注意：在写出“Sn”与“qSn”的 表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；若等比数列的 公比为参数 , 应分公比等于1 和不等于1 两种情况求解 3.【2017 天津， 文 18】已知 n a为等差数列， 前n项和为 * () n S nN， n b是首项为 2 的等比数列， 且公比大于0， 23341114 12,2 ,11bbbaa Sb. （）求 n a和 n b的通项公式； （）求数列 2 nn a b的前n项和

13、* ()nN. 【答案】（）32 n an.2 n n b. （） 2 (34)216 n n Tn. 【解析】 试题分析： （）设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d， 等比数列的公比为q，建立方程求解；（） 先求 2n a的通项，再求 2 622 n nn a bn，再根据错位相减法求和. （）解：设数列 2 nn a b的前n项和为 n T，由 2 62 n an，有 23 42102162(62)2 n n Tn， 2341 242102162(68)2(62)2 nn n Tnn， 上述两式相减，得 231 42626262(62)2 nn n Tn 1212(12 ) 4(6

14、2)2(34)216 12 n nn nn . 得 2 (34)216 n n Tn. 所以，数列 2 nn a b的前n项和为 2 (34)216 n n. 【考点】 1. 等差，等比数列；2. 错位相减法求和. 【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转 化 法 ， 一 般 适 用 于 等 差 数 列 加 等 比 数 列 ，（ 2 ） 裂 项 相 消 法 求 和 ， 1nn n aa c c， !1!nnnncn, nn c cn 1 等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘 以等比数列， （4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是

15、一个常数，这样可以正着写和和倒着写 和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5) 或是具有某些规律求和. 4. 【2017 北京，文 15】已知等差数列 n a 和等比数列n b 满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5 （）求 n a的通项公式； （）求和： 13521n bbbb 【答案】（）21 n an；（） 31 2 n . 【解析】 试题分析：（）设等差数列和等比数列的公差和公比分别为d和q，代入建立方程，求解；（） 若 n b是等比数列，那 21n b 依然是等比数列，并且公比是 2 q，根据等比数列求和. 【考点】 1. 等比，等差数列；2. 等比数列的前 n项和

16、. 【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转 化 法 ， 一 般 适 用 于 等 差 数 列 加 等 比 数 列 ，（ 2 ） 裂 项 相 消 法 求 和 ， 1nn n aa c c， !1!nnnncn, nn c cn 1 等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘 以等比数列， （4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写 和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5) 或是具有某些规律求和. 5.【2017江苏，19】对于给定的正整数k,若数列 n a满足 1111nknknnnknk aaaaaa

17、 2 n ka 对任意正整数( )n nk 总成立，则称数列 n a是“( )P k 数列” . （1）证明：等差数列 n a是“(3)P数列” ; （2）若数列 n a既是“(2)P数列”，又是“(3)P数列” ，证明： n a是等差数列 . 【答案】（1）见解析（ 2）见解析 （2）数列 n a既是“P 2数列”，又是“3P数列”，因此， 当3n时， nnnnn aaaaa 2112 4， 当4n时， nnnnnnn aaaaaaa 321123 6. 由知， nnn aaa 321 4 1 () nn aa， nnn aaa 231 4 1 () nn aa ， 将代入，得 nnn aa

18、a 11 2，其中4n， 所以 345 ,a a a 是等差数列，设其公差为d. 在中，取4n，则 23564 4aaaaa，所以 23 aad， 在中，取3n，则 12453 4aaaaa，所以 12 2aad， 所以数列 n a 是等差数列 . 【考点】等差数列定义及通项公式 【名师点睛】证明 n a为等差数列的方法： (1) 用定义证明： 1 ( nn aad d为常数）； (2) 用等差中项证明： 12 2 nnn aaa； (3) 通项法： n a为n的一次函数； (4) 前 n 项和法： 2 n SAnBn 2016 年高考全景展示 1. 【2016 高考浙江文数】如图，点列, n

19、n AB分别在某锐角的两边上，且 * 1122 , nnnnnn A AAAAAnN， * 1122 , nnnnnn B BBBBBnN.(PQ表示点P与Q 不重合 ) 若 nnn dA B， n S为 1nnn A B B 的面积，则（） A. n S是等差数列 B. 2 n S是等差数列 C. n d是等差数列 D. 2 n d是 等差数列 【答案】 A 【解析】 试题分析： n S表示点 n A到对面直线的距离（设为 n h）乘以 1nn B B 长度一半， 即 1 1 2 nnnn Sh B B， 由题目中条件可知 1nn B B 的长度为定值，那么我们需要知道 n h的关系式，过

20、1 A作垂直得到初始距 离 1 h，那么 1,n A A和两个垂足构成了等腰梯形，那么 11 tan nnn hhA A，其中为两条线的夹 角，即为定值，那么 111 1 (tan) 2 nnnn ShA AB B， 11111 1 (tan ) 2 nnnn ShA AB B，作 差后： 111 1 (tan) 2 nnnnnn SSA AB B，都为定值，所以 1nn SS为定值故选A 考点：新定义题、三角形面积公式. 【思路点睛】先求出 1nnn 的高，再求出 1nnn 和 112nnn 的面积 n S和 1n S ，进而 根据等差数列的定义可得 1nn SS为定值，即可得 n S是等差

21、数列 2. 【2016 高考上海文科】 无穷数列 n a由 k 个不同的数组成， n S为 n a的前 n 项和 . 若对任意Nn， 3, 2 n S，则 k 的最大值为 _. 【答案】 4 【解析】 考点：数列的求和. 【名师点睛】从研究 n S与 n a的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列 n a由 k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值” . 本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力 等. 3. 【2016 高考新课标1 文数】 （本题满分12 分）已知 n a是公差为3 的等差数列 , 数列 n b满足 1211 1 = 3 nnnn bba bbnb1，

22、,. （I ）求 n a的通项公式； （II ）求 n b的前n项和 . 【答案】（I ）31 n an（ II ） 1 31 . 22 3 n 【解析】 试题分析：（I ）由已知条件求出首项为2, 根据公差为3, 即可确定等差数列的通项公式；（II ）先判 断 n b是等比数列 , 再求出通项公式, 最后 , 再利用等比数列求和公式求 n b的前 n项和 . 试题解析：（I ）由已知 , 122112 1 ,1, 3 a bbb bb得 122112 1 ,1, 3 a bbb bb得 1 2a,所以数 列 n a是首项为 2, 公差为 3 的等差数列 , 通项公式为31 n an. （II

23、 ） 由 （ I ） 和 11nnnn a bbnb , 得 1 3 n n b b, 因此 n b是首项为1, 公比为 1 3 的等比数列 . 记 n b 的前n项和为 n S, 则 1 1 1 ( ) 31 3 . 1 22 3 1 3 n nn S 考点：等差数列与等比数列 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量, 两组基本公式 , 而这两组公式可看作多元方程,利用这 些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）, 因此可以说数列中的绝大 部分运算题可看作方程应用题, 所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4.2016高 考 新 课 标 文 数 已 知

24、各 项 都 为 正 数 的 数 列 na 满 足 1 1a ， 2 11 (21)20 nnnn aaaa. （I ）求 23 ,a a； （II ）求 n a的通项公式 . 【答案】（） 4 1 , 2 1 32 aa； （） 1 2 1 nn a 【解析】 试题分析：（）将 1 1a代入递推公式求得 2 a，将 2 a的值代入递推公式可求得 3 a； （）将已知的 递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列 n a为等比数列， 由此可求得数列 n a的通项公式 考点： 1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式 【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 1n n a

25、q a （常数）； （2）中项法， 即证明 2 12nnn aa a根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数 列来求解 5. 【2016 高考山东文数】 （本小题满分12 分） 已知数列 n a的前n项和 2 38 n Snn， n b是等差数列，且 1nnn abb. （I ）求数列 n b的通项公式； （II ）令 1 (1) (2) n n n n n a c b . 求数列 n c的前n项和 n T. 【答案】（）13nbn; （） 2 23 n n nT 【解析】 （）由（）知 1 1 2) 1( 3 )33( )66( n n n n n n n c，又

26、 nn ccccT 321 ， 即2)1(242322 3 1432n n nT， 所以2)1(242322 32 2543n n nT， 以上两式两边相减得 2221432 232)1( 12 )12(4 4 32) 1(222223 nn n nn n nnnT。 所以 2 23 n n nT 考点： 1. 等差数列的通项公式；2. 等差数列、等比数列的求和；3. “错位相减法”. 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位 相减法” . 此类题目是数列问题中的常见题型. 本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高. 解答本题， 布列方程组，确定通项公

27、式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错 等比数列的项数. 本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等. 6. 【2016 高考天津文数】( 本小题满分13 分) 已知 n a是等比数列，前n 项和为 n SnN，且 6 123 112 ,63S aaa . ( ) 求 n a的通项公式； ( ) 若对任意的,bn nN是 2 log n a和 21 log n a 的等差中项，求数列 2 1 n n b的前 2n 项和 . 【答案】（） 1 2 n n a（） 2 2n 【解析】 试题分析：（）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由 2 111 211 qa

28、qaa 解得1,2 qq， 分别代入 63 1 )1 ( 6 1 q qa Sn 得1q， 1 1 a （）先根据等差中项得 2 1 )2log2(log 2 1 )log(log 2 1 2 1 2122 naab nn nnn ，再利用分 组求和法求和： 221 221 2 2 2 12 2 4 2 3 2 2 2 12 2 2 )(2 )()()(n bbn bbbbbbbbbT n nnnn 考点：等差数列、等比数列及其前n项和 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型 (1) 若anbncn，且 bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an 的前 n 项和 (2) 通项公式为an

29、bn，n为奇数， cn，n为偶数 的数列，其中数列bn，cn 是等比数列或等差数列，可采用 分组求和法求和 7. 【2016 高考浙江文数】（本题满分15 分）设数列 n a 的前n项和为 n S. 已知 2 S=4， 1n a=2 n S+1， * Nn. （I ）求通项公式 n a； （II ）求数列 2 n an 的前n项和 . 【答案】（I ） 1* 3, n n anN； （II ） 2 * 2,1 3511 ,2, 2 n n n T nn nnN . 【解析】 试题分析：（I ）由 1 21 nn aS转化为 1 3 nn aa，进而可得数列 n a的通项公式； （II ）先去掉

30、绝 对值，再对n的范围讨论，采用分组求和法，即可得数列 2 n an的前n项和 （II ）设 1 |32| n n bn， * nN， 12 2,1bb. 当3n时，由于 1 32 n n，故 1 32,3 n n bnn. 设数列 n b的前n项和为 n T，则 12 2,3TT. 当3n时， 22 9(1 3)(7)(2)3511 3 1322 nn n nnnn T ， 所以， 2 * 2,1 3511 ,2, 2 n n n T nn nnN . 考点：等差、等比数列的基础知识. 【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列 nn a b的求和，其中 n a是等差数 列， n b是等比数列； （2）裂项法：形如数列 1 fn g n 或 1 f ng n 的求和，其中 fn，g n是关于n的一次函数； （3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分