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1、高考数学快速解题三招搞定含参不等式恒成立问题 已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇 处一个较为活跃的知识点。这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容， 综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。为了对含参不等式恒成立 问题的解题方法有较全面的认识，本文以2010 年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和 提炼，高考数学快速解题法为2019 高考数学快速巧妙的通关。 一 分离参数，转化为求函数的最值 对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由
2、此推出 参数的取值范围。 例 1（ 2010 年全国卷1 理）已知函数( )(1)ln1f xxxx （）若 2 ( )1xfxxax，求a的取值范围 （）证明 :(1) ( )0xf x 解析： （） 11 ( )ln1ln x fxxx xx (0)x ( ) ln1xfxxx， 由 2 ( )1xfxxax 得lnaxx，令 ( )lng xxx ，于是， 问题化为求函数 ( )g x 的最大值。 1 ( )1gx x ，当01x 时， ( )0g x；当1x时， ( )0g x。当1x时，( )g x有最大值， max ( )(1)1g xg1a （）略。 评析：含参不等式分离参数后的
3、形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下 述结论： （ 1）( )( )f xg a恒成立 max ( )( )f xg a； （2）( )( )f xg a恒成立 max ( )( )f xg a； （3） ( )( )f xg a恒成立 min ( )( )f xg a。 （4）( )( )f xg a恒成立 min ( )( )f xg a。 二 分离参数，转化为求函数的确界 如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我 们利用如下的函数确界的概念： 函数( )yf x()xD的上确界为min( ),M f xM xD，记作
4、M上；函数( )yf x()xD 的下确界为max( ),M f xM xD，记作M下。于是，有如下结论： （1）若( )f x无最大值，而有上 确界，这时要使( )( )f xg a恒成立，只需M 上 ( )g a。 （2）若( )f x无最小值，而有下确界M下，这时 要使( )( )f xg a恒成立，只需M下( )g a。 例 2 （2010 年湖南卷理） 已知函数 2 ( )f xxbxc，( ,)b cR对任意的xR，恒有 ( )( )fxf x （）证明：当0x时， 2 ( )()f xxc （）若对满足题设条件的任意b，c，不等式 22 ( )( )()f cf bM cb恒成立
5、，求M的最小值。 解析：（）略。 （）由 ( )( )fxf x即 2 (2)0xbxcb恒成立，得 2 (2)4()0bcb 从而 22 121 44 bb cb，等号当且仅当 2 1 4 b ，即2b时成立 （1）当cb时， 22 ( )( )2f cf bcb M cbbc ，令 b t c ，则 11t ，则 21 2 1 cb bct 因为函数 1 ( )2 1 g t t （11t）的最大值不存在，但易知其上确界为 3 2 3 2 M （2）当cb2时，( )( )8f cf b或 0， 22 0cb，从而 223 ( )( )() 2 f cf bcb恒成立 综合（ 1） （ 2
6、）得M的最小值为 3 2 例 3 （2010 年全国卷理）设函数 2 ( )1 x f xexax （）若0a，求( )fx的单调区间。 （）若0x时， ( )0fx ，求a的取值范围。 解析： （）由( )0f x对所有的0x成立，可得 （1）当0x时，aR； （ 2）当0x时， 2 1 x ex a x ，设 2 1 ( ) x ex g x x ，问题转化为求( )g x的最小值或下确界。 22 4 22 ( ) xx x exexx gx x ， 令 22 ( )22 xx h xx exexx， 因 为 2 ( )222 xx h xx eex， 0x，又( )h x的二阶导数 “2
7、 ( )222 xxx h xxex ee，( )h x的三阶导数 (3)2 ( )(4 )0 x hxexx， 所以 “ ( )h x是增函数，故 “ ( )(0)0h xh，所以 ( ) h x增函数， 故 ( )(0)0h xh，所以( )h x是增函数， 故( )(0)0h xh， 从而 ( ) 0g x， 于是( )g x在(0,)上单调递增， 故( )g x无最小值， 此时，由于(0)g 无意义，但运用极限知识可得 0 ( )lim( ) x g xg x。由洛必达法则可得： 2 0000 111 lim( )limlimlim 222 xxx xxxx exee g x xx 故
8、0x时， 1 ( ) 2 g x。因而 1 2 a，综合 （1） （2） 知a取值范围为 1 , 2 。 评析：用分离参数法求解本题，最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界，应用洛必达法则求 0 lim( ) x g x超出了中学所学知识范围。显然，这不是命题者的意图。因此，我们应该探求这类问题的另一种 更为一般地思考途径。 三 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值 对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，如例3，我们可以把含参不等式整理成 ( , )0f x a或( , )0f x a的形式，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。在解 题过程
9、中常常要用到如下结论： （ 1 ） 如 果(,)fx a有 最 小 值( )g a， 则( ,)0fx a恒 成 立()0g a，( , )0f x a恒 成 立 ( )0g a； （ 2 ） 如 果(,)fx a有 最 大 值( )g a， 则( ,)0fx a恒 成 立()0g a，( , )0f x a恒 成 立 ( )0g a。 例 4（2010 年天津文）已知函数 323 ( )1 2 f xaxx()xR其中0a （）若1a，求曲线( )yf x在点(2(2)f处的切线方程， （）若在区间 1 1 , 2 2 上，( )0f x恒成立，求a的取值范围 解析： （）略。 （） 2 (
10、 )33fxaxx，令 ( )0fx，解得0x或 1 x a （1）若02a，则 11 2a ，于是当 1 0 2 x时， ( )0fx；当 1 0 2 x时， ( )0fx。所以 当0x时，( )f x有极大值。于是 1 1 , 2 2 x时，( )0f x等价于 1 ()0 2 1 ( )0 2 f f 解得02a （2）若2a，则 11 2a ，于是当 1 0 2 x时， ( )0fx；当 1 0x a 时， ( )0fx， 当 11 2 x a 时， ( ) 0fx。所以，当0x时，( )f x有最大值，当 1 x a 时，( )fx有最小值。于是 1 1 , 2 2 x时，( )0f
11、 x等价于 1 ()0 2 1 ()0 f f a 解得 2 5 2 a或 5 2 a，因此，25a 综合（ 1） （ 2）得05a 例 5：内容同例3 解析：（）略 （） ( )1 2 x fxeax，由方程 ( )0fx不能求出极值点。显然，用例4 的解法是行不通的，但 我们注意到(0)0f，故问题转化为( )(0)f xf在0x时恒成立， 即函数( )f x在0,为不减函数， 于是可通过求导判断( )f x的单调性，再求出使( )(0)f xf成立的条件。 由（）有1 x ex，当且仅当0x时成立，故 ( ) 122(1 2 ) x fxeaxxaxa x，而当 120a，即 1 2 a
12、时( )0f x(0 )x ( )f x是0,上的不减函数，( )(0)0f xf 当 1 2 a时，由1 x ex0x可得1 x ex ( )12 (1)(1)(2 ) xxxxx fxea eeeea 故当(0,ln 2 )xa时， ( )0fx，而(0)0f，于是当(0,ln 2 )xa时 ( )0fx综合得 1 2 a 评析：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。本题抓住(0)0f这一重要的解 题信息，将问题转化为( )(0)f xf在0x时恒成立，通过研究函数( )fx在0,)上是不减函数应满 足的条件，进而求出a的范围。隐含条件(0)0f对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用。 从以上高考题的解法可知：以函数的观点作指导，用导数知识作工具，从研究函数的单调性、最值（极 值）等问题入手，将含参不等式恒成立问题转化为研究函数的性质问题，是确定恒不等式中参数取值范围 问题的重要思考方法。对这类问题的处理，需要考生具备过硬的导数、不等式知识，并能灵活运用这些知 识研究函数的性质等问题。在高三复习课教学中，有意识地给学生这方面的训练，对培养他们的数学综合 素质是大有好处的。从而在高考数学达到快速解题的目的。 需要更多资料可加QQ 群 689679200,希望对大家有所帮助