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1、专题 02 三角函数与解三角形热点问题 【最新命题动向】 三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具.高考命 题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题.对三角函数与平面向量的考查，多以解答 题的形式出现，难度中等.备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定 义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质。 【热点一】解三角形与数列的综合问题 【典例 1】（2019 年 5 月金华模拟卷理17）在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， 已知 cos2BcosB1cos Aco
2、s C. (1) 求证： a， b，c 成等比数列； (2) 若 b2，求 ABC 的面积的最大值 【审题示例】 (1) 根据正弦定理将角的问题转化为边的问题，由数列的概念得证； (2) 利用均值不等式解决三角形中的面积最值问题 【规范解答】 【知识点归类点拔】 纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的在这 类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来 解决问题的能力解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地 实现问题的转化 【跟踪训练 1】在 ABC 中，角 A、B、
3、C 的对边分别为a、b、c，面积为S， 已知 acos2C 2 ccos2A 2 3 2b. (1) 求证： a、 b、c 成等差数列； (2) 若 B 3，S4 3，求 b. 【热点二】三角函数的图像和性质 【典例 2】(2016 山东卷 )设 f(x)2 3sin ( x)sin x (sin xcos x) 2. (1) 求 f(x)的单调递增区间； (2)把 yf(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变 )，再把得到的图像向左平移 3 个单位，得到函数 yg(x)的图像，求g 6 的值 【审题示例】 (1) 将 f(x)化为 Asin (x )b 的形式后， 利用 y
4、sin x 的单调递增区间得出关于x 的不等式， 不等式的解集即为所求； (2) 根据三角函数图像变换的方法，得出yg(x)的图像对应的解析式，再进行计算 【规范解答】 【防失误】 化 asin xbcos xa 2b2sin(x )时 的求法： tan b a； 所在象限由 (a，b)点确定 【知识点归类点拔】利用辅助角公式asin xbcos xa 2b2 sin (x )，把形如 yasin x bcos xk 的函数化为 一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴对称中心等其一般步骤： 第一步：将f(x)化为 asin xbcos x 的形式； 第二步
5、：构造f(x)a2b2sin x a a 2b2cos x b a 2b2 ； 第三步：和差公式逆用f(x)a 2b2sin (x )(其中 为辅助角 )； 第四步：利用f(x)a2b2sin (x )研究三角函数的性质； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范 化简时公式的准确应用是灵魂； 研究三角函数性质时注意整体思想的应用 【跟踪训练 2】(2019 合肥市模拟 )已知函数 f(x)3sin xcos x 1 2cos 2x 3 . (1) 求函数 f(x)图像的对称轴方程； (2) 将函数 f(x)图像向右平移 4个单位，所得图像对应的函数为 g(x)当 x 0， 2 时，求函
6、数g(x)的值域 【热点三】三角变换与解三角形的综合 【典例 3】(2019 浙江模拟 )在 ABC 中， a 2c2 b2 2ac. (1) 求 B 的大小； (2) 求2cos A cos C 的最大值 【审题示例】 第(1) 问条件中有边的平方和边的乘积，显然用余弦定理求解； 第(2) 问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式，再注意角的取值范围，问题得解 【规范解答】 【知识点归类点拔】 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函 数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键 【跟踪训练 3】已知在 ABC 中，
7、 A，B，C 所对的边分别为a，b，c， 且 b c 2 sin B c b 2 sin Casin A0. (1) 求角 A 的大小； (2) 若 a3，求 bc 的取值范围 【热点四】平面几何中的三角函数求值 【典例 4】(2018 全国卷理17)在平面四边形ABCD 中， ADC90 ， A45 ，AB2， BD5. (1) 求 cos ADB； (2) 若 DC22，求 BC. 【规范解答】 【知识点归类点拔】 平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、 余弦定理通过运算的方法加以解决在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长
8、、角度等，然后把要解三角形的 边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想 【跟踪训练 4】(2019 甘肃模拟 )如图，在 ABC 中，点 D 在边 AB 上， CDBC，AC5 3，CD5，BD2AD. (1) 求 AD 的长； (2) 求 ABC 的面积 【热点五】三角函数与平面向量相结合 【典例 5】(2019 四川模拟 )已知 ABC 的三内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c， 向量 m(cos B，cos C)， n(2ac，b)，且 mn. (1) 求角 B 的大小； (2) 若 b3，求 ac 的范围 【规范解答】 【知识点归类点拔】 (1) 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题 (2) 三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响本例中，易忽略x 0， 2 导致错解 【跟踪训练 5】(2019 达州市模拟 )已知向量 a(sin 2x，cos 2x)， b 3 2 ， 1 2 ，f(x)a b. (1) 求函数 f(x)的周期； (2) 在 ABC 中， f(A) 1 2，AB2 3，BC2，求 ABC 的面积 S.