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1、三角恒等变换与解三角形 【2019 年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1) 两角和 ( 差) 的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选 择公式，灵活应用 (2) 正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理 解决实际问题 试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( ) sin cos cos sin . (2)cos( ) cos cos ?sin sin . (3)tan( ) tan
2、tan 1?tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22sin cos . (2)cos 2cos 2 sin22cos2 112sin2. (3)tan 2 2tan 1tan 2. 3正弦定理 a sin A b sin B c sin C 2R(2R为ABC外接圆的直径) 变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C. sin A a 2R ， sin B b 2R ，sin C c 2R . abcsin Asin Bsin C. 4余弦定理 a 2 b 2 c 22bccos A，b 2 a 2 c 22accos B， c 2 a 2 b 2
3、2ab cos C. 推论： cos A b 2 c 2a2 2bc ，cos Ba 2 c 2 b 2 2ac ， cos Ca 2 b 2 c 2 2ab . 5三角形面积公式 S ABC 1 2bcsin A1 2acsin B 1 2absin C. 6三角恒等变换的基本思路 (1) “化异为同”，“切化弦”， “1”的代换是三角恒等变换的常用技巧如 1 cos 2sin2tan 45 等 “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角” (2) 角的变换是三角变换的核心，如( ) ，2( ) ( )， 2 2 2 等 7解三角形的四种类型及求解方法 (1) 已知两
4、角及一边，利用正弦定理求解 (2) 已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一 (3) 已知两边及其夹角，利用余弦定理求解 (4) 已知三边，利用余弦定理求解 8利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答 案注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果. 【题型示例】 题型一、三角变换及应用 【例 1】(1) 若 00，所以 cos 4 1sin 2 4 4 5. tan 4 tan 4 2 1 tan 4 cos 4 sin 4 4 5 3 5 4 3.
5、 答案： 4 3 速解法：由题意知 4 为第一象限角，设 4 ， 4 ， tan 4 tan 2 tan 2 . 如图，不妨设在RtACB中，A，由 sin 3 5可得， BC 3，AB 5，AC4， B 2 ，tan B 4 3， tan B 4 3. 答案： 4 3 (2) 若 tan 0，则 ( ) Asin 0 Bcos 0 Csin 2 0 Dcos 2 0 解析：基本法：由tan 0 得 是第一或第三象限角，若 是第三象限角，则A， B错；由 sin 2 2sin cos 知 sin 2 0，C正确； 取 3 时， cos 2 2cos 212 1 2 211 20，D错故 选 C
6、. 速解法： tan sin cos 0，即 sin co s 0， sin 2 2sin cos 0，故选 C. 答案： C 【举一反三】(2015新课标全国， 2)sin 20 cos 10 cos 160 sin 10 ( ) A 3 2 B. 3 2 C 1 2 D. 1 2 解析sin 20 cos 10 cos 160 sin 10 sin 20 cos 10 cos 20 sin 10 sin 30 1 2. 答案D 【变式探究】 (2015四川， 12)sin 15 sin 75 的值是_ 解析sin 15 sin 75 sin 15 cos 15 2sin(15 45) 2s
7、in 60 6 2 . 答案 6 2 【举一反三】 (2015江苏，8) 已知 tan 2，tan( ) 1 7，则 tan 的值为 _ 解析tan 2，tan( ) tan tan 1tan tan 2 tan 12tan 1 7，解得 tan 3. 答案3 【感悟提升】 (1) 此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差 异，然后多角度使用三角公式求解 (2) 对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”若角所在象限没 有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、
8、拼角等技巧的运用 (3) 求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇 差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角 【变式探究】 (2015广东，11) 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若a3，sin B1 2， C 6 ，则b_ 解析因为 sin B1 2且 B(0， ) ，所以B 6 或B 5 6 . 又C 6 ，所以B 6 ，ABC 2 3 . 又a 3，由正弦定理得 a sin A b sin B ，即 3 sin 2 3 b sin 6 ，解得b1. 答案1 题型二、正、余弦定理的应用 【例 2】(20
9、18北京 ) 在ABC中，a7，b8，cos B 1 7. (1) 求A； (2) 求AC边上的高 解(1) 在ABC中，因为 cos B 1 7， 所以 sin B1 cos 2B 43 7 . 由正弦定理得sin A asin B b 3 2 . 由题设知 2 0，sin A1 2. 由余弦定理得cos A b 2 c 2 a 2 2bc 8 2bc 4 bc0， cos A 3 2 ，bc 4 cos A 83 3 ， SABC1 2bcsin A 1 2 83 3 1 2 23 3 . 【变式探究】 (2018天津) 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知bsin
10、AacosB 6 . (1) 求角B的大小； (2) 设a2，c3，求b和 sin(2AB) 的值 解(1) 在ABC中，由正弦定理 a sin A b sin B ，可得 bsin Aasin B. 又由bsin AacosB 6 ，得asin BacosB 6 ， 即 sin Bcos B 6 ，所以 tan B3. 又因为B(0， ) ，所以B 3 . (2) 在ABC中，由余弦定理及a 2，c3，B 3 ， 得b 2 a 2 c 22accos B 7，故b7. 由bsin AacosB 6 ，可得 sin A 21 7 . 因为ac，所以 cos A 27 7 . 因此 sin 2A
11、 2sin Acos A 43 7 ， cos 2A2cos 2A 1 1 7. 所以 sin(2AB) sin 2Acos Bcos 2Asin B 43 7 1 2 1 7 3 2 33 14 . 【变式探究】【2017 课标 1，文 11】ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知 ，a=2，c=2，则C= A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】 B 【解析】由题意得 ， 即，所以 3 4 A 由正弦定理得，即 1 sin 2 C， 因为ca，所以CA， 所以 6 C，故选 B 【变式探究】 【2016 高考山东文数】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
12、已知 （）证明：a+b=2c; （）求cosC的最小值 . 【答案】（）见解析； （） 1 2 （）由（）知 2 ab c, 所以， 当且仅当ab时，等号成立. 故cos C的最小值为 1 2 . 【举一反三】 (2015新课标全国， 17)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面 积的 2 倍 (1) 求 sin B sin C ； (2) 若AD1，DC 2 2 ，求BD和AC的长 解(1)SABD 1 2AB ADsin BAD， S ADC 1 2AC ADsin CAD. 因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC. 由正弦定理可得 sin B sin
13、 C AC AB 1 2. (2) 因为SABDSADCBDDC，所以BD2. 在ABD和ADC中，由余弦定理知 AB 2 AD 2 BD 22AD BDcosADB， AC 2 AD 2 DC 22AD DCcosADC. 故AB 22AC23AD2 BD 22DC26， 由(1) 知AB2AC，所以AC1. 【变式探究】 (2015浙江，16) 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A 4 ，b 2 a 2 1 2c 2. (1) 求 tan C的值； (2) 若ABC的面积为3，求b的值 解(1) 由b 2 a 21 2c 2 及正弦定理得sin 2B 1 2 1 2s
14、in 2C . 所以 cos 2Bsin 2C . 又由A 4 ，即BC 3 4 ，得 cos 2Bsin 2C2sin Ccos C， 解得 tan C2. (2) 由 tan C 2，C(0， ) 得 sin C2 5 5 ， cos C 5 5 ， 又因为 sin Bsin(AC)sin 4 C， 所以 sin B 310 10 ， 由正弦定理得c2 2 3 b， 又因为A 4 ， 1 2bcsin A3， 所以bc62，故b 3. 【举一反三】(2015陕西， 17)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 向量m (a，3b) 与n (cos A，sin B) 平行 (1)求A； (2)若a7，b2，求ABC的面积 解(1) 因为mn，所以asin B3bcos A0， 由正弦定理，得sin Asin B3sin Bcos A0， 又 sin B0，从而 tan A3， 由于 0A ，所以A 3 . (2) 法一由余弦定理，得a 2 b 2 c 22bccos A，而a7，b2，A 3 ， 得 7 4c 22c，即 c 22c30， 因为c0，所以c3， 故ABC的面积为S 1 2bcsin A 33 2 .