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1、专题 35 不等式选讲 一 【学习目标】 1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： |ab| |a|b|； |ab| |ac|cb|. 2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |axb| c；|ax b| c；|x a| |xb| c. 3会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极) 值 4了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等 二 【知识要点】 1绝对值的概念和几何意义 代数： |a| a（a0 ）， a（ a0）. 几何意义： |a|表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点的距离
2、2绝对值不等式性质 |a|b| |a b| |a| |b|. (1)|ab| |a| |b|，当且仅当ab0 时取等号； (2)|ab| |a| |b|，当且仅当ab0 时取等号 3绝对值不等式的解法 原则是转化为不含绝对值的不等式求解 基本型： a 0，|x|a? -aa (1)c 0，|axb| c?，|axb| c? (2)c 0，|xa|xb| c，|xa|xb| c. 三种解法：图解法(数形结合 )、零点分区法 (定义 )、绝对值的几何意义(数轴 ) 4比较法证明不等式 (1)作差比较法： 知道 ab? ab0， ab，只要证明 即可，这种方法称为作差比较法 (2)作商比较法： 由
3、a b0? a b1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时要证明ab，只要证明1 a b 即可，这种方法称为作 商比较法 5综合法证明不等式 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“ 由 因导果 ” 的方法这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法 6分析法证明不等式 证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件 ，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、性质、或已证明的定理 等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法 7反证法证明不等式 先假设要证的命题不成立 ，以
4、此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件( 或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论，以说明假设不正确 ，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法 8放缩法证明不等式 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法 三方法总结 1.含绝对值不等式的求解策略 (1)解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号.常用的方法是： 由定义分段讨论(简称零 点分区间法 )；利用绝对值不等式的性质(题型法 )；平方法；数形结合法等. (2)解含参数的不等式，如果转化不等式的形式
5、或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分 类讨论 .注意：要考虑参数的总取值范围.用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏. (3)含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法. (4)灵活运用绝对值不等式的两个重要性质定理|a|b| |a b| |a|b|，特别注意等号成立的条件. 2.作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，其关键是变形，通常通过因式分解，利用各因式的 符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断. 3.综合法证明不等式时，主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严密的推理下推导 出结论，综合法往往是分析法的逆过程，所以在实际证明时，用分析法分析，
6、用综合法表述证明推理过程. 4.某些不等式的条件与结论，或不等式的左右两边联系不明显，用作差法又难以对差进行变形，难以运 用综合法直接证明，这时常用分析法，以便发现联系.分析的过程中，综合条件、定理等因素进行探索，把 分析与综合结合起来，形成分析综合法. 5.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法，凡是含有“ 至少 ”“唯一 ” 或者含有其他否定 词的命题，适宜用反证法. 6.放缩法是一种常用的证题技巧，放缩必须有目标，而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找.常 用的放缩技巧有添舍放缩，拆项对比放缩，利用函数的单调性和重要不等式放缩等. 四.典例分析 （一）解绝对值不等式 例 1
7、设函数 （1）若，解不等式； （2）求证： 【答案】（1）;（2）详见解析 . 【解析】（ 1）因为，所以， 即或 故不等式的解集为 （2）由已知得： 所以在上递减，在递增 即 所以 练习 1 已知函数，. （）若恒成立，求的最小值； （）若，求不等式的解集 . 【答案】（ 1）2（2） 【解析】（ 1） ，的最小值为 （2）当时，得， 当时，, 得， 当时，得， 综上，不等式解集为 练习 2已知函数 （I ）当时，求不等式的解集； （II ）求证： 【答案】（ I）； （II ）详见解析 . 练习 3已知，其中。 （1）当1 时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为 xx 1 ，求的值。
8、 【答案】 (1)；(2) 或. 【解析】当时， 由 . 所以不等式的解集为 由或 当时，不等式的解集为，由 当时，解集为，不符合题意 当时，不等式的解集为，由 综上所述，或. （二）不等式恒成立求范围 例 2已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围 【答案】（ 1）； （2） 【解析】（ 1）当时，由，得， ，解得或，所以的解集为 （2）对恒成立，即， 即，对恒成立， 显然， 令，则，在单调递增 ， 【点睛】绝对值不等式的常见解法： 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用 “ 零点分段法 ” 求解，体现了分类讨论的思想；
9、通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 转化为一元二次不等式求解，体现了转化思想. 练习 1已知函数， （1）当时，解不等式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围 . 【答案】（ 1）； （2） 【解析】（ 1）当时，所以，即求不同区间对应解 集，所以的解集为. （2）由题意，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令 ， 所以函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点 分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将 绝对值不等式与函数以
10、及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵 活应用，这是命题的新动向 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用 “ 零点分段法 ” 求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 练习 2已知, ,a b c均为正实数 . （I）求证：； （II）求证：. 【答案】（ I）见解析；（II）见解析 . 【解析】（ I）， 同理 由+得：， 当且仅当abc时各个等号同时成立 （II） ， 当且仅当abc时各个等号同时成立 （八）不等式的应用 例 8. 设，若2fx的解集为1,3. （1）求实
11、数a的值； （2）若，求的最小值 . 【答案】（ 1）1（2）3 【解析】（ 1）, 当0a时， 当0a时，此时无解， 当0a时，也无解 . （2）由， 则， 所以，此时. 练习 1.已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若对任意恒成立，求的最小值 . 【答案】（ 1）（2） 练习 2如图，某生态园将一块三角形地ABC的一角 APQ 开辟为水果园，已知角A为120 ， ,AB AC 的长度均大于200 米，现在边界,AP AQ 处建围墙，在 PQ 处围竹篱笆 . （1）若围墙 AP 、 AQ 总长度为 200 米，如何可使得三角形地块APQ 面积最大？ （2）已知竹篱笆长为503 米，AP
12、 段围墙高 1 米，AQ 段围墙高 2 米，造价均为每平方米100 元，若 APAQ ，求围墙总造价的取值范围. 【答案】（ 1）(米)，(米 2)； （ 2） . 【解析】 (1)设APx，利用题意列出面积的表达式，最后利用均值不等式求解最值即可，注意讨论等号 成立的条件和实际问题的定义域； (2)利用题意结合正弦定理求得围墙造价的函数解析式，利用三角形的性质求得cos AQP的范围即可求得 造价的取值范围. 试题解析： 设APx(米)，则,所以(米 2) 当且仅当200xx时，取等号。即(米)，(米 2) (2)由正弦定理，得 故围墙总造价 因为APAQ，所以， 所以围墙总造价的取值范围为(元)