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1、1 专题 01 “构造函数，比较大小”之归纳大全 一、作差构造函数，求参数范围 1设函数 2 , x fxxe g xaxx （）若fx与g x具有完全相同的单调区间，求a的值; （）若当 0x时，恒有fxg x，求a的取值范围 【思路引导】（）求导，通过导函数的符号变化确定函数fx的单调区间，再 通过二次函数的对称性和单调性求出a值； （）作差构造函数， 将问题转化为函 数的最小值为正，再通过研究导数的符号变化研究函数的最值 （）当 0x时恒有fxg x，即 10 x fxg xx eax恒成立， 故只需10 x F xeax恒成立， 对F x求导可得 x Fxea0, x xFxea 若1
2、,a则当0,x时，0,FxF x为增函数，从而当 0x时，00F xF 即;fxg x 若1,a则当0,xlna时，0,FxF x为减函数， 从而当0,xlna时，00,F xF即,fxg x故;fxg x不恒成立 2 故a的取值范围为,1 2已知函数 2 , x fxxaxb g xecxd若曲线yfx和曲线yg x都过点 0,2P，且在点 P处有相同的切线42yx （）求, , ,a b c d的值; （）若 2x时，fxkg x，求k的取值范围 【思路引导】（）由已知得02,02,0 =4,0 =4fgfg，即可求解, , ,a b c d的 值； （）由（）知，设 2 2142 x h
3、 xkg xfxkexxx，求得hx，根据 题意00h，得 1k，利用导数分类讨论，的奥函数的单调性与最值，即可求得 实数k的取值范围 试题解析：（）由已知得02,020 =40 =4fgfg， 2, x fxxa gxecxdc 4,2,2,2.abcd （）由（）知， 2 42,21 x fxxxg xex， 设 2 2142 x h xkg xfxkexxx， 则2224221 xx hxkexxxke 由题意知，00h，即1k， 令0hx，则 12 2,lnxxk， 当 2 1ke即 2 20x时， 由0hx得， lnxk， 由0hx得， 2lnxk， 所以h x在2, lnk单调递减
4、，在ln ,k单调递增， 3 所以h x在区间2,上的最小值 min lnlnln20h xhkkk， 所以当2x时，0h x即fxkg x恒成立 当 2 ke即 2 2x时，0hx恒成立，即h x在2,单调递增， 所以h x在区间2,上的最小值 min 20h xh， 所以当 2x时，0h x即fxkg x恒成立 当 2 ke即 2 2x时，0hx恒成立即h x在2,单调递增， 所以h x在区间2,上的最小值 22 min 220h xheke， 所以当 2x时， fxkg x不可能恒成立 综上所示，k的取值范围是 2 1,e 3已知函数 2 21lnfxxmxxmR （1）当 1 2 m时
5、，若函数 1 lng xfxax恰有一个零点，求a的取值范围； （2）当1x时， 2 1fxm x恒成立，求m的取值范围 【思路引导】1将当 1 2 m时代入，得 2 lng xaxx，求导，分类讨论当0a时、 当 0a时、当0a时三种情况求出 a的取值范围 (2) 构造 2 21lnh xmxmxx， 求导，讨论 1 0 2 m、 1 2 m、0m三种情况，求出m的取值范围 4 当 0a时，令0gx，解得 2 a x 当0 2 a x时，0gx，所以g x在0, 2 a 上单调递减； 当 2 a x时，0gx，所以g x在, 2 a 上单调递增 要使函数fx有一个零点，则ln0 222 aa
6、a ga即 2ae 综上所述，若函数g x恰有一个零点，则2ae或0a 若 1 2 m，则 1,x时，0hx恒成立，所以h x在1,上是增函数，且 1 ,h xh，所以不符题意 若 0m，则1,x时，恒有0hx，故h x在1,上是减函数，于是 “0h x对任意1,x都成立”的充要条件是10h，即210mm，解得 1m，故10m 综上，m的取值范围是1,0 4已知函数 1 3lnfxxbx x （1）当 4b时，求函数fx的极小值； （2）若1,xe上，使得 11 4 b xfx xx 成立，求b的取值范围 5 【思路引导】（1）将参数值代入表达式，再进行求导，根据导函数的正负得到原 函数的单调
7、性，进而得到极值； （2） 1 h xln0 b xbx x ，有解，即 h(x) 的最小 值小于 0 即可，对函数求导，研究函数的单调性，得到最小值即可 解析： （1）当时， / 22 311 41 3 xx fx xxx 令 / fx0，得 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 所以在时取得极小值为12f （2）由已知：，使得 1111 440 bb xfxxfx xxxx 111 43ln0 b xxbx xxx ，即： 1 ln0 b xbx x 设， 则只需要函数在上的最小值小于零 又， 令，得（舍去）或 当，即时，在上单调递减， 故在上的最小值为，由，可得 因为，所以 当，即
8、时，在上单调递增， 故在上的最小值为，由， 可得（满足） 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 6 故在上的最小值为 因为，所以， 所以，即，不满足题意，舍去 综上可得或， 所以实数的取值范围为 5已知函数 2 2lnfxxxa x，g xax （1）求函数F xfxg x的极值； （2）若不等式 sin 2cos x g x x 对 0x恒成立，求 a的取值范围 【思路引导】（1）由题意的F x，求得Fx，分类讨论得到函数的单调性，即 可确定函数的极值； （2）设 sin 2cos x h xax x ，得到h x，令costx，则1,1t， 2 12 2 t t t ， 求得t，得到t的
9、单调性和值域，进而分类讨论，得到h x的最小值，得到 实数a的取值范围 01 2 a 即20a时，F x在0, 2 a 和1,上递增，在,1 2 a 上递减， 7 2 a FxF 极大 2 ln 42 aa aa，11F xFa 极小 1 2 a 即2a时，F x在0,上递增，F x没有极值 1 2 a 即2a时，F x在0,1和, 2 a 上递增，F x在1, 2 a 上递减， 11F xFa 极大 ， 2 a FxF 极小 2 ln 42 aa aa 综上可知：0a时，1F xa 极小 ，F x无极大值； 20a时， 2 a FxF 极大 2 ln 42 aa aa，11F xFa 极小
10、； 2a时，F x没有极值； 2a时，11F xFa 极大 ， 2 a FxF 极小 2 ln 42 aa aa 当 0a时， 1 0 222 ha，不适合条件 当 1 0 3 a时，对于0 2 x， sin 3 x h xax， 令 sin 3 x Txax， cos 3 x Txa， 存在0, 2 x，使得 0 0,xx时，0Tx， 8 T x在 0 0,x上单调递减， 0 00T xT， 即在 00,xx 时， 0h x，不适合条件 综上，a的取值范围为 1 , 3 6已知函数 2 21lnfxxmxx mR （1）当 1 2 m时，若函数1 lng xfxax恰有一个零点，求a的取值范围； （2）当 1x时， 2 1fxm x恒成立，求m的取值范围 【思路引导】 (1) 函数g x的定义域为0,，当 1 2 m时， 2 lng xa xx，所以 2 2 2 axa gxx xx ，对a分类讨论，得到函数的单调区间，由此求得a的取值范 围(2) 令 22 121lnh xfxm xmxmxx，利用h x的导数，对m分类 讨论函数的单调区间，利用最大值小于零，来求得m的取值范围 当0a时，令0gx，解得 2 a x， 当0 2 a x时，0gx，所以g x在0, 2 a 上单调递减； 当 2 a x时，0gx，所以g x在 , 2 a 上单调递增